Уравнение Шредингера – Ньютона , иногда называемое уравнением Ньютона – Шредингера или Шредингера – Пуассона , представляет собой нелинейную модификацию уравнения Шредингера с ньютоновским гравитационным потенциалом, где гравитационный потенциал возникает из трактовки волновой функции как плотности массы , включая термин, который представляет взаимодействие частицы с ее собственным гравитационным полем. Включение члена самовзаимодействия представляет собой фундаментальное изменение квантовой механики. [1]Его можно записать как единое интегро-дифференциальное уравнение или как связанную систему уравнения Шредингера и уравнения Пуассона. В последнем случае на него также ссылаются во множественном числе.
Уравнение Шредингера – Ньютона впервые было рассмотрено Руффини и Бонаццолой [2] в связи с самогравитирующими бозонными звездами . В этом контексте классической общей теории относительности он появляется как нерелятивистский предел либо уравнения Клейна – Гордона, либо уравнения Дирака в искривленном пространстве-времени вместе с уравнениями поля Эйнштейна . [3] Уравнение также описывает нечеткую темную материю и приближает классическую холодную темную материю, описываемую уравнением Власова – Пуассона, в пределе, когда масса частицы велика. [4]
Позже он был предложен в качестве модели для объяснения функции коллапса квантовой волны на Лайоша Diósi [5] и Роджер Пенроуз , [6] [7] [8] , от которых название «Шредингер-Ньютона уравнения» происходит. В этом контексте материя обладает квантовыми свойствами, в то время как гравитация остается классической даже на фундаментальном уровне. Поэтому уравнение Шредингера – Ньютона было предложено как способ проверить необходимость квантовой гравитации . [9]
В третьем контексте уравнение Шредингера – Ньютона появляется как приближение Хартри для взаимного гравитационного взаимодействия в системе большого числа частиц. В этом контексте соответствующее уравнение для электромагнитного кулоновского взаимодействия было предложено Филиппом Шокаром на симпозиуме по кулоновским системам в 1976 году в Лозанне для описания однокомпонентной плазмы. Эллиотт Х. Либ предоставил доказательство существования и единственности стационарного основного состояния и назвал это уравнение уравнением Шокара . [10]
Обзор
Как связанная система, уравнения Шредингера – Ньютона представляют собой обычное уравнение Шредингера с гравитационным потенциалом самодействия.
где V - обычный потенциал, а гравитационный потенциал , представляющий взаимодействие частицы с собственным гравитационным полем, удовлетворяет уравнению Пуассона
Из-за обратной связи волновой функции с потенциалом это нелинейная система .
Интегродифференциальная форма уравнения имеет вид
Он получается из указанной выше системы уравнений интегрированием уравнения Пуассона в предположении, что потенциал должен обращаться в нуль на бесконечности.
Математически уравнение Шредингера – Ньютона является частным случаем уравнения Хартри для n = 2. Уравнение сохраняет большинство свойств линейного уравнения Шредингера. В частности, он инвариантен относительно постоянных фазовых сдвигов, что приводит к сохранению вероятности, и демонстрирует полную инвариантность Галилея . Помимо этих симметрий, одновременное преобразование
отображает решения уравнения Шредингера – Ньютона в решения. [11] [12] Стационарное уравнение, которое может быть получено обычным способом через разделение переменных, обладает бесконечным семейством нормируемых решений, из которых устойчиво только стационарное основное состояние. [13] [14] [15]
Отношение к полуклассической и квантовой гравитации
Уравнение Шредингера – Ньютона может быть получено в предположении, что гравитация остается классической даже на фундаментальном уровне и что правильный способ связать квантовую материю с гравитацией - это использовать полуклассические уравнения Эйнштейна . В этом случае к уравнению Шредингера добавляется член ньютоновского гравитационного потенциала, где источником этого гравитационного потенциала является математическое ожидание оператора плотности массы. В этом отношении, если гравитация принципиально классическая, уравнение Шредингера – Ньютона является фундаментальным одночастичным уравнением, которое может быть обобщено на случай многих частиц (см. Ниже).
