Теорема Шаудера о неподвижной точке

Теорема Шаудера о неподвижной точке является расширением теоремы Брауэра о неподвижной точке на топологические векторные пространства , которые могут иметь бесконечную размерность. Он утверждает, что если является непустым выпуклым замкнутым подмножеством хаусдорфового топологического векторного пространства и является непрерывным отображением в себя такое, что содержится в компактном подмножестве , то имеет неподвижную точку .${\ displaystyle K}$${\ displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$

Следствие, называемое теоремой Шефера о неподвижной точке , особенно полезно для доказательства существования решений нелинейных уравнений в частных производных . Теорема Шефера на самом деле является частным случаем далеко идущей теоремы Лере – Шаудера, которая ранее была доказана Юлиушем Шаудером и Жаном Лере . Заявление выглядит следующим образом:

Пусть - непрерывное и компактное отображение банахова пространства в себя такое, что множество${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{x\in X:x=\lambda Tx{\mbox{ for some }}0\leq \lambda \leq 1\}}$

ограничен. Тогда есть неподвижная точка.${\displaystyle T}$

История [ править ]

Теорема была выдвинута и доказана для частных случаев, таких как банаховы пространства, Юлиушем Шаудером в 1930 году. Его гипотеза для общего случая была опубликована в шотландской книге . В 1934 г. Тихонов доказал теорему для случая, когда K - компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства. Эта версия известна как теорема Шаудера – Тихонова о неподвижной точке . Б. В. Сингбал доказал теорему для более общего случая, когда K может быть некомпактным; доказательство можно найти в приложении к книге Бонсалла (см. ссылки).

См. Также [ править ]

• Теоремы о неподвижной точке
• Теорема Банаха о неподвижной точке
• Теорема Какутани о неподвижной точке

Ссылки [ править ]

• J. Schauder , Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen , Studia Math. 2 (1930), 171–180
• А. Тихонов , Ein Fixpunktsatz , Mathematische Annalen 111 (1935), 767–776
• Ф. Ф. Бонсалл, Лекции по некоторым теоремам функционального анализа о неподвижной точке , Бомбей, 1962 г.
• Д. Гилбарг, Н. Трудингер , Эллиптические дифференциальные уравнения второго порядка . ISBN  3-540-41160-7 .
• Э. Зейдлер, Нелинейный функциональный анализ и его приложения, I. Теоремы о неподвижной точке.

Внешние ссылки [ править ]

• "Теорема Шаудера" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• "Теорема Шаудера о неподвижной точке" . PlanetMath . с приложенным доказательством (для случая банахова пространства).