В математике , Сеиферты-Вебер пространство (введено Herbert Seifert и Константин Вебер) является замкнутым гиперболическим 3-многообразием . Оно также известно как додекаэдрическое пространство Зейферта – Вебера и гиперболическое додекаэдрическое пространство . Это один из первых открытых примеров замкнутых трехмерных гиперболических многообразий.
Он строится путем склеивания каждой грани додекаэдра с противоположной стороной таким образом, чтобы получилось замкнутое 3-многообразие. Есть три способа сделать это приклеивание последовательно. Противоположные грани смещены на 1/10 оборота, поэтому для их совмещения они должны быть повернуты на 1/10, 3/10 или 5/10 оборота; поворот на 3/10 дает пространство Зейферта – Вебера. Вращение на 1/10 дает сферу гомологии Пуанкаре , а поворот на 5/10 дает трехмерное реальное проективное пространство .
При использовании схемы склейки на 3/10 витка края исходного додекаэдра склеиваются друг с другом группами по пять штук. Таким образом, в пространстве Зейферта – Вебера каждое ребро окружено пятью пятиугольными гранями, а двугранный угол между этими пятиугольниками равен 72 °. Это не соответствует двугранному углу 117 ° правильного додекаэдра в евклидовом пространстве, но в гиперболическом пространстве существуют правильные додекаэдры с любым двугранным углом от 60 ° до 117 °, и гиперболический додекаэдр с двугранным углом 72 ° может использоваться для получения пространство Зейферта – Вебера - геометрическая структура как гиперболическое многообразие. Это (конечный объем) фактор - пространство из (не конечного объема) порядка 5 додекаэдрических сотни , А регулярная тесселяция из гиперболического 3-пространства с помощью додекаэдров с этим двугранным углом.
Пространство Зейферта – Вебера является сферой рациональных гомологий , и его первая группа гомологий изоморфна. Уильям Терстон предположил, что пространство Зейферта – Вебера не является многообразием Хакена , т. Е. Не содержит несжимаемых поверхностей; Burton, Rubinstein & Tillmann (2012) доказали эту гипотезу с помощью своего компьютерного программного обеспечения Regina .
Рекомендации
- Барбьери, Елена; Кавиккиоли, Альберто; Спаггиари, Фульвия (2009). «Некоторые серии сотовых пространств» . Математический журнал Скалистых гор . 39 (2): 381–398.
- Вебер, Константин; Зейферт, Герберт (1933). "Die beiden Dodekaederräume". Mathematische Zeitschrift . 37 (1): 237–253. DOI : 10.1007 / BF01474572 . Руководство по ремонту 1545392 .
- Терстон, Уильям (1997), Леви, Сильвио (ред.), Трехмерная геометрия и топология. Vol. 1 , Princeton Mathematical Series, 35 , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 0-691-08304-5
- Бертон, Бенджамин А .; Рубинштейн, Дж. Хайам ; Тилльманн, Стефан (2012). «Додекаэдрическое пространство Вебера – Зейферта не является Хакеном». Труды Американского математического общества . 364 : 911–932. arXiv : 0909.4625 . DOI : 10.1090 / S0002-9947-2011-05419-X .
- Недели, Джеффри . Форма пространства (2-е изд.). Марсель Деккер. С. 219 . ISBN 978-0824707095.