В геометрии , в опорной гиперплоскости в виде набора в евклидовом пространстве - это гиперплоскость , обладающая обоими из следующих двух свойств: [1]
- целиком содержится в одном из двух замкнутых полупространств, ограниченных гиперплоскостью,
- имеет хотя бы одну граничную точку на гиперплоскости.
Здесь замкнутое полупространство - это полупространство, которое включает в себя точки внутри гиперплоскости.
Поддерживающая теорема о гиперплоскости
Эта теорема утверждает, что еслиявляется выпуклым множеством в топологическом векторном пространстве а также точка на границе с то существует опорная гиперплоскость, содержащая Если (является сопряженным пространством из, - ненулевой линейный функционал) такой, что для всех , тогда
определяет опорную гиперплоскость. [2]
Наоборот, если является замкнутым множеством с непустой внутренней таким образом, что каждая точка на границе имеет опорной гиперплоскости, то- выпуклое множество. [2]
Гиперплоскость в теореме может быть не уникальной, как показано на втором рисунке справа. Если закрытый набор невыпукло, утверждение теоремы неверно во всех точках границы как показано на третьем рисунке справа.
Опорные гиперплоскости выпуклых множеств также называют таковыми плоскостями или таковыми-гиперплоскостями . [3]
Связанный результат - теорема о разделяющей гиперплоскости , согласно которой любые два непересекающихся выпуклых множества могут быть разделены гиперплоскостью.
Смотрите также
- Функция поддержки
- Опорная линия (опорные гиперплоскости в)
Заметки
- ^ Люенбергер, Дэвид Г. (1969). Оптимизация методами векторного пространства . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. п. 133. ISBN. 978-0-471-18117-0.
- ^ а б Бойд, Стивен П .; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация (pdf) . Издательство Кембриджского университета. С. 50–51. ISBN 978-0-521-83378-3. Проверено 15 октября 2011 года .
- ^ Касселс, Джон WS (1997), Введение в геометрию чисел , Springer Classics in Mathematics (перепечатка 1959 [3] и 1971 Springer-Verlag ed.), Springer-Verlag.
Ссылки и дополнительная литература
- Осташевский, Адам (1990). Продвинутые математические методы . Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 129 . ISBN 0-521-28964-5.
- Джакинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (1996). Вариационное исчисление . Берлин; Нью-Йорк: Спрингер. п. 57. ISBN 3-540-50625-X.
- Goh, CJ; Ян, XQ (2002). Двойственность в оптимизации и вариационные неравенства . Лондон; Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис. п. 13. ISBN 0-415-27479-6.