В математике кольцо Стэнли – Райснера или кольцо граней - это фактор алгебры многочленов над полем по бесквадратному мономиальному идеалу . Такие идеалы описываются более геометрически в терминах конечных симплициальных комплексов . Конструкция кольца Стэнли – Райснера является основным инструментом алгебраической комбинаторики и комбинаторной коммутативной алгебры . [1] Его свойства были исследованы Ричардом Стэнли , Мелвином Хохстером и Джеральдом Рейснером в начале 1970-х годов.
Определение и свойства
Для абстрактного симплициального комплекса ∆ на множестве вершин { x 1 , ..., x n } и поля k соответствующее кольцо Стэнли – Рейснера или кольцо граней , обозначенное k [∆], получается из кольца многочленов k [ x 1 , ..., x n ] путем выделения идеала I Δ, порожденного бесквадратными одночленами, соответствующими неграням Δ:
Идеал I Δ называется идеалом Стэнли – Райснера или гранным идеалом Δ. [2]
Характеристики
- Стенли-Райснер к [Δ] является мультиградуированным по Z п , где степень переменного х я это я й стандартного базиса вектор е я из Z н .
- Как векторное пространство над k кольцо Стэнли – Райснера кольца Δ допускает разложение в прямую сумму
- слагаемые k [Δ] σ которого имеют базис из одночленов (не обязательно бесквадратных) с носителями на гранях σ многогранника Δ.
- Размерность Крулля из к [Δ] на единицу больше , чем размерность симплициальном комплекса Д.
- Мультиградуированная, или в порядке , ряд Гильберта из K [А] дается формулой
- Обычный или грубый ряд Гильберта k [Δ] получается из его мультиградуированного ряда Гильберта, устанавливая степень каждой переменной x i равной 1:
- где d = dim (Δ) + 1 - размерность Крулля k [Δ], а f i - количество i- граней Δ. Если это записано в виде
- тогда коэффициенты ( h 0 , ..., h d ) числителя образуют h -вектор симплициального комплекса Δ.
Примеры
Принято считать, что каждая вершина { x i } является симплексом в Δ. Таким образом, ни одна из переменных не принадлежит идеалу Стэнли – Райснера I Δ .
- Δ - симплекс { x 1 , ..., x n }. Тогда I Δ - нулевой идеал и
- является алгеброй многочленов от n переменных над k .
- Симплициальный комплекс Δ состоит из n изолированных вершин { x 1 }, ..., { x n }. потом
- а кольцо Стэнли – Райснера является следующим усечением кольца многочленов от n переменных над k :
- Обобщая предыдущие два примера, пусть Δ будет d -скелетом симплекса { x 1 , ..., x n }, таким образом, он состоит из всех ( d + 1) -элементных подмножеств { x 1 , ..., x n }. Тогда кольцо Стэнли – Райснера является следующим усечением кольца многочленов от n переменных над k :
- Предположим, что абстрактный симплициальный комплекс Δ является симплициальным соединением абстрактных симплициальных комплексов Δ ′ на x 1 , ..., x m и Δ ′ ′ на x m +1 , ..., x n . Тогда кольцо Стенли – Райснера кольца ∆ является тензорным произведением над k колец Стэнли – Райснера колец ∆ ′ и ∆ ′ ′ :
Условие Коэна – Маколея и гипотеза о верхней оценке
Кольцо граней k [∆] является мультиградуированной алгеброй над k, все компоненты которой относительно тонкой градуировки имеют размерность не больше 1. Следовательно, его гомологии можно изучать комбинаторными и геометрическими методами. Абстрактный симплициальный комплекс Δ называется кольцом Коэна – Маколея над k, если его кольцо граней является кольцом Коэна – Маколея . [3] В своей диссертации 1974 г. Джеральд Рейснер дал полную характеристику таких комплексов. Вскоре за этим последовали более точные гомологические результаты о лицевых кольцах Мелвина Хохстера. Затем Ричард Стэнли нашел способ доказать гипотезу о верхней границе для симплициальных сфер , которая была открыта в то время, используя конструкцию кольца граней и критерий Коэна – Маколея Райснера. Идея Стэнли переводить сложные гипотезы алгебраической комбинаторики в утверждения коммутативной алгебры и доказывать их с помощью гомологической техники явилась источником быстро развивающейся области комбинаторной коммутативной алгебры .
Критерий Рейснера
Симплициальный комплекс ∆ называется Коэном – Маколеем над k тогда и только тогда, когда для всех симплексов σ ∈ ∆ все редуцированные симплициальные группы гомологий линка σ в ∆ с коэффициентами в k равны нулю, кроме топ-размерной: [3]
Результат Мункреса затем показывает, что коэново-маколейность Δ над k является топологическим свойством: она зависит только от класса гомеоморфизма симплициального комплекса Δ. А именно, пусть | Δ | - геометрическая реализация Δ. Тогда обращение в нуль симплициальных групп гомологий в критерии Рейснера эквивалентно следующему утверждению о редуцированной и относительной сингулярных группах гомологий | ∆ |:
В частности, если комплекс Δ является симплициальной сферой , то есть | Δ | гомеоморфно сфере , то оно коэна – Маколея над любым полем. Это ключевой шаг в доказательстве Стэнли гипотезы о верхней границе. Напротив, существуют примеры симплициальных комплексов, коэн-маколейность которых зависит от характеристики поля k .
Рекомендации
- Мелвин Хохстер , кольца Коэна-Маколея, комбинаторика и симплициальные комплексы . Теория колец, II (Proc. Second Conf., Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975), pp. 171–223. Конспект лекций в чистом и прикладном. Math., Vol. 26, Деккер, Нью-Йорк, 1977.
- Стэнли, Ричард (1996). Комбинаторика и коммутативная алгебра . Успехи в математике. 41 (Второе изд.). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston. ISBN 0-8176-3836-9. Zbl 0838.13008 .
- Брунс, Винфрид; Герцог, Юрген (1993). Кольца Коэна – Маколея . Кембриджские исследования в области высшей математики. 39 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-41068-1. Zbl 0788.13005 .
- Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005). Комбинаторная коммутативная алгебра . Тексты для выпускников по математике. 227 . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-23707-0. Zbl 1090.13001 .
дальнейшее чтение
- Панов, Тарас Э. (2008). «Когомологии колец граней и действия тора». В «Янге» Николай; Чой, Йемон (ред.). Обзоры по современной математике . Серия лекций Лондонского математического общества. 347 . Издательство Кембриджского университета . С. 165–201. ISBN 978-0-521-70564-6. Zbl 1140.13018 .
Внешние ссылки
- "Кольцо Стэнли – Рейснера" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]