Медленно меняющаяся функция

В реальном анализе , разделе математики , медленно меняющаяся функция является функцией действительной переменной , поведение которой на бесконечности в некотором смысле похоже на поведение функции, сходящейся на бесконечности. Точно так же правильно меняющаяся функция - это функция действительной переменной, поведение которой на бесконечности аналогично поведению степенной функции (например, полинома ) вблизи бесконечности. Эти классы функций оба были введены Йован Карамата , ^{[1] [2]} , и обнаружили несколько важных приложений, например , втеория вероятностей .

Основные определения [ править ]

Определение 1 . Измеримая функция л  : (0, + ∞) → (0, + ∞) , называется медленно меняющейся (на бесконечности) , если для всех а > 0 ,

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {L (ax)} {L (x)}} = 1.}$

Определение 2 . Функция L  : (0, + ∞) → (0, + ∞), для которой предел

${\ displaystyle g (a) = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {L (ax)} {L (x)}}}$

конечна, но отлична от нуля для любого a > 0 , называется правильно меняющейся функцией .

Эти определения принадлежат Йовану Карамате . ^{[1] [2]}

Примечание. В правильно меняющемся случае сумма двух медленно меняющихся функций снова является медленно меняющейся функцией.

Основные свойства [ править ]

Регулярно меняющиеся функции обладают некоторыми важными свойствами: ^[1] частичный их список приведен ниже. Более подробный анализ свойств, характеризующих регулярную изменчивость, представлен в монографии Bingham, Goldie & Teugels (1987) .

Единообразие ограничивающего поведения [ править ]

Теорема 1 . Предел в определениях 1 и 2 является равномерным, если a ограничено компактным интервалом .

Характеризационная теорема Караматы [ править ]

Теорема 2 . Каждая правильно меняющаяся функция f  : (0, + ∞) → (0, + ∞) имеет вид

${\ Displaystyle е (х) = х ^ {\ бета} L (х)}$

куда

• β - действительное число, т.е. β  ∈  R
• L - медленно меняющаяся функция.

Примечание . Отсюда следует, что функция g ( a ) из определения 2 обязательно должна иметь следующий вид

${\ Displaystyle г (а) = а ^ {\ rho}}$

где действительное число ρ называется индексом регулярной вариации .

Теорема Караматы о представлении [ править ]

Теорема 3 . Функция L медленно меняется тогда и только тогда, когда существует B > 0 такое, что для всех x ≥ B функцию можно записать в виде

${\ displaystyle L (x) = \ exp \ left (\ eta (x) + \ int _ {B} ^ {x} {\ frac {\ varepsilon (t)} {t}} \, dt \ right)}$

куда

• η ( x ) - ограниченная измеримая функция действительной переменной, сходящаяся к конечному числу при стремлении x к бесконечности
• ε ( x ) - это ограниченная измеримая функция действительной переменной, стремящаяся к нулю, когда x стремится к бесконечности.

Примеры [ править ]

• Если L имеет предел

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} L (x) = b \ in (0, \ infty),}$

тогда L - медленно меняющаяся функция.

• Для любого β ∈ R функция L ( x ) = log ^β  x медленно меняется.
• Функция L ( x ) =  x не изменяется медленно, как и L ( x ) =  x ^β для любого действительного β  ≠ 0 . Однако эти функции регулярно меняются.

См. Также [ править ]

• Аналитическая теория чисел
• Тауберова теорема Харди – Литтлвуда и ее трактовка Караматой

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Bingham, NH (2001) [1994], "Медленно меняющаяся функция" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Bingham, NH; Голди, CM; Teugels, JL (1987), Regular Variation , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 27 , Cambridge : Cambridge University Press , ISBN. 0-521-30787-2, Руководство по ремонту  0898871 , Zbl  0617.26001
• Galambos, J .; Сенеты, Е. (1973), "правильно меняющимися последовательностей", Труды Американского математического общества , 41 (1): 110-116, DOI : 10,2307 / 2038824 , ISSN  0002-9939 , JSTOR  2038824.