Штейнмец твердый

Твердое тело Штейнмеца (пересечение двух цилиндров)

В геометрии , A Стейнмец твердое вещество представляет собой твердое тело , полученное как пересечение двух или трех цилиндров одинакового радиуса под прямым углом. Каждая из кривых пересечения двух цилиндров представляет собой эллипс.

Пересечение двух цилиндров называется бицилиндром . Топологически он эквивалентен квадратному осоэдру . Пересечение трех цилиндров называется трицилиндром . Надвое бицилиндр называется сводом , ^[1] и монастырский свод в архитектуре имеет эту форму.

Steinmetz твердые частицы названы после того, как математик Штейнмец , ^[2] , который решил проблему определения объема пересечения. Однако та же проблема была решена ранее Архимедом в древнегреческом мире ^[3]^[4] Цзу Чунчжи в древнем Китае ^[5] и Пьеро делла Франческа в раннем итальянском Возрождении. ^[3]

Анимированное изображение бицилиндра

Бицилиндр [ править ]

Поколение бицилиндра

Расчет объема бицилиндра

Бицилиндр, образованный двумя цилиндрами с радиусом, имеет ${\ displaystyle r}$

объем: ${\ displaystyle V = {\ frac {16} {3}} r ^ {3}}$

и

площадь поверхности: ${\ displaystyle A = 16r ^ {2}}$ . ^[1]^[6]

Верхняя половина бицилиндра представляет собой квадратный корпус купольного свода , твердое тело в форме купола, основанное на любом выпуклом многоугольнике, поперечное сечение которого является аналогичными копиями многоугольника, и аналогичными формулами, вычисляющими объем и площадь поверхности купольного свода как в более общем случае имеет место рациональное кратное объему и площади поверхности охватывающей его призмы . ^[7]

Доказательство формулы объема [ править ]

Для вывода формулы объема удобно использовать общую идею вычисления объема шара : собирать тонкие цилиндрические срезы. В этом случае тонкие срезы представляют собой квадратные кубоиды (см. Схему). Это ведет к

{\ Displaystyle V = \ int _ {- r} ^ {r} (2x) ^ {2} \ mathrm {d} z = 4 \ cdot \ int _ {- r} ^ {r} x ^ {2} \ mathrm {d} z = 4 \ cdot \ int _ {- r} ^ {r} (r ^ {2} -z ^ {2}) \ mathrm {d} z = {\ frac {16} {3}} г ^ {3}}

.

Это хорошо известно , что отношения объемов прямого кругового конуса, одна половины шара и прямой круговой цилиндр с одинаковыми радиусами и высотами являются 1: 2: 3. Для половины бицилиндра аналогичного утверждения верно:

Соотношение объемов вписанной квадратной пирамиды ( ), полубицилиндра ( ) и окружающего квадратного кубоида ( ) составляет 1: 2: 3. ${\ displaystyle a = 2r, h = r, V = {\ frac {4} {3}} r ^ {3}}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {8} {3}} r ^ {3}}$ ${\ displaystyle a = 2r, h = r, V = 4r ^ {3}}$

Использование многомерного исчисления [ править ]

Рассмотрим уравнения цилиндров:

${\ displaystyle x ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}}$

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

Объем будет определяться:

$V=\iiint _{V}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x$

В пределах интеграции:

$-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant z\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

$-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant y\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

$-r\leqslant x\leqslant r$

Подставляя, имеем:

$V=\int _{-r}^{r}\int _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\int _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x=8r^{3}-{\frac {8r^{3}}{3}}={\frac {16r^{3}}{3}}$

Доказательство формулы площади [ править ]

Поверхность состоит из двух красных и двух синих цилиндрических двуугольников. Один красный двуугольник разрезается пополам плоскостью yz и превращается в плоскость так, что полукруг (пересечение с плоскостью yz) разворачивается на положительную ось, а развертка двуугольника ограничивается вверх дугой синуса . Следовательно, область этого развития $\xi$ $\eta =r\sin \left({\frac {\xi }{r}}\right),\ 0\leq \xi \leq \pi r$

монастырский свод

B=\int _{0}^{\pi r}r\sin \left({\frac {\xi }{r}}\right)\mathrm {d} \xi =2r^{2}

а общая площадь поверхности составляет:

A=8\cdot B=16r^{2}

.

