Вращения представляет собой круговое движение объекта вокруг центра (или точки) вращения. Геометрическая плоскость , по которой происходит вращение называется вращение плоскости , и воображаемая линия проходит от центра и перпендикулярно к плоскости вращения называется ось вращения ( / æ к с я г / АК -seez ). Трехмерный объект всегда можно вращать вокруг бесконечного числа осей вращения.
Если ось вращения проходит внутри через собственные тела центра масс , то тело называется autorotating или спиннинг , и поверхность пересечения оси можно назвать полюс . Вращение вокруг полностью внешней оси, например, планеты Земля вокруг Солнца , называется вращением или вращением по орбите , обычно когда оно вызывается гравитацией , а концы оси вращения можно назвать полюсами орбиты .
Математика
Математически , вращение является твердое тело движение , которое, в отличие от перевода , сохраняет фиксированную точку. Это определение применяется к поворотам как в двух, так и в трех измерениях (на плоскости и в пространстве соответственно).
Все движения твердого тела - это вращения, перемещения или их комбинации.
Вращение - это просто постепенная радиальная ориентация к общей точке. Эта общая точка находится внутри оси этого движения. Ось расположена на 90 градусов перпендикулярно плоскости движения. Если ось вращения лежит вне рассматриваемого тела, то говорят, что тело вращается по орбите. Нет принципиальной разницы между «вращением» и «орбитой» или «вращением». Ключевое различие заключается просто в том, где находится ось вращения, внутри или снаружи рассматриваемого тела. Это различие может быть продемонстрировано как для «твердых», так и для «нежестких» тел.
Если за вращением вокруг точки или оси следует второе вращение вокруг той же точки или оси, получается третье вращение. Обратное ( обратное ) вращение также является вращением. Таким образом, вращения вокруг точки / оси образуют группу . Однако вращение вокруг точки или оси и вращение вокруг другой точки / оси может привести к чему-то другому, кроме вращения, например к перемещению.
Повороты вокруг осей x , y и z называются основными вращениями . Вращение вокруг любой оси может быть выполнено путем вращения вокруг оси x с последующим вращением вокруг оси y и последующим вращением вокруг оси z . То есть любое пространственное вращение можно разложить на комбинацию основных вращений.
В динамике полета , то основные повороты известны как рыскания , смолы и рулон (известный как углы Тэйт-Bryan ). Эта терминология также используется в компьютерной графике .
Астрономия
В астрономии часто наблюдается вращение. Звезды , планеты и подобные тела вращаются вокруг своих осей. Скорость вращения планет Солнечной системы была впервые измерена путем отслеживания визуальных характеристик. Вращение звезды измеряется с помощью доплеровского сдвига или отслеживания активных элементов поверхности.
Это вращение вызывает центробежное ускорение в системе отсчета Земли, которое немного противодействует эффекту гравитации, чем ближе она к экватору . Гравитация Земли сочетает в себе оба массовых эффекта, так что объект весит на экваторе немного меньше, чем на полюсах. Другой заключается в том, что со временем Земля слегка деформируется в сплюснутый сфероид ; аналогичная экваториальная выпуклость развивается и на других планетах.
Еще одно следствие вращения планеты - явление прецессии . Как и в случае с гироскопом , общий эффект - это небольшое «колебание» в движении оси планеты. В настоящее время наклон земной оси «s к плоскости орбиты ( наклонения эклиптики ) составляет 23.44 градуса, но этот угол меняется медленно ( в течение тысяч лет). (См. Также Прецессия равноденствий и Полярная звезда .)
Вращение и революция
В то время как вращение часто используется как синоним вращения, во многих областях, особенно в астрономии и связанных областях, вращение, часто называемое орбитальным вращением для ясности, используется, когда одно тело движется вокруг другого, в то время как вращение используется для обозначения движения вокруг тела. ось. Луны вращаются вокруг своей планеты, планеты вращаются вокруг своей звезды (например, Земля вокруг Солнца); и звезды медленно вращаются вокруг своего центра галактики . Движение компонентов галактик сложное, но обычно включает в себя компонент вращения.
