Тригонометрические таблицы
В математике таблицы тригонометрических функций полезны в ряде областей. До появления карманных калькуляторов тригонометрические таблицы были необходимы для навигации , науки и техники . Расчет математических таблиц был важной областью исследований, которая привела к разработке первых механических вычислительных устройств .
Современные компьютеры и карманные калькуляторы теперь генерируют значения тригонометрических функций по запросу, используя специальные библиотеки математического кода. Часто эти библиотеки используют предварительно вычисленные таблицы для внутреннего использования и вычисляют требуемое значение с помощью соответствующего метода интерполяции . Интерполяция простых справочных таблиц тригонометрических функций до сих пор используется в компьютерной графике , где может потребоваться лишь скромная точность, а скорость часто имеет первостепенное значение.
Еще одним важным применением тригонометрических таблиц и схем генерации являются алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ), где одни и те же значения тригонометрических функций (называемые коэффициентами вращения ).) должны оцениваться много раз в заданном преобразовании, особенно в общем случае, когда вычисляется множество преобразований одного размера. В этом случае вызов стандартных библиотечных процедур каждый раз неприемлемо медленный. Одним из вариантов является однократный вызов библиотечных подпрограмм для построения таблицы тех тригонометрических значений, которые потребуются, но для хранения таблицы требуется значительный объем памяти. Другая возможность, поскольку требуется регулярная последовательность значений, заключается в использовании рекуррентной формулы для вычисления тригонометрических значений на лету. Значительные исследования были посвящены поиску точных, стабильных рекуррентных схем, чтобы сохранить точность БПФ (который очень чувствителен к тригонометрическим ошибкам).
Современные компьютеры и калькуляторы используют различные методы для получения значений тригонометрических функций по запросу для произвольных углов (Кантабутра, 1996). Один из распространенных методов, особенно на высокопроизводительных процессорах с модулями с плавающей запятой , состоит в объединении полиномиальной или рациональной аппроксимации (например, аппроксимации Чебышева , наилучшей равномерной аппроксимации, аппроксимации Паде и, как правило, для более высокой или переменной точности, рядов Тейлора и Лорана ).) с уменьшением диапазона и поиском по таблице — они сначала ищут ближайший угол в небольшой таблице, а затем используют полином для вычисления коррекции. Поддержание точности при выполнении такой интерполяции нетривиально, но для этой цели можно использовать такие методы, как точные таблицы Гала, редукция диапазона Коди и Уэйта, а также алгоритмы редукции в радианах Пейна и Ханека. На более простых устройствах, в которых отсутствует аппаратный множитель , существует алгоритм под названием CORDIC (а также связанные с ним методы), который более эффективен, поскольку использует только сдвиги и сложения. Все эти методы обычно реализуются аппаратно из соображений производительности.
Конкретный многочлен, используемый для аппроксимации тригонометрической функции, генерируется заранее с использованием некоторой аппроксимации алгоритма минимаксной аппроксимации .
Для вычислений с очень высокой точностью , когда сходимость разложения в ряд становится слишком медленной, тригонометрические функции могут быть аппроксимированы средним арифметико-геометрическим , которое само аппроксимирует тригонометрическую функцию ( комплексным ) эллиптическим интегралом (Брент, 1976).