Если, с другой стороны, гравитационное поле квантовано, фундаментальное уравнение Шредингера остается линейным. Уравнение Шредингера – Ньютона тогда справедливо только в качестве приближения для гравитационного взаимодействия в системах из большого числа частиц и не влияет на центр масс. [16]
Уравнение многих тел и движение центра масс
Если уравнение Шредингера – Ньютона рассматривать как фундаментальное уравнение, существует соответствующее уравнение N тел, которое уже было дано Диоши [5] и может быть получено из полуклассической гравитации таким же образом, как и одночастичное уравнение:
Потенциал содержит все взаимные линейные взаимодействия, например электродинамические кулоновские взаимодействия, в то время как член гравитационного потенциала основан на предположении, что все частицы воспринимают один и тот же гравитационный потенциал, генерируемый всеми маргинальными распределениями для всех частиц вместе.
В приближении типа Борна – Оппенгеймера это N-частичное уравнение можно разделить на два уравнения, одно описывает относительное движение, а другое обеспечивает динамику волновой функции центра масс. Для относительного движения гравитационное взаимодействие не играет роли, поскольку оно обычно слабое по сравнению с другими взаимодействиями, представленными. Но он оказывает значительное влияние на движение центра масс. Показависит только от относительных координат и, следовательно, не вносит никакого вклада в динамику центра масс, нелинейное взаимодействие Шредингера-Ньютона вносит свой вклад. В вышеупомянутом приближении волновая функция центра масс удовлетворяет следующему нелинейному уравнению Шредингера:
где M - полная масса, R - относительная координата, волновая функция центра масс, и - это массовая плотность системы многих тел (например, молекулы или горной породы) относительно ее центра масс. [17]
В предельном случае широкой волновой функции, т.е. когда ширина распределения центра масс велика по сравнению с размером рассматриваемого объекта, движение центра масс хорошо аппроксимируется уравнением Шредингера – Ньютона для одиночной частицы. Противоположный случай узкой волновой функции может быть аппроксимирован потенциалом гармонического осциллятора, где динамика Шредингера – Ньютона приводит к вращению в фазовом пространстве. [18]
В контексте, когда уравнение Шредингера – Ньютона появляется как приближение Хартри, ситуация иная. В этом случае полная N-частичная волновая функция рассматривается как состояние продукта N одночастичных волновых функций, где каждый из этих факторов подчиняется уравнению Шредингера – Ньютона. Однако динамика центра масс на этой картинке остается строго линейной. В целом это верно: нелинейные уравнения Хартри никогда не влияют на центр масс.
Значение эффектов
Грубая оценка по порядку величины режима, в котором становятся актуальными эффекты уравнения Шредингера – Ньютона, может быть получена с помощью довольно простых рассуждений. [9] Для сферически-симметричного гауссова ,
свободное линейное уравнение Шредингера имеет решение
Пик радиальной плотности вероятности можно найти на
Теперь выставляем ускорение
вероятности этого пика, равного ускорению под действием силы тяжести Ньютона,
используя это вовремя . Отсюда получаем соотношение
что позволяет нам определить критическую ширину для данного значения массы и наоборот. Мы также признаем упомянутый выше закон масштабирования. Численное моделирование [12] [1] показывает, что это уравнение дает довольно хорошую оценку режима, в котором эффекты уравнения Шредингера – Ньютона становятся существенными.
Для атома критическая ширина составляет около 10 22 метра, в то время как она уже уменьшилась до 10 -31 метра для массы в один микрограмм. Ожидается, что режим, при котором масса составляет около 10 10 атомных единиц массы, а ширина порядка микрометров, позволит экспериментально проверить уравнение Шредингера – Ньютона в будущем. Возможным кандидатом являются эксперименты по интерферометрии с тяжелыми молекулами, которые в настоящее время достигают массы до 10 000 атомных единиц массы.
