Сетка (многогранник)
В геометрии сеть многогранника представляет собой расположение непересекающихся многоугольников , соединенных ребрами на плоскости , которые можно сложить (вдоль ребер), чтобы они стали гранями многогранника . Многогранные сети полезны при изучении многогранников и объемной геометрии в целом, поскольку они позволяют строить физические модели многогранников из такого материала, как тонкий картон. [1]
Ранний пример многогранных сетей появляется в работах Альбрехта Дюрера , чья книга 1525 года «Курс в искусстве измерения с помощью компаса и линейки » ( Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd ) включала сети для Платоновых тел и нескольких архимедовых тел. . [2] Эти конструкции были впервые названы сетями в 1543 году Огюстеном Хиршфогелем . [3]
Для данного многогранника может существовать множество различных сетей, в зависимости от выбора того, какие ребра соединяются, а какие разделяются. Ребра, которые вырезаются из выпуклого многогранника для формирования сети, должны образовывать остовное дерево многогранника, но вырезание некоторых остовных деревьев может привести к самоперекрытию многогранника при развертывании, а не к образованию сети. [4] И наоборот, данная сеть может складываться более чем в один выпуклый многогранник, в зависимости от углов, под которыми складываются ее ребра, и от выбора ребер, которые нужно склеить. [5] Если дана сетка вместе со схемой склейки ее ребер, такая, что каждая вершина полученной фигуры имеет положительный угловой дефект и сумма этих дефектов равна ровно 4π , то обязательно существует ровно один многогранник, который можно сложить из него; это теорема единственности Александрова . Однако образованный таким образом многогранник может иметь грани, отличные от тех, что заданы как часть сетки: некоторые полигоны сетки могут иметь сгибы поперек них, а некоторые ребра между полигонами сетки могут оставаться развернутыми. Кроме того, одна и та же сеть может иметь несколько допустимых шаблонов склейки, что приводит к различным свернутым многогранникам. [6]
В 1975 году Дж. Шепард задался вопросом, имеет ли каждый выпуклый многогранник хотя бы одну сеть или простое развертывание ребер. [7] Этот вопрос, также известный как гипотеза Дюрера или проблема развертывания Дюрера, остается без ответа. [8] [9] [10] Существуют невыпуклые многогранники, которые не имеют сетей, и можно разделить грани каждого выпуклого многогранника (например, по геометрическому месту сечения ) так, что множество подразделяемых граней имеет сеть. [4] В 2014 году Мохаммад Гоми показал, что каждый выпуклый многогранник допускает сеть после аффинного преобразования . [11]Кроме того, в 2019 году Барвинок и Гоми показали, что обобщение гипотезы Дюрера не работает для псевдоребер [12] , т. е. сети геодезических, соединяющих вершины многогранника и образующих граф с выпуклыми гранями.
Связанный с этим открытый вопрос спрашивает, есть ли у каждой сети выпуклого многогранника расцветание , непрерывное несамопересекающееся движение из плоского состояния в сложенное, которое удерживает каждую грань плоской на протяжении всего движения. [13]
Кратчайший путь по поверхности между двумя точками на поверхности многогранника соответствует прямой линии на подходящей сетке для подмножества граней, которых касается путь. Сеть должна быть такой, чтобы прямая линия полностью находилась внутри нее, и, возможно, придется рассмотреть несколько цепей, чтобы увидеть, какая из них дает кратчайший путь. Например, в случае куба , если точки находятся на соседних гранях, одним кандидатом на кратчайший путь является путь, пересекающий общее ребро; кратчайший путь такого рода находится с помощью сети, в которой две грани также являются смежными. Другие кандидаты на кратчайший путь проходят через поверхность третьей грани, смежную с обеими (которых две), и соответствующие сети можно использовать для поиска кратчайшего пути в каждой категории. [14]