Ретроградное вращение
Большинство планет в нашей солнечной системе , включая Землю , вращаются в том же направлении, что и вокруг Солнца . Исключение составляют Венера и Уран . Уран вращается почти на бок относительно своей орбиты. Текущее предположение состоит в том, что Уран начинал с типичной прямой ориентации и был сбит на бок в результате сильного удара в начале своей истории. Можно представить себе Венеру как медленно вращающуюся назад (или «перевернутую»). Карликовая планета Плутон (ранее считалась планетой) является аномальной в этом и других способах.
Физика
Скорость вращения задается угловой частоты (рад / с) или частоты ( оборотов в время), или период (секунды, дни и т.д.). Скорость изменения угловой частоты - это угловое ускорение (рад / с²), вызванное крутящим моментом . Отношение двух (насколько тяжело начать, остановить или иным образом изменить вращение) определяется моментом инерции .
Угловая скорость вектор (ые аксиальный вектор ) также описывает направление оси вращения. Точно так же крутящий момент - это осевой вектор.
Физика вращения вокруг фиксированной оси математически описывается осевым представлением вращения. Согласно правилу правой руки , направление от наблюдателя связано с вращением по часовой стрелке, а направление к наблюдателю - с вращением против часовой стрелки, как винт .
Космологический принцип
В настоящее время считается, что законы физики инвариантны при любом фиксированном вращении . (Хотя кажется, что они меняются при просмотре с вращающейся точки обзора: см. Вращающуюся систему отсчета .)
В современной физической космологии космологический принцип - это представление о том, что распределение материи во Вселенной однородно и изотропно, если рассматривать его в достаточно большом масштабе, поскольку ожидается, что силы будут действовать равномерно по всей Вселенной и не имеют предпочтительного направления и должны , следовательно, не вызывают никаких наблюдаемых нарушений в крупномасштабной структуре в ходе эволюции поля материи, которая изначально была заложена в результате Большого взрыва.
В частности, для системы, которая ведет себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве, ее лагранжиан инвариантен относительно вращения. Согласно теореме Нётер , если действие ( интеграл по времени ее лагранжиана) физической системы инвариантно относительно вращения, то угловой момент сохраняется .
Вращения Эйлера
Вращения Эйлера дают альтернативное описание вращения. Это композиция из трех вращений, определяемых как движение, полученное путем изменения одного из углов Эйлера , оставляя два других постоянными. Вращения Эйлера никогда не выражаются в терминах внешней системы отсчета или в терминах совместно движущейся системы координат вращающегося тела, а в виде смеси. Они составляют смешанную систему осей вращения, где первый угол перемещает линию узлов вокруг внешней оси z , второй вращается вокруг линии узлов, а третий - собственное вращение вокруг оси, закрепленной в движущемся теле.
Эти вращения называются прецессией , нутацией и собственным вращением .
Динамика полета
В динамике полета основные повороты, описанные выше с помощью углов Эйлера , известны как тангаж , крен и рыскание . Термин вращение также используется в авиации для обозначения восходящего тангажа (нос движется вверх) самолета, особенно при начале набора высоты после взлета.
Преимущество основных вращений заключается в моделировании ряда физических систем, таких как подвесы и джойстики , поэтому они легко визуализируются и представляют собой очень компактный способ сохранения вращения. Но их сложно использовать в расчетах, поскольку даже простые операции, такие как объединение поворотов, являются дорогостоящими и страдают от вида блокировки кардана, когда углы не могут быть однозначно рассчитаны для определенных вращений.
Аттракционы
Многие аттракционы предусматривают вращение. Колесо имеет горизонтальную центральную ось, и параллельные оси для каждой гондолы, где вращение находится напротив, под действием силы тяжести или механически. В результате в любой момент гондола имеет вертикальную ориентацию (не поворачивается), просто переводится. Вершина вектора перемещения описывает круг. Карусель обеспечивает вращение вокруг вертикальной оси. Многие аттракционы предусматривают комбинацию вращений вокруг нескольких осей. В Chair-O-Planes вращение вокруг вертикальной оси обеспечивается механически, а вращение вокруг горизонтальной оси происходит за счет центростремительной силы . В перевернутых американских горках вращение вокруг горизонтальной оси составляет один или несколько полных циклов, когда инерция удерживает людей на своих местах.