Альтернативное подтверждение формулы объема [ править ]

Определить объем бицилиндра (белый) можно, упаковав его в куб (красный). Плоскость (параллельная осям цилиндров), пересекающая бицилиндр, образует квадрат, а ее пересечение с кубом - квадрат большего размера. Разница между площадями двух квадратов такая же, как у 4 маленьких квадратов (синие). Когда плоскость движется через твердые тела, эти синие квадраты описывают квадратные пирамиды с равнобедренными гранями в углах куба; вершины пирамид находятся в середине четырех ребер куба. Перемещение плоскости через весь бицилиндр описывает в общей сложности 8 пирамид.

Метод Зу Чунчжи (аналогичный принципу Кавальери ) для расчета объема сферы включает в себя расчет объема бицилиндра.
Связь площади сечения бицилиндра с сечением куба

Объем куба (красный) минус объем восьми пирамид (синий) - это объем бицилиндра (белый). Объем 8 пирамид является: и тогда мы можем вычислить , что объем бицилиндра является $\textstyle 8\times {\frac {1}{3}}r^{2}\times r={\frac {8}{3}}r^{3}$ $\textstyle (2r)^{3}-{\frac {8}{3}}r^{3}={\frac {16}{3}}r^{3}$

Трицилиндр [ править ]

Создание поверхности трицилиндра: Сначала вырезаются два цилиндра (красный, синий). Образовавшийся таким образом бицилиндр разрезается третьим (зеленым) цилиндром.

Пересечение трех цилиндров с перпендикулярно пересекающимися осями образует поверхность твердого тела с вершинами, где встречаются 3 ребра, и вершинами, где встречаются 4 ребра. Множество вершин можно рассматривать как ребра ромбического додекаэдра . Ключом к определению объема и площади поверхности является наблюдение, что трицилиндр может быть передискретизирован с помощью куба с вершинами, где встречаются 3 ребра (см. Диаграмма) и 6 изогнутых пирамид (треугольники являются частями поверхностей цилиндров). Объем и площадь поверхности изогнутых треугольников можно определить по тем же соображениям, что и для бицилиндра выше. ^[1]^[6]

Объем трицилиндра составляет

V=8(2-{\sqrt {2}})r^{3}

и площадь поверхности

A=24(2-{\sqrt {2}})r^{2}.

Больше цилиндров [ править ]

С четырьмя цилиндрами с осями, соединяющими вершины тетраэдра с соответствующими точками на другой стороне твердого тела, объем равен ^[1]^[6]

V_{4}=12(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})r^{3}\,

С шестью цилиндрами с осями, параллельными диагоналям граней куба , объем равен: ^[1]^[6]

V_{6}={\frac {16}{3}}(3+2{\sqrt {3}}-4{\sqrt {2}})r^{3}\,

См. Также [ править ]

Унгула

Ссылки [ править ]

^ a b c d e Weisstein, Eric W. Steinmetz Solid . MathWorld .
↑ Ховард Ивс, Нарезка тонким слоем, в: Дэвид Кларнер, The Mathematical Gardner, Wadsworth International 1981, S. 111
^ a b Петерсон, Марк А. (1997). «Геометрия Пьеро делла Франческа». Математический интеллигент . 19 (3): 33–40. DOI : 10.1007 / BF03025346 . Руководство по ремонту 1475147 .
^ Ян Hogendijk (2002). «Площадь поверхности бицилиндра и метод Архимеда». Historia Mathematica . 29 (2): 199–203. DOI : 10.1006 / hmat.2002.2349 . Руководство по ремонту 1896975 .
^ Swetz, Frank J. (февраль 1995). «Объем шара: китайское происхождение». Учитель математики . 88 (2): 142–145. JSTOR 27969235 .
^ а б в г Мур, М. (1974). «Симметричные пересечения правильных круговых цилиндров». Математический вестник . 58 (405): 181–185. DOI : 10.2307 / 3615957 . JSTOR 3615957 .
^ Апостол, Том М .; Мнацаканян, Мамикон А. (2006). «Твердые тела, ограничивающие сферы» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 113 (6): 521–540. DOI : 10.2307 / 27641977 . JSTOR 27641977 . Руководство по ремонту 2231137 . Архивировано из оригинального (PDF) 07 февраля 2012 года . Проверено 25 марта 2007 .

Внешние ссылки [ править ]

3D-модель твердого тела Штейнмеца в Google 3D Warehouse

[mathworld-1] Weisstein, Eric W. Steinmetz Solid . MathWorld .

[2] Ховард Ивс, Нарезка тонким слоем, в: Дэвид Кларнер, The Mathematical Gardner, Wadsworth International 1981, S. 111

[peterson-3] Петерсон, Марк А. (1997). «Геометрия Пьеро делла Франческа». Математический интеллигент . 19 (3): 33–40. DOI : 10.1007 / BF03025346 . Руководство по ремонту 1475147 .