Коллапс квантовой волновой функции
Идея о том, что гравитация вызывает (или каким-то образом влияет) на коллапс волновой функции, восходит к 1960-м годам и первоначально была предложена Каройхази . [19] Уравнение Шредингера – Ньютона было предложено в этом контексте Диози. [5] Здесь уравнение дает оценку «демаркационной линии» между микроскопическими (квантовыми) и макроскопическими (классическими) объектами. Стационарное основное состояние имеет ширину
Для хорошо локализованной однородной сферы, то есть сферы с волновой функцией центра масс, которая является узкой по сравнению с радиусом сферы, Диоши находит в качестве оценки ширины центра масс в основном состоянии волновая функция
Предполагая обычную плотность около 1000 кг / м 3 , можно рассчитать критический радиус, для которого. Этот критический радиус составляет около одной десятой микрометра.
Роджер Пенроуз предположил, что уравнение Шредингера – Ньютона математически описывает базисные состояния, участвующие в схеме коллапса волновой функции, вызванной гравитацией . [6] [7] [8] Пенроуз предполагает, что суперпозиция двух или более квантовых состояний, которые имеют значительное смещение массы, должна быть нестабильной и переходить в одно из состояний за конечное время. Он выдвигает гипотезу о том, что существует «предпочтительный» набор состояний, который больше не может коллапсировать, в частности, стационарные состояния уравнения Шредингера – Ньютона. Следовательно, макроскопическая система никогда не может находиться в пространственной суперпозиции, поскольку нелинейное гравитационное самодействие немедленно приводит к коллапсу в стационарное состояние уравнения Шредингера – Ньютона. Согласно идее Пенроуза, когда измеряется квантовая частица, происходит взаимодействие этого нелинейного коллапса и декогеренции окружающей среды . Гравитационное взаимодействие приводит к приведению окружающей среды к одному отчетливому состоянию, а декогеренция приводит к локализации частицы, например, в виде точки на экране.
Проблемы и открытые вопросы
При такой интерпретации уравнения Шредингера – Ньютона как причины коллапса волновой функции возникают три основные проблемы. Во-первых, численные исследования [12] [15] [1] согласны с тем, что, когда волновой пакет «схлопывается» до стационарного решения, небольшая его часть, кажется, уносится в бесконечность. Это означало бы, что даже полностью разрушенную квантовую систему все еще можно найти в отдаленном месте. Поскольку решения линейного уравнения Шредингера стремятся к бесконечности еще быстрее, это указывает только на то, что одного уравнения Шредингера – Ньютона недостаточно для объяснения коллапса волновой функции. Если принять во внимание среду, этот эффект может исчезнуть и, следовательно, отсутствовать в сценарии, описанном Пенроузом.
Вторая проблема, также возникающая в предложении Пенроуза, - это происхождение правила Борна . Для решения проблемы измерения простого объяснения, почему волновая функция коллапсирует, например, в точку на экране, недостаточно. Хорошая модель процесса коллапса также должна объяснять, почему точка появляется в разных положениях экрана с вероятностями, которые определяются квадратом абсолютного значения волновой функции. Хотя вполне возможно, что модель, основанная на идее Пенроуза, может дать такое объяснение, нет очевидного способа, каким образом правило Борна могло возникнуть из нее естественным образом.
Наконец, поскольку гравитационный потенциал связан с волновой функцией в картине уравнения Шредингера – Ньютона, волновая функция должна интерпретироваться как реальный объект. Поэтому, по крайней мере в принципе, она становится измеримой величиной. Используя нелокальную природу запутанных квантовых систем, это можно было бы использовать для посылки сигналов со скоростью, превышающей скорость света, что обычно считается противоречащим причинно-следственной связи. Однако неясно, может ли эта проблема быть решена путем применения правильного рецепта коллапса, который еще предстоит найти, последовательно ко всей квантовой системе. Кроме того, поскольку гравитация представляет собой такое слабое взаимодействие, неясно, может ли такой эксперимент действительно быть проведен в рамках параметров, заданных в нашей Вселенной (см. Обсуждение [20] аналогичного мысленного эксперимента, предложенное Эппли и Ханной [21]). ).