Виды спорта
Вращение мяча или другого объекта, обычно называемое вращением , играет важную роль во многих видах спорта, включая верхнее вращение и обратное вращение в теннисе , английский язык , следование и розыгрыш в бильярде и пуле , кривые мячи в бейсболе , боулинг с вращением в крикете , спорт с летающими дисками и т. Д. Весла для настольного тенниса производятся с различными характеристиками поверхности, чтобы игрок мог придавать мячу большее или меньшее вращение.
Вращение игрока один или несколько раз вокруг вертикальной оси может называться вращением в фигурном катании , вращением (дубинки или исполнителя) при вращении дубинки , или 360 , 540 , 720 и т. Д. В сноуборде и т. Д. игрок или исполнитель один или несколько раз вокруг горизонтальной оси может называться флип , перекат , сальто , вертолет и т. д. в гимнастике , водных лыжах или многих других видах спорта, или полуторный , два с половиной в сумме половины , выигрыш (начиная обращенный в стороне от воды), и т.д. в погружениях и т.д. сочетание вертикального и горизонтального вращение (обратно флип с 360 °) называется Мёбиусом в водных лыжах фристайла прыжки .
Вращение игрока вокруг вертикальной оси, обычно между 180 и 360 градусами, можно назвать вращением и используется как маневр обмана или уклонения, или в попытке сыграть, передать или получить мяч или шайбу и т. Д. , или позволить игроку видеть ворота или других игроков. Часто встречается в хоккее , баскетболе , футболе различных кодексов, теннисе и т. Д.
Фиксированная ось против фиксированной точки
Конечный результат любой последовательности вращений любого объекта в 3D вокруг неподвижной точки всегда эквивалентен вращение вокруг оси. Однако объект может физически вращаться в 3D вокруг фиксированной точки по более чем одной оси одновременно, и в этом случае нет единой фиксированной оси вращения - только фиксированная точка. Однако эти два описания могут быть согласованы - такое физическое движение всегда можно заново описать в терминах одной оси вращения, при условии, что ориентация этой оси относительно объекта может изменяться от момента к моменту.
Ось 2-хмерного вращения
Двухмерные вращения, в отличие от трехмерных, не имеют оси вращения. Это эквивалентно для линейных преобразований, когда говорится, что нет направления в месте, которое не изменяется посредством двумерного вращения, за исключением, конечно, тождества.
Вопрос о существовании такого направления - это вопрос о существовании собственного вектора для матрицы A, представляющей вращение. Каждое двумерное вращение вокруг начала координат на угол в направлении против часовой стрелки можно довольно просто представить следующей матрицей:
Стандартное определение собственных значений приводит к характеристическому уравнению
- ,
у которого есть
в качестве собственных значений. Следовательно, не существует реального собственного значения всякий раз, когда, что означает, что ни один действительный вектор в плоскости не остается неизменным А.
Угол поворота и ось в 3-х измерениях
Зная, что след является инвариантом, угол поворота для правильной ортогональной матрицы вращения 3x3 найден
Используя главный арккосинус, эта формула дает угол поворота, удовлетворяющий . Соответствующая ось вращения должна быть определена так, чтобы указывать в направлении, ограничивающем угол поворота, не превышающий 180 градусов. (Это всегда можно сделать, потому что любой поворот более чем на 180 градусов вокруг оси всегда можно записать как вращение, имеющее если ось заменена на .)
Каждое правильное вращение в трехмерном пространстве имеет ось вращения, которая определена так, что любой вектор который выровнен с осью вращения, вращение не повлияет. Соответственно,, поэтому ось вращения соответствует собственному вектору матрицы вращения, связанному с собственным значением, равным 1. Пока угол поворота отлична от нуля (т. е. вращение не является тождественным тензором), такое направление одно и только одно. Поскольку A имеет только действительные компоненты, существует по крайней мере одно действительное собственное значение, а оставшиеся два собственных значения должны быть комплексно сопряженными друг с другом (см. Собственные значения и собственные векторы # Собственные значения и характеристический многочлен ). Зная, что 1 является собственным значением, следует, что оставшиеся два собственных значения являются комплексно сопряженными друг другу, но это не означает, что они являются комплексными - они могут быть действительными с двойной кратностью. В вырожденном случае угла поворота, оставшиеся два собственных значения равны -1. В вырожденном случае нулевого угла поворота матрица вращения является единичной, и все три собственных значения равны 1 (что является единственным случаем, для которого ось вращения произвольна).
