Вращательно-колебательная связь

Без пружины частицы разлетелись бы. Однако сила растянутой пружины толкает частицы по периодическому колебательному пути.

Вращательно-колебательная связь возникает, когда частота вращения объекта близка или идентична частоте собственных внутренних колебаний. Анимация справа показывает простой пример. Движение, изображенное на анимации, предназначено для идеализированной ситуации, когда сила, оказываемая пружиной, увеличивается линейно с расстоянием до центра вращения. Также анимация показывает, что произошло бы, если бы не было трения .

Во вращательно-колебательной связи происходит колебание угловой скорости . Притягивая вращающиеся массы ближе к центру вращения, сила пружины ( центростремительная сила ) выполняет работу , преобразуя накопленную в пружине энергию деформации в кинетическую энергию.масс. Вследствие этого увеличивается угловая скорость. Сила пружины не может тянуть вращающиеся массы полностью к центру, поскольку по мере того, как вращающиеся массы перемещаются ближе к центру вращения, сила, создаваемая пружиной, ослабевает, а скорость неуклонно увеличивается. В какой-то момент скорость увеличилась настолько, что объект снова начал раскачиваться, снова входя в фазу накопления энергии деформации.

В конструкции вертолета должны быть предусмотрены демпфирующие устройства, потому что при определенных угловых скоростях колебания лопастей винта могут усиливаться за счет вращательно-колебательной связи и нарастать катастрофически. Без демпфирования колебания приведут к отрыву лопастей ротора.

Преобразование энергии [ править ]

Движение вращающихся масс отображается в системе координат, которая вращается с постоянной угловой скоростью.

При гармоническом колебании восстанавливающая сила пропорциональна расстоянию до центра.

Анимация справа дает более четкое представление о колебаниях угловой скорости. Здесь есть близкая аналогия с гармоническим колебанием .

Когда гармоническое колебание находится в своей средней точке, вся энергия системы является кинетической . Когда гармоническое колебание происходит в точках, наиболее удаленных от средней точки, вся энергия системы является потенциальной энергией . Энергия системы колеблется между кинетической и потенциальной энергией.

В анимации с двумя вращающимися массами есть колебания кинетической и потенциальной энергии вперед и назад. Когда пружина находится в максимальном растяжении, тогда потенциальная энергия максимальна, когда угловая скорость максимальна, кинетическая энергия максимальна.

Настоящая пружина связана с трением. С настоящей пружиной вибрация будет гашена, и в конечном итоге массы будут вращаться друг вокруг друга на постоянном расстоянии с постоянным натяжением пружины.

Математический вывод [ править ]

В этом обсуждении используются следующие упрощения: сама пружина считается невесомой, а пружина считается совершенной пружиной; возвращающая сила увеличивается линейно по мере растяжения пружины. То есть возвращающая сила точно пропорциональна расстоянию до центра вращения. Возвратная сила с этой характеристикой называется гармонической силой .

Следующее параметрическое уравнение положения как функции времени описывает движение кружащихся масс:

${\ Displaystyle х = а \ соз (\ омега т)}$ (1)

${\ Displaystyle у = б \ грех (\ омега т)}$ (2)

Обозначение:

${\ displaystyle a}$ составляет половину длины большой оси

${\ displaystyle b}$ составляет половину длины малой оси

${\ displaystyle \ omega}$ составляет 360 °, разделенное на продолжительность одного оборота

Движение как функцию времени также можно рассматривать как комбинацию векторов двух равномерных круговых движений. Параметрические уравнения (1) и (2) можно переписать как:

Движение из-за гармонической силы, описываемой как круг + эпикруговое движение

${\ displaystyle x = \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {a + b} {2}} \ end {matrix}} \ right) \ cos (\ omega t) + \ left ({\ begin { матрица} {\ frac {ab} {2}} \ end {matrix}} \ right) \ cos (\ omega t)}$

${\ displaystyle y = \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {a + b} {2}} \ end {matrix}} \ right) \ sin (\ omega t) - \ left ({\ begin { матрица} {\ frac {ab} {2}} \ end {matrix}} \ right) \ sin (\ omega t)}$

Преобразование в систему координат, которая вычитает общее круговое движение, оставляет эксцентриситет эллиптической траектории. центр эксцентриситета расположен на расстоянии от главного центра:${\displaystyle (a+b)/2}$

${\displaystyle x=\left({\begin{matrix}{\frac {a-b}{2}}\end{matrix}}\right)\cos(2\omega t)}$

${\displaystyle y=-\left({\begin{matrix}{\frac {a-b}{2}}\end{matrix}}\right)\sin(2\omega t)}$

Фактически это то, что видно во второй анимации, в которой движение отображается в систему координат, которая вращается с постоянной угловой скоростью. Угловая скорость движения относительно вращающейся системы координат равна 2ω, что в два раза превышает угловую скорость всего движения. Пружина непрерывно работает. Точнее, пружина колеблется между выполнением положительной работы (увеличение кинетической энергии груза) и выполнением отрицательной работы (уменьшение кинетической энергии груза).