Смотрите также
- Нелинейное уравнение Шредингера.
- Полуклассическая гравитация
- Интерпретация Пенроуза
- Уравнение Пуассона
Рекомендации
- ^ a b c van Meter, JR (2011), «Коллапс волновой функции Шредингера – Ньютона», Классическая и квантовая гравитация , 28 (21): 215013, arXiv : 1105.1579 , Bibcode : 2011CQGra..28u5013V , CiteSeerX 10.1 .1.768.3363 , DOI : 10,1088 / 0264-9381 / 28/21/215013 , S2CID 119294473
- ^ Руффини, Ремо; Бонаццола, Сильвано (1969), «Системы самогравитирующих частиц в общей теории относительности и концепция уравнения состояния», Physical Review , 187 (5): 1767–1783, Bibcode : 1969PhRv..187.1767R , doi : 10.1103 /PhysRev.187.1767 , ЛВП : 2060/19690028071
- ^ Джулини, Доменико; Großardt, André (2012), «Уравнение Шредингера – Ньютона как нерелятивистский предел самогравитирующих полей Клейна – Гордона и Дирака», Classical and Quantum Gravity , 29 (21): 215010, arXiv : 1206.4250 , Bibcode : 2012CQGra ..29u5010G , DOI : 10,1088 / 0264-9381 / 29/21/215010 , S2CID 118837903
- ^ Моч, Филипп; Ланкастер, Лахлан; Фиалков Анастасия; Бесерра, Фернандо; Шавани, Пьер-Анри (2018). "Соответствие Шредингера-Пуассона-Власова-Пуассона". Physical Review D . 97 (8): 083519. arXiv : 1801.03507 . Bibcode : 2018PhRvD..97h3519M . DOI : 10.1103 / PhysRevD.97.083519 . ISSN 2470-0010 . S2CID 53956984 .
- ^ а б в Диоши, Лайош (1984), "Гравитация и квантово-механическая локализация макрообъектов", Physics Letters A , 105 (4–5): 199–202, arXiv : 1412.0201 , Bibcode : 1984PhLA..105..199D , doi : 10.1016 / 0375-9601 (84) 90397-9 , S2CID 117957630
- ^ а б Пенроуз, Роджер (1996), "О роли гравитации в редукции квантовых состояний", Общая теория относительности и гравитации , 28 (5): 581–600, Bibcode : 1996GReGr..28..581P , CiteSeerX 10.1.1.468.2731 , doi : 10.1007 / BF02105068 , S2CID 44038399
- ^ а б Пенроуз, Роджер (1998), "Квантовые вычисления, запутанность и редукция состояний", Фил. Пер. R. Soc. Лондон. A , 356 (+1743): 1927-1939, Bibcode : 1998RSPTA.356.1927P , DOI : 10.1098 / rsta.1998.0256 , S2CID 83378847
- ^ а б Пенроуз, Роджер (2014), «О гравитации квантовой механики 1: уменьшение квантового состояния», « Основы физики» , 44 (5): 557–575, Bibcode : 2014FoPh ... 44..557P , doi : 10.1007 / s10701 -013-9770-0
- ^ а б Карлип, С. (2008), «Необходима ли квантовая гравитация?», Классическая и квантовая гравитация , 25 (15): 154010, arXiv : 0803.3456 , Bibcode : 2008CQGra..25o4010C , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 25/15 / 154010 , S2CID 15147227
- ^ Либ, Эллиотт Х. (1977), "Существование и единственность минимизирующего решения нелинейного уравнения Шокара", Исследования по прикладной математике , 57 (2): 93–105, Bibcode : 1977StAM ... 57 ... 93L , doi : 10.1002 / sapm197757293
