Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике кольцо модулярных форм , ассоциированных с подгруппой Г из специальной линейной группы SL (2, Z ) представляет собой градуированное кольцо , порожденное модулярных форм из Г . Изучение колец модулярных форм описывает алгебраическую структуру пространства модулярных форм.

Определение [ править ]

Пусть Γ - подгруппа конечного индекса в SL (2, Z ) , а M k (Γ) - векторное пространство модулярных форм веса k . Кольцо модулярных форм графа Γ является градуированным кольцом . [1]

Пример [ править ]

Кольцо модульных форм полной модульной группы SL (2, Z ) является свободно порождается с помощью ряда Эйзенштейна Е 4 и Е 6 . Другими слова, М к (Γ) изоморфен как -алгебры к , который является кольцом многочленов от двух переменных над комплексными числами . [1]

Свойства [ править ]

Кольцо модулярных форм является градуированной алгеброй Ли, поскольку скобка Ли модулярных форм f и g весов k и ℓ соответственно является модулярной формой веса k + ℓ + 2 . [1] Скобка может быть определена для n -й производной модулярных форм, и такая скобка называется скобкой Ранкина – Коэна . [1]

Подгруппы конгруэнции SL (2, Z) [ править ]

В 1973 году Пьер Делинь и Майкл Рапопорт показал , что кольцо модулярных форм М (Г) имеет конечное число образующих , когда Γ является конгруэнцподгруппа из SL (2, Z ) . [2]

В 2003 году Лев Борисов и Пол Gunnells показал , что кольцо модулярных форм М (Г) будет генерироваться в весе не более 3 , когда это конгруэнцподгруппа прайм уровня N в SL (2, Z ) с использованием теории торических модулярных форм . [3] В 2014 году Надим Rustom продлил результат Борисов и Gunnells для всех уровней N , а также показано , что кольцо модулярных форм для конгруэнцподгруппы генерируется в весе не более 6 для некоторых уровней N . [4]

В 2015 году Джон Войт и Дэвид Зурейк-Браун обобщили эти результаты: они доказали, что градуированное кольцо модулярных форм четного веса для любой конгруэнтной подгруппы Γ группы SL (2, Z ) порождается весом не выше 6 с отношениями, порожденными в весе не более 12. [5] Основываясь на этой работе, в 2016 году Аарон Ландесман, Питер Рум и Робин Чжан показали, что те же оценки справедливы для полного кольца (всех весов) с улучшенными оценками 5 и 10, когда Γ имеет некоторая модульная форма с ненулевым нечетным весом. [6]

Общие фуксовы группы [ править ]

Фуксова группа Г соответствует орбифолд , полученному из отношения в верхней полуплоскости . По stacky обобщения теоремы Римана существования , существует соответствие между кольцом модулярных форм Г и конкретным разделом кольцом тесно связан с каноническим кольцом из более stacky кривых . [5]

Существует общая формула для весов образующих и отношений колец модулярных форм благодаря работам Войта и Зурейка-Брауна, а также работам Ландесмана, Рума и Чжана. Пусть - порядки стабилизатора точек стэка кривой стеки (эквивалентно, точки возврата орбифолда ), ассоциированные с Γ . Если Γ не имеет модулярных форм с ненулевым нечетным весом, то кольцо модулярных форм порождено не более чем по весу и имеет отношения, порожденные не более чем по весу . [5] Если Γ имеет модулярную форму с ненулевым нечетным весом, то кольцо модулярных форм порождено не более чем по весу и имеет отношения, порожденные не более чем по весу . [6]

Приложения [ править ]

В теории струн и суперсимметричной калибровочной теории алгебраическая структура кольца модулярных форм может быть использована для изучения структуры вакуума Хиггса четырехмерных калибровочных теорий с N = 1 суперсимметрией . [7] Стабилизаторы суперпотенциалов в N = 4 суперсимметричной теории Янга – Миллса - это кольца модулярных форм подгруппы конгруэнции Γ (2) группы SL (2, Z ) . [7] [8]

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d Загир, Дон (2008). «Эллиптические модульные формы и их приложения» (PDF) . В Брюинье, Ян Хендрик ; ван дер Гир, Жерар; Сложнее, Гюнтер ; Загир, Дон (ред.). 1-2-3 модульных форм . Universitext. Springer-Verlag. С. 1–103. DOI : 10.1007 / 978-3-540-74119-0_1 . ISBN 978-3-540-74119-0.
  2. ^ Делинь, Пьер ; Рапопорт, Майкл (2009) [1973]. "Схемы эллиптических модулей". Модульные функции одной переменной, II . Конспект лекций по математике. 349 . Springer. С. 143–316. ISBN 9783540378556.
  3. ^ Борисов, Лев А .; Ганнеллс, Пол Э. (2003). «Торические модульные формы повышенной массы». J. Reine Angew. Математика. 560 : 43–64. arXiv : math / 0203242 . Bibcode : 2002math ...... 3242B .
  4. ^ Rustom, Надим (2014). «Генераторы градуированных колец модульных форм». Журнал теории чисел . 138 : 97–118. arXiv : 1209,3864 . DOI : 10.1016 / j.jnt.2013.12.008 .
  5. ^ a b c Войт, Джон; Зурейк-Браун, Дэвид (2015). Каноническое кольцо стековой кривой . Воспоминания Американского математического общества . arXiv : 1501.04657 . Bibcode : 2015arXiv150104657V .
  6. ^ a b Ландесман, Аарон; Рум, Питер; Чжан, Робин (2016). «Спиновые канонические кольца логарифмических наборных кривых». Annales de l'Institut Fourier . 66 (6): 2339–2383. arXiv : 1507.02643 . DOI : 10,5802 / aif.3065 .
  7. ^ a b Бурже, Антуан; Троост, янв (2017). «Перестановки массивного вакуума» (PDF) . Журнал физики высоких энергий . 2017 (42): 42. arXiv : 1702.02102 . Bibcode : 2017JHEP ... 05..042B . DOI : 10.1007 / JHEP05 (2017) 042 . ISSN 1029-8479 .  
  8. ^ Ритц, Адам (2006). «Центральные заряды, S-дуальность и массивный вакуум N = 1 * супер Янга-Миллса». Физика Письма Б . 641 (3–4): 338–341. arXiv : hep-th / 0606050 . DOI : 10.1016 / j.physletb.2006.08.066 .