Обсуждение с использованием векторной записи [ править ]

Центростремительная сила - это гармоническая сила.

${\displaystyle {\vec {F}}=-\ C{\vec {r}}}$

Множество всех решений приведенного выше уравнения движения состоит как из круговых траекторий, так и из траекторий эллиптической формы. Все решения имеют одинаковый период обращения. Это отличительная черта движения под действием гармонической силы; для всех траекторий требуется одинаковое количество времени, чтобы совершить оборот.

Когда используется вращающаяся система координат, центробежный член и член Кориолиса добавляются к уравнению движения. Следующее уравнение дает ускорение относительно вращающейся системы объекта, движущегося по инерции.

${\displaystyle a\ =\ \Omega ^{2}{\vec {r}}\ +\ 2({\vec {\Omega }}\times {\vec {v}})}$

Здесь Ω - угловая скорость вращающейся системы координат относительно инерциальной системы координат. v - скорость движущегося объекта относительно вращающейся системы координат. Важно отметить, что центробежный член определяется угловой скоростью вращающейся системы координат; термин центробежный не имеет отношения к движению объекта.

В целом это дает следующие три члена в уравнении движения для движения относительно системы координат, вращающейся с угловой скоростью Ω .

${\displaystyle {\vec {F}}=-\ C{\vec {r}}+m\Omega ^{2}{\vec {r}}+2m({\vec {\Omega }}\times {\vec {v}})}$

И центростремительная сила, и центробежный член в уравнении движения пропорциональны r . Угловая скорость вращающейся системы координат регулируется так, чтобы иметь тот же период вращения, что и объект, движущийся по траектории в форме эллипса. Следовательно, вектор центростремительной силы и вектор центробежного члена на каждом расстоянии от центра равны друг другу по величине и противоположны по направлению, поэтому эти два члена падают друг против друга.
Только в очень особых обстоятельствах вектор центростремительной силы и центробежный член падают друг против друга на каждом расстоянии до центра вращения. Это имеет место тогда и только тогда, когда центростремительная сила является гармонической силой.
В этом случае в уравнении движения остается только член Кориолиса.

${\displaystyle {\vec {F}}=2m({\vec {\Omega }}\times {\vec {v}})}$

Поскольку вектор члена Кориолиса всегда направлен перпендикулярно скорости относительно вращающейся системы координат, отсюда следует, что в случае возвращающей силы, которая является гармонической силой, эксцентриситет траектории будет проявляться как небольшое круговое движение относительно вращающейся системы координат. Коэффициент 2 члена Кориолиса соответствует периоду вращения, который составляет половину периода общего движения.

Как и ожидалось, анализ с использованием векторной записи приводит к прямому подтверждению предыдущего анализа:
пружина непрерывно работает. Точнее, пружина колеблется между выполнением положительной работы (увеличение кинетической энергии груза) и выполнением отрицательной работы (уменьшение кинетической энергии груза).

Сохранение углового момента [ править ]

В разделе «Преобразования энергии при вращательно-колебательной связи» за динамикой следует отслеживание преобразований энергии. В учебниках часто указывается, что увеличение угловой скорости при сжатии происходит в соответствии с принципом сохранения углового момента . Поскольку на вращающиеся грузы не действует крутящий момент , угловой момент сохраняется. Однако при этом не учитывается причинный механизм, которым является сила растянутой пружины, и работа, выполняемая во время ее сжатия и растяжения. Точно так же при выстреле из пушки снаряд вылетает из ствола в сторону цели, и ствол отскакивает в соответствии с принципом сохранения количества движения.. Это не означает, что снаряд покидает ствол с большой скоростью из- за отдачи ствола. Хотя отдача ствола должна произойти, как описано в третьем законе Ньютона , она не является причинным фактором.

Причинный механизм заключается в преобразовании энергии: взрыв пороха преобразует потенциальную химическую энергию в потенциальную энергию сильно сжатого газа. Когда газ расширяется, его высокое давление оказывает давление как на снаряд, так и на внутреннюю часть ствола. Именно под действием этой силы потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию снаряда и ствола.

В случае вращательно-колебательной связи причиной является сила, действующая со стороны пружины. Пружина колеблется между работой и отрицательной работой. (Работа считается отрицательной, если направление силы противоположно направлению движения.)

См. Также [ править ]

Вращательно-колебательная спектроскопия

Ссылки [ править ]