Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В линейной алгебре , две матриц являются строки эквивалентны , если один может быть изменен на другую последовательность элементарных операций строк . В качестве альтернативы две матрицы m  ×  n эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое пространство строк . Эта концепция чаще всего применяется к матрицам, которые представляют системы линейных уравнений , и в этом случае две матрицы одинакового размера эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда соответствующие однородные системы имеют одинаковый набор решений, или, что эквивалентно, матрицы имеют одинаковый нуль. пространство .

Поскольку элементарные операции со строками обратимы, эквивалентность строк является отношением эквивалентности . Обычно обозначается тильдой (~). [ необходима цитата ]

Существует аналогичное понятие эквивалентности столбцов , определяемое элементарными операциями с столбцами; две матрицы эквивалентны столбцам тогда и только тогда, когда их транспонированные матрицы эквивалентны строкам. Две прямоугольные матрицы, которые могут быть преобразованы друг в друга, позволяя выполнять как элементарные операции со строками, так и с столбцами, называются просто эквивалентными .

Элементарные операции со строками [ править ]

Элементарная операция строки представляет собой любое одно из следующих шагов:

  1. Обмен: поменять местами две строки матрицы.
  2. Масштаб: умножьте строку матрицы на ненулевую константу.
  3. Сводка: добавить одну строку матрицы, кратную одной, к другой строке.

Две матрицы A и B являются строки эквивалентны , если это возможно , чтобы преобразовать A в B с помощью последовательности элементарных операций строк.

Строка [ править ]

Основная статья: Строка

Строковое пространство матрицы - это набор всех возможных линейных комбинаций ее векторов-строк. Если строки матрицы представляют собой систему линейных уравнений , то пространство строк состоит из всех линейных уравнений, которые могут быть выведены алгебраически из уравнений системы. Две матрицы m  ×  n эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое пространство строк.

Например, матрицы

эквивалентны строкам, пространство строк - это все векторы формы . Соответствующие системы однородных уравнений несут ту же информацию:

В частности, из обеих этих систем следует каждое уравнение вида

Эквивалентность определений [ править ]

Тот факт, что две матрицы эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же пространство строк, является важной теоремой линейной алгебры. Доказательство основано на следующих наблюдениях:

  1. Элементарные операции со строками не влияют на пространство строк матрицы. В частности, любые две эквивалентные по строкам матрицы имеют одно и то же пространство строк.
  2. Любая матрица может быть уменьшена элементарными операциями со строками до матрицы в форме уменьшенного ряда строк .
  3. Две матрицы в форме сокращенного эшелона строк имеют одинаковое пространство строк тогда и только тогда, когда они равны.

Это рассуждение также доказывает, что каждая матрица эквивалентна по строке уникальной матрице с уменьшенной формой эшелона строк.

Дополнительные свойства [ править ]

  • Поскольку нуль - пространство матрицы является ортогональным дополнением в ряду пространства , две матрицы строки эквивалентны тогда и только тогда , когда они имеют один и тот же нуль - пространство.
  • Ранг матрицы равен размеру части строки пространства, поэтому эквивалентные строки матрицы должны иметь одинаковый ранг. Это равно количеству опор в сокращенной форме эшелона строк.
  • Матрица обратима тогда и только тогда, когда она эквивалентна по строке единичной матрице .
  • Матрицы A и B эквивалентны по строкам тогда и только тогда, когда существует обратимая матрица P такая, что A = PB . [1]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Роман 2008 , стр. 9, Пример 0.3
  • Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Done Right (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
  • Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
  • Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, Архивируются с оригинала на 1 марта 2001
  • Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс / Коул, ISBN 0-534-99845-3
  • Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (9-е изд.), Wiley International
  • Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл
  • Роман, Стивен (2008). Продвинутая линейная алгебра . Тексты для выпускников по математике . 135 (3-е изд.). Springer Science + Business Media, LLC. ISBN 978-0-387-72828-5.

Внешние ссылки [ править ]