 | Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , А статистическое многообразие является риманова многообразия , каждая точка которого является распределение вероятности . Статистические многообразия обеспечивают настройку области информационной геометрии . Информация метрика Фишера обеспечивает метрику на этих многообразиях. Следуя этому определению, функция логарифма правдоподобия является дифференцируемой картой, а оценка - включением . [1]
Примеры [ править ]
Семейство всех нормальных распределений можно рассматривать как двумерное параметрическое пространство, параметризованное математическим ожиданием μ и дисперсией σ 2 ≥ 0. Оборудованное римановой метрикой, заданной информационной матрицей Фишера , это статистическое многообразие с геометрия моделируется на гиперболическом пространстве .
Простым примером статистического многообразия, взятого из физики, может быть канонический ансамбль : это одномерное многообразие с температурой T, служащей координатой на многообразии. Для любой фиксированной температуры T имеется вероятностное пространство: так, для газа атомов это будет вероятностное распределение скоростей атомов. При изменении температуры T распределение вероятностей меняется.
Еще один простой пример, взятый из медицины, - это распределение вероятностей результатов лечения пациентов в зависимости от количества введенного лекарства. То есть при фиксированной дозе у некоторых пациентов улучшается, а у некоторых нет: это базовое вероятностное пространство. Если дозировка варьируется, то вероятность исходов меняется. Таким образом, дозировка - это координата на коллекторе. Чтобы быть гладким множеством , нужно было бы измерять результаты в ответ на произвольно небольшие изменения дозировки; это практически неосуществимый пример, если только у вас нет заранее существующей математической модели реакции на дозу, где доза может быть произвольно изменена.
Определение [ править ]
Пусть X быть ориентированное многообразие , и пусть будет мера на X . Эквивалентно, пусть будет вероятностное пространство на , с сигма-алгеброй и вероятностью .
Статистическое многообразие S ( X ) пространства X определяется как пространство всех мер на X (с фиксированной сигма-алгеброй ). Обратите внимание, что это пространство бесконечномерно; обычно это пространство Фреше . Точки S ( X ) суть меры.
Вместо того, чтобы иметь дело с бесконечномерным пространством S ( X ), обычно работают с конечномерным подмногообразием , определяемым путем рассмотрения набора распределений вероятностей, параметризованных некоторым гладким, непрерывно меняющимся параметром . То есть учитываются только те меры, которые выбираются параметром. Если параметр является п - мерным, то, в общем, Подмногообразие будет также. Таким образом можно понять все конечномерные статистические многообразия. [ требуется разъяснение ]
Ссылки [ править ]
- ^ Мюррей, Майкл К .; Райс, Джон В. (1993). «Определение статистического многообразия» . Дифференциальная геометрия и статистика . Чепмен и Холл. С. 76–77. ISBN 0-412-39860-5.
