Расширение поля
В математике , особенно в алгебре , расширение поля — это пара полей , в которой операции E — это операции F , ограниченные E. В этом случае F является полем расширения E , а E является подполем F . [1] [2] [3] Например, при обычных понятиях сложения и умножения комплексные числа являются полем расширения действительных чисел . ; действительные числа являются подполем комплексных чисел.
Расширения поля имеют фундаментальное значение в алгебраической теории чисел и в изучении корней многочленов с помощью теории Галуа и широко используются в алгебраической геометрии .
Подполе поля L — это подмножество K поля L , которое является полем по отношению к полевым операциям, унаследованным от L. Эквивалентно, подполе — это подмножество, содержащее 1 и замкнутое относительно операций сложения, вычитания, умножения и взятия обратного значения ненулевого элемента K .
Например, поле рациональных чисел является подполем действительных чисел , которое само является подполем комплексных чисел. В более общем смысле поле рациональных чисел является (или изоморфно ) подполем любого поля характеристики 0.
Если K является подполем L , то L является полем расширения или просто расширением K , и эта пара полей является расширением поля . Такое расширение поля обозначается L / K (читается как « L над K »).
Если L является расширением F , которое, в свою очередь, является расширением K , то F называется промежуточным полем (или промежуточным расширением, или подрасширением ) L / K .