Класс Штифеля – Уитни

В математике , в частности , в алгебраической топологии и дифференциальной геометрии , то классы Штифеля-Уитни представляют собой набор топологических инвариантов одного вещественных векторного расслоения , описывающие препятствие для построения всюду независимых наборов сечений векторного расслоения. Классы Штифеля – Уитни индексируются от 0 до n , где n - ранг векторного расслоения. Если класс Штифеля – Уитни индекса i отличен от нуля, то не может существовать ( n - i+1) всюду линейно независимые сечения векторного расслоения. Ненулевой n- й класс Штифеля – Уитни указывает, что каждая секция расслоения в какой-то момент должна обратиться в нуль. Ненулевой первый класс Штифеля – Уитни указывает на то, что векторное расслоение не ориентируемо . Например, первый класс Штифеля – Уитни ленты Мёбиуса как линейного расслоения над окружностью не равен нулю, тогда как первый класс Штифеля – Уитни тривиального линейного расслоения над окружностью, S ¹ × R , равен нулю.

Класс Штифеля-Уитни был назван в Эдуарда Штифелем и Hassler Уитни и является примером Z / 2 Z - характеристический класс , связанный с реальными векторных расслоений.

В алгебраической геометрии можно также определить аналогичные классы Штифеля – Уитни для векторных расслоений с невырожденной квадратичной формой, принимающих значения в этальных группах когомологий или в K-теории Милнора . В качестве частного случая можно определить классы Штифеля – Уитни для квадратичных форм над полями, первые два случая - это дискриминант и инвариант Хассе – Витта ( Milnor 1970 ).

Введение [ править ]

Общее представление [ править ]

Для вещественного векторного расслоения $Е$ , то класс Штифеля-Уитни $Е$ обозначается $ш (Е)$ . Это элемент кольца когомологий

H^{\ast }(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\bigoplus _{i\geq 0}H^{i}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )

здесь $Х$ представляет собой базовое пространство расслоения $Е$ и $Z 2 / Z$ (часто обозначается в качестве альтернативы $Z 2$ ) является коммутативное кольцо которого только элементы 0 и 1. Компонент из $ш (Е)$ в $Н я (X; Z / 2 Z)$ обозначается через $ш я (Е)$ и называется $я$ -й класс Штифеля-Уитни из $Е$ . Таким образом, $w (E) = w 0 (E) + w 1 (E) + w 2 (E) + \cdot\cdot\cdot$ , где каждый $w i (E)$ является элементом $H i (X; Z / 2 Z)$ .

Класс Штифеля – Уитни $w (E)$ является инвариантом вещественного векторного расслоения $E$ ; то есть, когда $Р$ является еще вещественное векторное расслоение , которое имеет ту же базовое пространство $X$ , как $Е$ , и если $F$ является изоморфной с $Е$ , то классы Штифеля-Уитни $ш (Е)$ и $W (F)$ равны. (Здесь изоморфные означает , что существует изоморфизм векторного расслоения $E \to F$ , который охватываеттождество $id X : X \to X.$ ) Хотя в общем случае трудно решить, изоморфны ли два вещественных векторных расслоения $E$ и $F$ , классы Штифеля – Уитни $w (E)$ и $w (F)$ часто легко вычисляются. Если они разные, то известно, что $E$ и $F$ не изоморфны.

В качестве примера, над окружностью $S 1$ , существует линейное расслоение (то есть вещественное векторное расслоение ранга 1), не изоморфно тривиальное расслоение. Это линейное расслоение $L$ является лентой Мёбиуса (которая представляет собой расслоение , слои которого могут быть снабжены структурами векторных пространств таким образом, что они становятся векторным расслоением). Группа когомологий $H 1 (S 1; Z / 2 Z)$ имеет только один элемент, отличный от 0. Этот элемент является первым классом Штифеля – Уитни $w 1 (Л)$ из $L$ . Тактривиальное линейное расслоение над $S 1$ имеет первый класс Штифеля-Уитни 0, она не изоморфна $L$ .

Два вещественных векторных расслоения $E$ и $F,$ которые имеют один и тот же класс Штифеля – Уитни, не обязательно изоморфны. Это происходит, например , когда $Е$ и $F$ являются тривиальными вещественные векторные расслоения разных рангов над одной и той же базой пространства $X$ . Это также может произойти , когда $Е$ и $F$ имеют одинаковый ранг: касательное расслоение на 2-сферы $S 2$ и тривиальное вещественное векторное расслоение ранга 2 над $S 2$ имеют один и тот же класс Штифеля-Уитни, но они не изоморфны. Но если два действительных линейных расслоения над $X$ имеют один и тот же класс Штифеля – Уитни, то они изоморфны.