[4] Ян Hogendijk (2002). «Площадь поверхности бицилиндра и метод Архимеда». Historia Mathematica . 29 (2): 199–203. DOI : 10.1006 / hmat.2002.2349 . Руководство по ремонту 1896975 .

[5] Swetz, Frank J. (февраль 1995). «Объем шара: китайское происхождение». Учитель математики . 88 (2): 142–145. JSTOR 27969235 .

[moore-6] а б в г Мур, М. (1974). «Симметричные пересечения правильных круговых цилиндров». Математический вестник . 58 (405): 181–185. DOI : 10.2307 / 3615957 . JSTOR 3615957 .

[7] Апостол, Том М .; Мнацаканян, Мамикон А. (2006). «Твердые тела, ограничивающие сферы» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 113 (6): 521–540. DOI : 10.2307 / 27641977 . JSTOR 27641977 . Руководство по ремонту 2231137 . Архивировано из оригинального (PDF) 07 февраля 2012 года . Проверено 25 марта 2007 .

[1]

vтеИсчисление
Precalculus	Биномиальная теорема Вогнутая функция Непрерывная функция Факториал Конечная разница Свободные переменные и связанные переменные График функции Линейная функция Радиан Теорема Ролля Секант Склон Касательная
Пределы	Неопределенная форма Предел функции Односторонний предел Предел последовательности Порядок приближения (ε, δ) -определение предела
Дифференциальное исчисление	Производная Дифференциальный Дифференциальное уравнение Дифференциальный оператор Теорема о среднем значении Обозначение Обозначения Лейбница Обозначение Ньютона Правила дифференциации линейность Власть Сумма Цепь L'Hôpital's Товар Правило генерала Лейбница Частное Другие техники Неявное дифференцирование Обратные функции и дифференцирование Логарифмическая производная Связанные ставки Стационарные точки Тест первой производной Тест второй производной Теорема об экстремальном значении Максимумы и минимумы Дальнейшие приложения Метод Ньютона Теорема Тейлора
Интегральное исчисление	Первообразный Длина дуги Основные свойства Константа интеграции Основная теорема исчисления Дифференцируя знаком интеграла Интеграция по частям Интеграция заменой тригонометрический Эйлер Вейерштрасс Частичные доли в интеграции Квадратичный интеграл Трапециевидная линейка Объемы Метод мойки Shell метод
Векторное исчисление	Производные Завиток Производная по направлению Расхождение Градиент Лапласиан Основные теоремы Линейные интегралы Зелень Стокса Гаусса
Многопараметрическое исчисление	Теорема о расходимости Геометрический Матрица Гессе Матрица Якоби и определитель Множитель Лагранжа Линейный интеграл Матрица Кратный интеграл Частная производная Поверхностный интеграл Объемный интеграл Дополнительные темы Дифференциальные формы Внешняя производная Обобщенная теорема Стокса Тензорное исчисление
Последовательности и серии	Арифметико-геометрическая последовательность Типы серий Чередование Биномиальный Фурье Геометрический Гармонический Бесконечный Власть Маклорен Тейлор Телескопирование Тесты сходимости Авеля Чередующиеся серии Конденсация Коши Прямое сравнение Дирихле интеграл Сравнение пределов Соотношение Корень Срок
Специальные функции и числа	Числа Бернулли e (математическая константа) Экспоненциальная функция Натуральный логарифм Приближение Стирлинга
История исчисления	Адекватность Брук Тейлор Колин Маклорен Общность алгебры Готфрид Вильгельм Лейбниц Бесконечно малый Исчисление бесконечно малых Исаак Ньютон Плавность Закон непрерывности Леонард Эйлер Метод флюсий Метод механических теорем
Списки	Правила дифференциации Список интегралов от экспоненциальных функций Список интегралов от гиперболических функций Список интегралов обратных гиперболических функций Список интегралов обратных тригонометрических функций Список интегралов от иррациональных функций Список интегралов логарифмических функций Список интегралов рациональных функций Список интегралов от тригонометрических функций Секант Секанс в кубе Список лимитов Списки интегралов
Разные темы	Дифференциальная геометрия кривизна кривых поверхностей Формула Эйлера – Маклорена Рог Габриэля Интеграционная пчела Доказательство того, что 22/7 превышает π Задача максимизации угла Региомонтануса Штейнмец твердый