Наклонные координаты

Система косых координат является криволинейной системой координат , где координатные поверхности не являются ортогональными , ^[1] , в отличии от ортогональных координат .

С косыми координатами, как правило, сложнее работать по сравнению с ортогональными координатами, поскольку метрический тензор будет иметь ненулевые недиагональные компоненты, что предотвращает многие упрощения в формулах тензорной алгебры и тензорного исчисления . Ненулевые недиагональные компоненты метрического тензора являются прямым результатом неортогональности базисных векторов координат, поскольку по определению: ^[2]

${\ displaystyle g_ {ij} = \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {j}}$

где - метрический тензор и (ковариантные) базисные векторы .${\ displaystyle g_ {ij}}$${\ Displaystyle \ mathbf {е} _ {я}}$

Эти системы координат могут быть полезны, если геометрия задачи хорошо вписывается в искаженную систему. Например, решение уравнения Лапласа в виде параллелограмма будет проще всего, если оно будет выполнено в правильно скошенных координатах.

Декартовы координаты с одной наклонной осью [ править ]

Система координат, в которой ось x согнута к оси z .

Простейшим трехмерным случаем наклонной системы координат является декартова система, когда одна из осей (скажем, ось x ) изогнута на некоторый угол , оставаясь ортогональной одной из двух оставшихся осей. В этом примере ось x декартовой координаты согнута к оси z , оставаясь ортогональной оси y .${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$

Алгебра и полезные величины [ править ]

Пусть , и соответственно единичные векторы вдоль , и осей. Они представляют собой ковариантный базис; вычисление их скалярных произведений дает следующие компоненты метрического тензора :${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$

${\displaystyle g_{11}=g_{22}=g_{33}=1\quad ;\quad g_{12}=g_{23}=0\quad ;\quad g_{13}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right)=\sin(\phi )}$

${\displaystyle {\sqrt {g}}=\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})=\cos(\phi )}$

какие количества будут полезны позже.

Контравариантный базис дается ^[2]

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\sqrt {g}}}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\cos(\phi )}}}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\sqrt {g}}}=\mathbf {e} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\sqrt {g}}}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\cos(\phi )}}}$

Контравариантный базис не очень удобен для использования, однако он присутствует в определениях, поэтому его следует учитывать. Мы предпочтем записывать количества относительно ковариантного базиса.

Поскольку все базисные векторы являются постоянными, сложение и вычитание векторов будут просто привычными покомпонентными сложениями и вычитаниями. Теперь позвольте

${\displaystyle \mathbf {a} =\sum _{i}a^{i}\mathbf {e} _{i}\quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {b} =\sum _{i}b^{i}\mathbf {e} _{i}}$

где суммы означают суммирование по всем значениям индекса (в данном случае i = 1, 2, 3). В контравариантных и ковариантных компонентах этих векторов могут быть связаны

${\displaystyle a^{i}=\sum _{j}a_{j}g^{ij}}$

так что явно

${\displaystyle a^{1}={\frac {a_{1}-\sin(\phi )a_{3}}{\cos ^{2}(\phi )}},}$

${\displaystyle a^{2}=a_{2},}$

${\displaystyle a^{3}={\frac {-\sin(\phi )a_{1}+a_{3}}{\cos ^{2}(\phi )}}.}$

Тогда скалярный продукт с точки зрения контравариантных компонентов равен

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b^{1}+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}+\sin(\phi )(a^{1}b^{3}+a^{3}b^{1})}$

а в терминах ковариантных компонент

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\cos ^{2}(\phi )[a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}-\sin(\phi )(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1})].}$

Исчисление [ править ]

По определению, ^[3] градиент некоторой функции скалярного F является

${\displaystyle \nabla f=\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {e} ^{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {e} ^{2}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} ^{3}}$

где индексируются координаты x , y , z . Признавая это вектором, записанным в терминах контравариантного базиса, его можно переписать:${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle \nabla f={\frac {{\frac {\partial f}{\partial x}}-\sin(\phi ){\frac {\partial f}{\partial z}}}{\cos(\phi )^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {-\sin(\phi ){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}}{\cos(\phi )^{2}}}\mathbf {e} _{3}.}$

Дивергенции вектора является${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {a} ={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}a^{i}\right)={\frac {\partial a^{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial a^{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial a^{3}}{\partial z}}.}$

и тензора ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}a^{ij}\mathbf {e} _{j}\right)=\sum _{i,j}\mathbf {e} _{j}{\frac {\partial a^{ij}}{\partial q^{i}}}.}$

Лапласиан из F является

${\displaystyle \nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f={\frac {1}{\cos(\phi )^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-2\sin(\phi ){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

и, поскольку ковариантный базис нормальный и постоянный, векторный лапласиан совпадает с покомпонентным лапласианом вектора, записанного в терминах ковариантного базиса.

Хотя как скалярное произведение, так и градиент несколько запутаны в том, что у них есть дополнительные члены (по сравнению с декартовой системой), оператор адвекции, который объединяет скалярное произведение с градиентом, оказывается очень простым:

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )=\left(\sum _{i}a^{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\mathbf {e} ^{i}\right)=\left(\sum _{i}a^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\right)}$

который может применяться как к скалярным функциям, так и к векторным функциям, покомпонентно, если они выражены в ковариантном базисе.

Наконец, ротор вектора равен

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {a} =\sum _{i,j,k}\mathbf {e} _{k}\epsilon ^{ijk}{\frac {\partial a_{j}}{\partial q^{i}}}=}$

${\displaystyle {\frac {1}{\cos(\phi )}}\left(\left(\sin(\phi ){\frac {\partial a^{1}}{\partial y}}+{\frac {\partial a^{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial a^{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\frac {\partial a^{1}}{\partial z}}+\sin(\phi )\left({\frac {\partial a^{3}}{\partial z}}-{\frac {\partial a^{1}}{\partial x}}\right)-{\frac {\partial a^{3}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial a^{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial a^{1}}{\partial y}}-\sin(\phi ){\frac {\partial a^{3}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}\right).}$

Ссылки [ править ]