Истоки [ править ]

Классы Штифеля-Уитни ш _I ( E ) получили свое название потому , что Эдуард Штифель и Hassler Уитни открыл их , как мод-2 сокращениях классов препятствий для построения п - я + 1 всюду линейно независимые секции по вектору пучка $Е$ ограничен I -остов X . Здесь п обозначает размерность слоя векторного расслоения F → E → X .

Чтобы быть точным, если Х представляет собой клеточный комплекс , Уитни определены классы W _I ( E ) в I -ой сотовой когомологический группу из X с скрученными коэффициентами. Система коэффициентов будучи ( я -1) -й гомотопическую группу из многообразия Штифеля V _{п - я + 1} ( Р ) из ( п - я + 1) линейно независимых векторов в слоях Е . Уитни доказал, что W _i ( E) = 0 тогда и только тогда , когда E , будучи ограниченным i -скелетом X , имеет ( n - i +1) линейно независимых участков.

Так как π _{я -1}V _{п - я + 1} ( F ) либо бесконечномерным циклический или изоморфными , чтобы Z / 2 Z , существует каноническое уменьшение Ш _я ( Е ) классов к классам ш _I ( Е ) ∈ H ^я ( X ; Z / 2 Z ), которые являются классами Штифеля – Уитни. Более того, если π _{i −1}V _{n - i +1}( F ) = Z / 2 Z , два класса идентичны. Таким образом, вес ₁ ( E ) = 0 тогда и только тогда , когда расслоение Е → X является ориентируемым .

Класс w ₀ ( E ) не содержит информации, поскольку по определению равен 1. Его создание Уитни было актом творческой нотации, позволившей истинной формуле суммы Уитни w ( E ₁ ⊕ E ₂ ) = w ( E ₁ ) w ( E ₂ ) .

Определения [ править ]

Всюду, $Н я (Х; G)$ обозначает сингулярную когомологию космического $X$ с коэффициентами в группе $G$ . Слово карта всегда означает непрерывную функцию между топологическими пространствами .

Аксиоматическое определение [ править ]

Характеристический класс Штифеля-Уитни вещественного векторного расслоения конечного ранга E на паракомпактном базовом пространстве X определяется как единственный класс, для которого выполняются следующие аксиомы: $w(E)\in H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )$

Нормализация: Класс Уитни линейного расслоения тавтологического над реальным проективным пространством P ¹ ( R ) нетривиальна, то есть . $w(\gamma _{1}^{1})=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=(\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )[a]/(a^{2})$
Ранг: ш ₀ ( Е ) = 1 ∈ H ⁰ ( Х ), и я в ранге выше Е , , то есть, $w_{i}=0\in H^{i}(X)$ $w(E)\in H^{\leqslant \mathrm {rank} (E)}(X).$
Формула произведения Уитни:, то есть класс Уитни прямой суммы является чашечным произведением классов слагаемых. $w(E\oplus F)=w(E)\smallsmile w(F)$
Естественность: для любого вещественного векторного расслоения E → X и отображения , где обозначает обратное векторное расслоение . $w(f^{*}E)=f^{*}w(E)$ $f:X'\to X$ $f^{*}E$

Уникальность этих классов доказывается, например, в разделе 17.2–17.6 в Husemoller или в разделе 8 в Milnor and Stasheff. Есть несколько доказательств существования, исходящие от разных конструкций, с несколькими разными вкусами, их согласованность обеспечивается утверждением об уникальности.

Определение через бесконечные грассманианы [ править ]

Бесконечные грассманианы и векторные расслоения [ править ]

В этом разделе описывается конструкция, использующая понятие классификации пространства .

Для любого векторного пространства V пусть Gr _n ( V ) обозначает грассманиан , пространство n -мерных линейных подпространств в V , и обозначает бесконечный грассманиан

Gr_{n}=Gr_{n}(\mathbf {R} ^{\infty })

.

Напомним , что она оснащена тавтологического пучка в ранг п векторное расслоение , которое может быть определено как подрасслоением тривиального расслоения волокна V , слой которого в точке является подпространство , представленное W . $\gamma ^{n}\to Gr_{n},$ $W\in Gr_{n}(V)$

Пусть f : X → Gr _n , - непрерывное отображение в бесконечный грассманиан. Тогда с точностью до изоморфизма расслоение, индуцированное отображением f на X

f^{*}\gamma ^{n}\in {\text{Vect}}_{n}(X)

зависит только от гомотопического класса отображения [ f ]. Таким образом, операция отката дает морфизм множества

[X;Gr_{n}]

отображений X → Gr _n по модулю гомотопической эквивалентности множеству

{\text{Vect}}_{n}(X)

изоморфизма классов векторных расслоений ранга п над X .

