В математике , учитывая два частично упорядоченных множества P и Q , функция f : P → Q между ними является непрерывной по Скотту (названной в честь математика Даны Скотт ), если она сохраняет все направленные супремумы . То есть для каждого направленного подмножества D в P с супремумом в P его образ имеет супремум в Q , и этот супремум является образом супремума в D , т. Е. Гденаправленное соединение. [1] Когда есть набор значений истинности, то есть пространство Серпинского , тогда непрерывные по Скотту функции являются характеристическими функциями , и, таким образом, пространство Серпинского является классифицирующим топосом для открытых множеств. [2]
Подмножество О частично упорядоченном множестве Р называется Скотт-открытой , если это верхний набор , и если он недоступен по направленному присоединяется , то есть , если все направленные множества D с супремум в О имеет непустое пересечение с O . Открытые по Скотту подмножества частично упорядоченного множества P образуют топологию на P , топологию Скотта . Функция между частично упорядоченными множествами является непрерывной по Скотту тогда и только тогда, когда она непрерывна относительно топологии Скотта. [1]
Топология Скотта была впервые определена Даной Скотт для полных решеток, а затем определена для произвольных частично упорядоченных множеств. [3]
Непрерывные по Скотту функции обнаруживаются при изучении моделей лямбда-исчислений [3] и денотационной семантики компьютерных программ.
Функция, непрерывная по Скотту, всегда монотонна .
Подмножество направленного полного частичного порядка замкнуто относительно топологии Скотта, индуцированной частичным порядком, тогда и только тогда, когда оно является нижним множеством и замкнуто относительно супремумов направленных подмножеств. [4]
Направлено полный частичный порядок (DCPO) с топологией Скотта всегда Колмогорова пространство (то есть, она удовлетворяет Т 0 разделения аксиомы ). [4] Однако dcpo с топологией Скотта является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда порядок тривиален. [4] Открытые по Скотту множества, упорядоченные по включению, образуют полную решетку . [5]
Для любого пространства Колмогорова, топология индуцирует отношение порядка на этом пространстве порядок специализации : х ≤ у , если и только если каждая открытая окрестность из й также открытой окрестности у . Отношение порядка DCPO D может быть восстановлено из открытых множеств Скотта как порядок специализации, индуцированный топологией Скотта. Однако DCPO, оснащенный топологией Скотта, не обязательно должен быть трезвым : порядок специализации, индуцированный топологией трезвого пространства, превращает это пространство в DCPO, но топология Скотта, полученная из этого порядка, более тонкая, чем исходная топология. [4]
Открытые множества в данном топологическом пространстве, упорядоченные по включению, образуют решетку, на которой может быть определена топология Скотта. Подмножество X топологического пространства Т является компактным по отношению к топологии на Т (в том смысле , что каждое открытое покрытие из X содержит конечное подпокрытие из X ) , если и только если множество открытых окрестностей в X открыто по отношению к топология Скотта. [5]
Для CPO , декартовой закрытой категории dcpo, два особенно примечательных примера непрерывных по Скотту функций - это curry и apply . [6]
Нуэль Белнап использовал непрерывность Скотта, чтобы расширить логические связки до четырехзначной логики . [7]
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка )