Проблема Снеллиуса – Потенота - это проблема планарной съемки . Учитывая три известные точки A, B и C, наблюдатель в неизвестной точке P видит, что отрезок AC образует угол а отрезок CB образует угол ; проблема состоит в том, чтобы определить положение точки P. (См. рисунок; точка, обозначенная C, находится между A и B, если смотреть со стороны P).
Поскольку она включает в себя наблюдение известных точек с неизвестной точки, проблема является примером обратной засечки . Исторически это впервые изучил Снеллиус , который нашел решение около 1615 года.
Формулировка уравнений
Первое уравнение
Обозначая (неизвестные) углы CAP как x и CBP как y, мы получаем:
с помощью формулы суммы углов для четырехугольника PACB . Переменная С представляет собой (известный) внутренний угол в этом четырехугольнике в точке С . (Обратите внимание, что в случае, когда точки C и P находятся на одной стороне от прямой AB , угол C будет больше, чем).
Второе уравнение
Применяя закон синусов к треугольникам PAC и PBC, мы можем выразить PC двумя разными способами:
На этом этапе полезный трюк - определить вспомогательный угол такой, что
(Небольшое примечание: нас должно беспокоить деление на ноль, но учтите, что проблема симметрична, поэтому, если один из двух заданных углов равен нулю, мы можем, если необходимо, переименовать этот угол в альфа и назвать другой (ненулевой ) angle beta, также меняя роли A и B. Этого будет достаточно, чтобы гарантировать, что указанное выше соотношение хорошо определено. Альтернативный подход к проблеме нулевого угла дается в алгоритме ниже.)
С этой заменой уравнение принимает вид
Мы можем использовать два известных тригонометрических тождества , а именно
- а также
чтобы представить это в форме второго необходимого нам уравнения [ почему? ]
Теперь нам нужно решить эти два уравнения с двумя неизвестными. Как только x и y известны, различные треугольники могут быть решены напрямую, чтобы определить положение P. [1] Подробная процедура показана ниже.
Алгоритм решения
Даны две длины AC и BC и три угла, и C решение происходит следующим образом.
- вычислить . Где atan2 - компьютерная функция, также называемая арктангенсом двух аргументов, которая возвращает арктангенс отношения двух заданных значений. Обратите внимание, что в Microsoft Excel два аргумента поменяны местами, поэтому правильный синтаксис будет '= atan2 (AC * \ sin (beta), BC * \ sin (alpha))'. Функция atan2 правильно обрабатывает случай, когда один из двух аргументов равен нулю.
- вычислить
- вычислить
- найти а также
- если вычислить иначе используйте
- найти (Это происходит из закона косинусов .)
- найти
Если координаты A : x A , y A и C : x C , y C известны в некоторой подходящей декартовой системе координат, то координаты P также могут быть найдены.
Геометрическое (графическое) решение
По теореме о вписанном угле геометрическое место точек, из которых AC образует уголокружность с центром на средней линии AC; из центра O этой окружности AC образует угол. Точно так же геометрическое место точек, из которых CB образует уголэто еще один круг. Искомая точка P находится на пересечении этих двух точек.
Следовательно, на карте или морской карте, показывающей точки A, B, C, можно использовать следующее графическое построение:
- Нарисуйте отрезок AC, среднюю точку M и среднюю линию, которая пересекает AC перпендикулярно в M. На этой прямой найдите точку O такую, что . Нарисуйте круг с центром в точке O, проходящий через точки A и C.
- Повторите то же построение с точками B, C и углом .
- Отметьте P на пересечении двух кругов (два круга пересекаются в двух точках; одна точка пересечения - это C, а другая - желаемая точка P.)
Этот метод решения иногда называют методом Кассини .
Рациональный тригонометрический подход
Следующее решение основано на статье NJ Wildberger. [2] Его преимущество состоит в том, что он почти чисто алгебраический. Единственное место, где используется тригонометрия, - это преобразование углов в спреды . Требуется только один квадратный корень .
- определите следующее:
- теперь позвольте:
- следующее уравнение дает два возможных значения для :
- выбирая большее из этих значений, пусть:
- в итоге получаем:
Неопределенный случай
Когда точка P оказывается на той же окружности, что и точки A, B и C, проблема имеет бесконечное количество решений; причина в том, что из любой другой точки P ', расположенной на дуге APB этого круга, наблюдатель видит те же углы альфа и бета, что и из P ( теорема о вписанных углах ). Таким образом, решение в этом случае не определяется однозначно.
Круг, проходящий через ABC, известен как «круг опасности», и следует избегать наблюдений, сделанных на этом круге (или очень близко к нему). Перед проведением наблюдений полезно нанести этот круг на карту.
Теорема о вписанных четырехугольниках помогает обнаружить неопределенную ситуацию. Четырехугольник APBC является циклическим тогда и только тогда, когда пара противоположных углов (например, угол в точке P и угол в точке C) являются дополнительными, т. Е. Тогда и только тогда.. Если это условие соблюдается, вычисления компьютера / электронной таблицы должны быть остановлены и возвращено сообщение об ошибке («неопределенный случай»).
Решенные примеры
(Адаптированная форма Баузера, [3] упражнение 140, стр. 203). A, B и C - это три объекта, такие что AC = 435 ( ярдов ), CB = 320 и C = 255,8 градусов. Со станции P видно, что APC = 30 градусов и CPB = 15 градусов. Найти расстояния Р от A , B и C . (Обратите внимание, что в этом случае точки C и P находятся по одну сторону от линии AB, конфигурация отличается от показанной на рисунке).
Ответ: PA = 790, PB = 777, PC = 502.
Несколько более сложный тестовый пример для компьютерной программы использует те же данные, но на этот раз с CPB = 0. Программа должна вернуть ответы 843, 1157 и 837.
Споры по именованию
Британский авторитет в области геодезии Джордж Тиррелл Маккоу (1870–1942) писал, что правильный термин на английском языке - это проблема Снеллиуса , в то время как Снеллиус-Потенот используется в континентальной Европе. [4]
Маккоу считал, что имя Лорана Потенота (1650–1732) не заслуживает включения, поскольку он не внес оригинального вклада, а просто повторил Снеллиуса 75 лет спустя.
Смотрите также
Заметки
- ^ Баузер: трактат
- ^ Норман Дж. Вильдбергер (2010). "Греческая геометрия, рациональная тригонометрия и проблема геодезии Снеллиуса-Потенота" (PDF) . Математический журнал Чамчури . 2 (2): 1–14.
- ^ Баузер: трактат
- ^ Маккоу, GT (1918). «Резекция в осмотре» . Географический журнал . 52 (2): 105–126. DOI : 10.2307 / 1779558 . JSTOR 1779558 .
- Герхард Хайндль: Анализ формулы Виллердинга для решения задачи плоской трехточечной резекции , Journal of Applied Geodesy, Band 13, Heft 1, Seiten 27–31, ISSN (Online) 1862-9024, ISSN (Print) 1862-9016, DOI: [ 1]
Рекомендации
- Эдвард А. Баузер: трактат по плоской и сферической тригонометрии , Вашингтон, округ Колумбия, Heath & Co., 1892, стр. 188 Google books