Полурегулярное пространство

Полурегулярное пространство является топологическим пространством , чьи регулярные открытые множества (множества , которые равны внутренности их затворы) образуют основание .

Полурегулярные пространства не следует путать с локально регулярными пространствами , пространствами, в которых есть база открытых множеств, порождающих регулярные подпространства . Например, косоглазая линия локально правильная, но не полурегулярная.

Определения [ править ]

Обычные открытые и обычные закрытые сеты[ редактировать ]

Подмножество топологического пространства называется регулярным открытым множеством, если или эквивалентно, если где (соответственно ) обозначает топологическую границу (соответственно внутреннюю , замыкание ) в A Подмножество является регулярным открытым множеством тогда и только тогда, когда его дополнение в регулярное замкнутое множество, где по определению подмножество из называется регулярным замкнутым множеством , если или , что эквивалентно, если каждое регулярное открытое множество обязательно открытое множество и каждое регулярное замкнутое множество обязательно замкнутое множество${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {Int} \ left ({\ overline {S}} \ right) = S}$${\ displaystyle \ operatorname {Bd} \ left ({\ overline {S}} \ right) = \ operatorname {Bd} S,}$${\ displaystyle \ operatorname {Bd} S}$${\ displaystyle \ operatorname {Int} S,}$ ${\ displaystyle {\ overline {S}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {Int} S}} = S}$${\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S.}$, хотя в целом ^{[примечание 1]} обратное не всегда верно.

Каждое из и является одновременно регулярным открытым подмножеством и регулярным замкнутым подмножеством . Внутренность (взятая ) любого замкнутого подмножества обязательно является регулярным открытым подмножеством, и аналогично, замыкание (взятое ) любого открытого подмножества обязательно является регулярным Замкнутое подмножество Пересечение (хотя и не обязательно объединение) двух регулярных открытых множеств снова является регулярным открытым множеством. Точно так же объединение (хотя и не обязательно пересечение) двух регулярных замкнутых множеств снова является регулярным замкнутым множеством.${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Если имеет свою обычную евклидову топологию, то каждый открытый интервал является регулярным открытым подмножеством, а каждый невырожденный закрытый интервал (то есть закрытый интервал, содержащий не менее двух различных точек) является регулярным замкнутым подмножеством. Любой вырожденный замкнутый интервал (то есть интервал формы, состоящий только из одной точки) является замкнутым подмножеством, но не регулярным замкнутым подмножеством, потому что его внутренность - пустое множество, так что ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [x,x]=\{x\},}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} \{x\}}}={\overline {\varnothing }}=\varnothing \neq \{x\}.}$

Полуправильные пробелы [ править ]

Топологическое пространство, для которого существует база, состоящая из регулярных открытых множеств, называется полуправильным пространством . Эквивалентно, это любое топологическое пространство, для которого множество всех регулярных открытых подмножеств составляет основу.

Примеры и достаточные условия [ править ]

Каждое регулярное пространство полуправильно, и каждое топологическое пространство может быть вложено в полуправильное пространство. ^[1]

Заметки [ править ]

См. Также [ править ]

• Список топологий
• Обычное пространство
• Последовательное пространство  - топологическое пространство , которое можно охарактеризовать в терминах последовательностей.

Ссылки [ править ]

Эта статья о топологии незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• t
• e