(Важный факт в этой конструкции состоит в том, что если X - паракомпактное пространство , это отображение является биекцией . По этой причине мы называем бесконечные грассманианы классифицирующими пространствами векторных расслоений.)

Теперь, естественности аксиомой (4) выше, . Поэтому в принципе достаточно знать значения для всех j . Однако кольцо коголомологий свободно от определенных образующих, возникающих из стандартного клеточного разложения, и тогда оказывается, что эти образующие на самом деле просто задаются формулой . Таким образом, для любого расслоения ранга n,, где f - подходящее классифицирующее отображение. Это, в частности, является одним из доказательств существования классов Штифеля – Уитни. $w_{j}(f^{*}\gamma ^{n})=f^{*}w_{j}(\gamma ^{n})$ $w_{j}(\gamma ^{n})$ $H^{*}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})$ $x_{j}\in H^{j}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})$ $x_{j}=w_{j}(\gamma ^{n})$ $w_{j}=f^{*}x_{j}$

Случай линейных пакетов [ править ]

Сейчас мы ограничиваемся выше конструкцию , расслоений, т.е. мы рассмотрим пространство, Vect ₁ ( X ) линейных расслоений над X . Грассманиан прямых Gr ₁ - это просто бесконечное проективное пространство

\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )=\mathbf {R} ^{\infty }/\mathbf {R} ^{*},

который дважды покрываются бесконечной сфера S ^∞ по диаметрально противоположным точкам . Эта сфера S ^∞ является сжимаемым , так что мы имеем

{\begin{aligned}\pi _{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{i}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\pi _{i}(S^{\infty })=0&&i>1\end{aligned}}

Следовательно, P ^∞ ( R ) - это пространство Эйленберга-Маклейна K ( Z / 2 Z , 1).

Свойство пространств Эйленберга-Маклейна состоит в том, что

\left[X;\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )\right]=H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )

для любого X с изоморфизмом f → f * η, где η - образующая

H^{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}

.

Применяя предыдущее замечание о том, что α: [ X , Gr ₁ ] → Vect ₁ ( X ) также является биекцией, мы получаем биекцию

w_{1}:{\text{Vect}}_{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )

это определяет класс Штифеля – Уитни w ₁ для линейных расслоений.

Группа линейных пакетов [ править ]

Если Vect ₁ ( X ) рассматривается как группа относительно операции тензорного произведения, то класс Штифеля – Уитни, w ₁ : Vect ₁ ( X ) → H ¹ ( X ; Z / 2 Z ), является изоморфизмом. То есть, ш ₁ (λ ⊗ μ) = ш ₁ (Х) + ш ₁ (ц) для всех пучков линий X, μ → Х .

Например, поскольку H ¹ ( S ¹ ; Z / 2 Z ) = Z / 2 Z , есть только два линейных расслоения над окружностью с точностью до изоморфизма расслоений: тривиальное и открытая лента Мёбиуса (т. Е. Лента Мёбиуса с удаленной границей).

Та же конструкция для комплексных векторных расслоений показывает, что класс Черна определяет биекцию между комплексными линейными расслоениями над X и H ² ( X ; Z ), поскольку соответствующее классифицирующее пространство - это P ^∞ ( C ), a K ( Z , 2). Этот изоморфизм верен для топологических линейных расслоений, препятствием к инъективности класса Черна для алгебраических векторных расслоений является якобиево многообразие .

Свойства [ править ]

Топологическая интерпретация исчезновения [ править ]

w _i ( E ) = 0, если i > rank ( E ).
Если E ^к имеет участки , которые всюду линейно независимы тогда классы сверху степень Уитни равны нулю: . $s_{1},\ldots ,s_{\ell }$ $\ell$ $w_{k-\ell +1}=\cdots =w_{k}=0$
Первый класс Штифеля – Уитни равен нулю тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо . В частности, многообразие M ориентируемо тогда и только тогда, когда w ₁ ( TM ) = 0.
Расслоение допускает спиновую структуру тогда и только тогда, когда и первый, и второй классы Штифеля – Уитни равны нулю.
Для ориентируемого расслоения второй класс Штифеля – Уитни находится в образе естественного отображения H ² ( M , Z ) → H ² ( M , Z / 2 Z ) (эквивалентно так называемый третий интегральный класс Штифеля – Уитни равен нулю) тогда и только тогда, когда расслоение допускает спиновую ^c- структуру.
Все Штифель-Уитни номера (см ниже) гладкого компактного многообразия X равны нулю тогда и только тогда , когда многообразие является границей некоторого гладкого компактного (неориентированный) многообразие (Предупреждение: Некоторые Штифель-Уитни класс все еще может быть отличен от нуля, даже если все Штифель Уитни числа равны нулю!)

Уникальность классов Штифеля – Уитни [ править ]

Приведенная выше биекция для линейных расслоений означает, что любой функтор θ, удовлетворяющий четырем аксиомам выше, равен w , согласно следующему аргументу. Вторая аксиома дает θ (γ ¹ ) = 1 + θ ₁ (γ ¹ ). Для отображения включения i : P ¹ ( R ) → P ^∞ ( R ) обратное расслоение равно . Таким образом, первая и третья аксиомы подразумевают $i^{*}\gamma ^{1}$ $\gamma _{1}^{1}$

i^{*}\theta _{1}\left(\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=i^{*}w_{1}\left(\gamma ^{1}\right).

Поскольку карта

i^{*}:H^{1}\left(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} \right);\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{1}\left(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \right)

является изоморфизмом, откуда следует θ (γ ¹ ) = w (γ ¹ ). Пусть Е вещественное векторное расслоение ранга п над пространством X . Тогда E допускает отображение расщепления , т. Е. Отображение f : X ′ → X для некоторого пространства X ′, такого, что инъективно, и для некоторых линейных расслоений . Любое линейное расслоение над X имеет вид некоторого отображения g , и $\theta _{1}(\gamma ^{1})=w_{1}(\gamma ^{1})$ $f^{*}:H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ))\to H^{*}(X';\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )$ $f^{*}E=\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n}$ $\lambda _{i}\to X'$ $g^{*}\gamma ^{1}$

\theta \left(g^{*}\gamma ^{1}\right)=g^{*}\theta \left(\gamma ^{1}\right)=g^{*}w\left(\gamma ^{1}\right)=w\left(g^{*}\gamma ^{1}\right),

по естественности. Таким образом, θ = w на . Из четвертой аксиомы выше следует, что ${\text{Vect}}_{1}(X)$

f^{*}\theta (E)=\theta (f^{*}E)=\theta (\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n})=\theta (\lambda _{1})\cdots \theta (\lambda _{n})=w(\lambda _{1})\cdots w(\lambda _{n})=w(f^{*}E)=f^{*}w(E).

Поскольку инъективно, θ = w . Таким образом, класс Штифеля – Уитни - это единственный функтор, удовлетворяющий четырем вышеупомянутым аксиомам. $f^{*}$

Неизоморфные расслоения с одинаковыми классами Штифеля – Уитни [ править ]

Хотя отображение w ₁ : Vect ₁ ( X ) → H ¹ ( X ; Z / 2 Z ) является биекцией, соответствующее отображение не обязательно инъективно в более высоких измерениях. Например, рассмотрим касательное расслоение TS ⁿ при четном n . При каноническом вложении S ⁿ в R ^{n +1} нормальное расслоение ν на S ⁿ является линейным расслоением. Поскольку S ⁿ ориентируемо, ν тривиально. Сумма TS ⁿ ⊕ ν - это просто ограничениеT R ^{n +1} в S ⁿ , что тривиально, поскольку R ^{n +1} стягиваем. Следовательно, w ( TS ⁿ ) = w ( TS ⁿ ) w (ν) = w ( TS ⁿ ⊕ ν) = 1. Но, если n четное, TS ⁿ → S ⁿ нетривиально; его класс Эйлера , где [ S ^п ] обозначает фундаментальный класс из S ^п и х с характеристикой Эйлера . $e(TS^{n})=\chi (TS^{n})[S^{n}]=2[S^{n}]\not =0$

Связанные инварианты [ править ]

Числа Штифеля – Уитни [ править ]

Если мы работаем с многообразием размерности n , то любое произведение классов Штифеля – Уитни полной степени n можно спарить с Z / 2 Z - фундаментальным классом многообразия, чтобы получить элемент Z / 2 Z , Штифель– Число Уитни векторного расслоения. Например, если многообразие имеет размерность 3, существуют три линейно независимых числа Штифеля – Уитни, задаваемые формулой . В общем, если многообразие имеет размерность п , число возможных независимых чисел Штифеля-Уитни является число разделов в п . $w_{1}^{3},w_{1}w_{2},w_{3}$