- ^ Робертшоу, Оливер; Тод, Пол (2006), «Точечные симметрии Ли и приближенное решение для уравнений Шредингера – Ньютона», Нелинейность , 19 (7): 1507–1514, arXiv : math-ph / 0509066 , Bibcode : 2006Nonli..19.1507R , DOI : 10,1088 / 0951-7715 / 19/7/002 , S2CID 119698934
- ^ а б в Джулини, Доменико; Großardt, André (2011), «Гравитационное ингибирование дисперсии в соответствии с уравнением Шредингера – Ньютона», Classical and Quantum Gravity , 28 (19): 195026, arXiv : 1105.1921 , Bibcode : 2011CQGra..28s5026G , doi : 10.1088 / 0264 -9381/28/19/195026 , S2CID 117102725
- ^ Мороз, Ирэн М .; Пенроуз, Роджер; Тод, Пол (1998), "Сферически-симметричные решения уравнений Шредингера – Ньютона", Классическая и квантовая гравитация , 15 (9): 2733–2742, Bibcode : 1998CQGra..15.2733M , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 15.09.19
- ^ Тод, Пол; Мороз, Ирен М. (1999), «Аналитический подход к уравнениям Шредингера – Ньютона», Нелинейность , 12 (2): 201–216, Bibcode : 1999Nonli..12..201T , doi : 10.1088 / 0951-7715 / 02.12.2002
- ^ а б Harrison, R .; Мороз, И .; Тод, КП (2003), «Численное исследование уравнений Шредингера – Ньютона», Нелинейность , 16 (1): 101–122, arXiv : math-ph / 0208045 , Bibcode : 2003Nonli..16..101H , doi : 10.1088 / 0951-7715 / 16/1/307 , (часть 1) и (часть 2)
- ^ Бахрами, Мохаммад; Гросардт, Андре; Донади, Сандро; Басси, Анджело (2014). «Уравнение Шредингера – Ньютона и его основы». New J. Phys . 16 (2014): 115007. arXiv : 1407.4370 . Bibcode : 2014NJPh ... 16k5007B . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 16/11/115007 . S2CID 4860144 .
- ^ Джулини, Доменико; Гросардт, Андре (2014), «Движение центра масс в многочастичной динамике Шредингера – Ньютона», New Journal of Physics , 16 (7): 075005, arXiv : 1404.0624 , Bibcode : 2014NJPh ... 16g5005G , doi : 10.1088 / 1367-2630 / 16/7/075005 , S2CID 119144766
- ^ Ян, Хуан; Мяо, Хайсин; Ли, Да-Шин; Хелу, Бассам; Чен, Yanbei (2013), "макроскопической квантовой механики в классическом пространстве - времени", Physical Review Letters , 110 (17): 170401, Arxiv : 1210,0457 , Bibcode : 2013PhRvL.110q0401Y , DOI : 10,1103 / PhysRevLett.110.170401 , PMID 23679686 , S2CID 34063658
- ^ Каройхази, Ф. (1966), "Гравитация и квантовая механика макроскопических объектов", Il Nuovo Cimento A , 42 (2): 390–402, Bibcode : 1966NCimA..42..390K , doi : 10.1007 / BF02717926 , S2CID 124429072
- ^ Маттингли, Джеймс (2006), «Почему мысленный эксперимент Эппли и Ханны терпит неудачу», Physical Review D , 73 (6): 064025, arXiv : gr-qc / 0601127 , Bibcode : 2006PhRvD..73f4025M , doi : 10.1103 / Physrevd.73.064025 , S2CID 12485472
- ^ Эппли, Кеннет; Ханна, Эрик (1977), «Необходимость квантования гравитационного поля», « Основы физики» , 7 (1–2): 51–68, Bibcode : 1977FoPh .... 7 ... 51E , doi : 10.1007 / BF00715241 , S2CID 123251640