Для нахождения оси вращения спектральный анализ не требуется. Если обозначает единичный собственный вектор, выровненный с осью вращения, и если обозначает угол поворота, то можно показать, что . Следовательно, затрат на анализ собственных значений можно избежать, просто нормализовав этот вектор, если он имеет ненулевую величину. С другой стороны, если этот вектор имеет нулевую величину, это означает, что. Другими словами, этот вектор будет равен нулю тогда и только тогда, когда угол поворота равен 0 или 180 градусов, и ось вращения может быть назначена в этом случае путем нормализации любого столбцаимеющий ненулевую величину. [2]
Это обсуждение относится к правильному вращению, и, следовательно, . Любая несобственная ортогональная матрица 3x3 можно записать как , в котором собственно ортогонален. То есть любая неправильная ортогональная матрица 3x3 может быть разложена на собственное вращение (из которого можно найти ось вращения, как описано выше) с последующей инверсией (умножением на -1). Отсюда следует, что ось вращения также является собственным вектором соответствующий собственному значению -1.
Плоскость вращения
Поскольку каждое трехмерное вращение имеет ось вращения, также каждое трехмерное вращение имеет плоскость, которая перпендикулярна оси вращения и остается неизменной при вращении. Вращение, ограниченное этой плоскостью, представляет собой обычное двумерное вращение.
Доказательство проводится аналогично предыдущему обсуждению. Во-первых, предположим, что все собственные значения трехмерной матрицы вращения A действительны. Это означает, что существует ортогональный базис, состоящий из соответствующих собственных векторов (которые обязательно ортогональны), на который эффект матрицы вращения просто растягивает его. Если в этом базисе писать A, то он диагональный; но диагональная ортогональная матрица состоит только из +1 и -1 в диагональных элементах. Следовательно, у нас есть не собственное вращение, а либо тождество, либо результат последовательности отражений.
Отсюда следует, что собственное вращение имеет комплексное собственное значение. Пусть v - соответствующий собственный вектор. Затем, как мы показали в предыдущем разделе, также является собственным вектором, и а также таковы, что их скалярное произведение обращается в нуль:
потому что, поскольку реально, он равен своему комплексно-сопряженному , а также а также оба представления одного и того же скалярного произведения между а также .
Это означает а также ортогональные векторы. Кроме того, они оба являются действительными векторами по построению. Эти векторы охватывают то же подпространство, что и а также , которое является инвариантным подпространством относительно приложения A. Следовательно, они покрывают инвариантную плоскость.
Эта плоскость ортогональна инвариантной оси, которая соответствует оставшемуся собственному вектору A с собственным значением 1 из-за ортогональности собственных векторов A.
Смотрите также
- Абсолютное вращение - вращение независимо от внешнего задания
- Балансировочная машина
- Круговое движение - движение объекта по круговой траектории.
- Мгновенный центр вращения
- Принцип Маха - понятие абсолютного вращения
- Нанодантель , самый быстрый объект вращения
- Ориентация (геометрия) - понятие указания направления
- Прокатка
- Вращение вокруг фиксированной оси - Тип движения
- Формализмы вращения в трех измерениях - Способы представления трехмерных вращений
- Вращающееся движение в живых системах - движение живых организмов посредством вращения всего тела или части тела.
- Вверху - Игрушка
- Надрессорная балка для грузовиков
Рекомендации
- ^ "Оазис или тайное логово?" . Изображение недели ESO . Архивировано 11 октября 2013 года . Проверено 8 октября 2013 года .
- ^ Браннон, Р.М., «Вращение, отражение и смена кадра» , 2018
Внешние ссылки
- «Вращение» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Произведение вращений в узлом . cut-the-knot.org
- Когда Треугольник является Равносторонним при разрубании узла. cut-the-knot.org
- Поворот точек с использованием полярных координат , howtoproperly.com
- Вращение в двух измерениях Серхио Ганнибала Мехиа после работы Роджера Гермундссона и « Понимание трехмерного вращения » Роджера Гермундссона, Wolfram Demonstrations Project . демонстрации.wolfram.com
- Вращение, отражение и смена кадра: ортогональные тензоры в вычислительной инженерной механике , IOP Publishing