Числа Штифеля – Уитни касательного расслоения гладкого многообразия называются числами Штифеля – Уитни многообразия. Они известны как инварианты кобордизмов . Лев Понтрягин доказал, что если B - гладкое компактное ( n +1) -мерное многообразие с краем, равным M , то все числа Штифеля-Уитни для M равны нулю. ^[1] Более того, Рене Томом было доказано, что если все числа Штифеля-Уитни для M равны нулю, то M может быть реализовано как граница некоторого гладкого компактного многообразия. ^[2]

Одно из важных чисел Штифеля – Уитни в теории хирургии - это инвариант де Рама (4 k +1) -мерного многообразия, $w_{2}w_{4k-1}.$

У классы [ править ]

Классы Штифеля-Уитни ш _к являются Стинрода квадратов по Ву классов об _к , определяемой Wu Вэньцзюнь в ( Wu +1955 ) . Проще говоря, полный класс Штифеля – Уитни - это полный квадрат Стинрода всего класса Wu: Sq ( v ) = w . Классы Wu чаще всего неявно определяются в терминах квадратов Стинрода, как класс когомологий, представляющий квадраты Стинрода. Пусть многообразие X будет п одномерным. Тогда для любого класса когомологий х степеней пк , $v_{k}\cup x=Sq^{k}(x),$ . Или, более узко, мы можем снова потребовать для классов когомологий x степени nk . ^[3] $\langle v_{k}\cup x,\mu \rangle =\langle Sq^{k}(x),\mu \rangle$

Интегральные классы Штифеля – Уитни [ править ]

Элемент называется i + 1 интегральным классом Штифеля – Уитни, где β - гомоморфизм Бокштейна , соответствующий редукции по модулю 2, Z → Z / 2 Z : $\beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\mathbf {Z} )$

\beta \colon H^{i}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{i+1}(X;\mathbf {Z} ).

Например, третий интеграл класс Штифеля-Уитни препятствие к Спин гр структуры .

Отношения над алгеброй Стинрода [ править ]

Над алгеброй Стинрода классы Штифеля – Уитни гладкого многообразия (определенные как классы Штифеля – Уитни касательного расслоения) порождаются классами этого вида . В частности, классы Штифеля – Уитни удовлетворяют формуле Ву , названной в честь Ву Вэньцзюня : ^[4] $w_{2^{i}}$

Sq^{i}(w_{j})=\sum _{t=0}^{i}{j+t-i-1 \choose t}w_{i-t}w_{j+t}.

См. Также [ править ]

Характеристический класс для общего обзора, в частности, класс Черна , прямой аналог для комплексных векторных расслоений
Реальное проективное пространство

Ссылки [ править ]

↑ Понтрягин, Лев С. (1947). «Характеристические циклы на дифференцируемых многообразиях». Мат. Сборник . Новая серия. 21 (63): 233–284.
^ Милнор, Джон В .; Сташеф, Джеймс Д. (1974). Характерные классы . Издательство Принстонского университета. С. 50 –53. ISBN 0-691-08122-0. CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ Милнор, JW; Сташеф, JD (1974). Характерные классы . Издательство Принстонского университета . стр. 131 -133. ISBN 0-691-08122-0.
^ ( Май 1999 г. , стр.197)

Дейл Хусемоллер , Связки волокон , Springer-Verlag, 1994.
Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии (PDF) , Чикаго: University of Chicago Press , извлечено 07 августа 2009 г. CS1 maint: discouraged parameter (link)
Милнор, Джон Уиллард (1970), С приложением Дж Tate, "Алгебраические K -теория и квадратичные формы", Inventiones Mathematicae , 9 : 318-344, DOI : 10.1007 / BF01425486 , ISSN 0020-9910 , М. Р. 0260844 , Zbl 0199.55501

Внешние ссылки [ править ]

Класс Wu в Manifold Atlas

[1] Понтрягин, Лев С. (1947). «Характеристические циклы на дифференцируемых многообразиях». Мат. Сборник . Новая серия. 21 (63): 233–284.

[2] Милнор, Джон В .; Сташеф, Джеймс Д. (1974). Характерные классы . Издательство Принстонского университета. С. 50 –53. ISBN 0-691-08122-0. CS1 maint: discouraged parameter (link)

[3] Милнор, JW; Сташеф, JD (1974). Характерные классы . Издательство Принстонского университета . стр. 131 -133. ISBN 0-691-08122-0.

[4] ( Май 1999 г. , стр.197)