Каков минимальный объем среди всех форм одинаковой постоянной ширины?
В геометрии , A поверхность постоянной ширины является выпуклая форма, ширина которого, измеренная на расстояние между двумя противоположными параллельными плоскостями , касаясь ее границы , одно и то же независимо от направления этих двух параллельных плоскостей. Один определяет ширину поверхности в данном направлении как перпендикулярное расстояние между параллелями, перпендикулярными этому направлению. Таким образом, поверхность постоянной ширины является трехмерным аналогом кривой постоянной ширины , двумерной формы с постоянным расстоянием между парами параллельных касательных линий.
Определение [ править ]
В более общем смысле, любое компактное выпуклое тело D имеет одну пару параллельных опорных плоскостей в заданном направлении. Опорная плоскость - это плоскость, которая пересекает границу D, но не внутреннюю часть D. Ширина тела определяется, как и раньше. Если ширина D одинакова во всех направлениях, то говорят, что тело имеет постоянную ширину, и называют его границу поверхностью постоянной ширины, а само тело называют сфероформой .
Примеры [ править ]
Сфера , поверхность постоянного радиуса и , следовательно , диаметр, представляет собой поверхность постоянной ширины.
Вопреки распространенному поверью тетраэдр Рело это не поверхность постоянной ширины. Однако есть два разных способа сглаживания подмножеств ребер тетраэдра Рело для образования тетраэдров Мейснера , поверхностей постоянной ширины. Боннесен и Фенчел (1934) предположили, что эти формы имеют минимальный объем среди всех форм с одинаковой постоянной шириной, но эта гипотеза остается нерешенной.
Среди всех поверхностей вращения с одинаковой постоянной шириной поверхность с минимальным объемом представляет собой форму, выметанную треугольником Рело, вращающимся вокруг одной из осей симметрии ( Campi, Colesanti & Gronchi, 1996 ); и наоборот, сфера с максимальным объемом .
Свойства [ править ]
Каждая параллельная проекция поверхности постоянной ширины представляет собой кривую постоянной ширины . Из теоремы Барбье следует, что каждая поверхность постоянной ширины также является поверхностью постоянного обхвата , где обхват формы является периметром одной из ее параллельных проекций. Напротив, Герман Минковский доказал, что любая поверхность постоянного обхвата также является поверхностью постоянной ширины ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ).
Ссылки [ править ]
- Боннесен, Томми; Фенхель, Вернер (1934), Theorie der konvexen Körper , Springer-Verlag, стр. 127–139..
- Кампи, Стефано; Колесанти, Андреа; Гронки, Паоло (1996), "Минимальные задачи для объемов выпуклых тел", Уравнения с частными производными и их приложения: Сборник статей в честь Карло Пуччи , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике, вып. 177, Марсель Деккер, стр. 43–55..
- Гилфойл, Брендан; Клингенберг, Вильгельм (2009), "О C 2 -гладких поверхностях постоянной ширины", Тбилиси, Матем. J. , 2 : 1–17, arXiv : 0704.3248 , Bibcode : 2007arXiv0704.3248G
- Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Челси, стр. 216–217, ISBN 978-0-8284-1087-8.
- Мейснер, Эрнст; Шиллинг, Фридрих (1912), "Drei Gipsmodelle von Flächen konstanter Breite", Z. Math. Phys. , 60 : 92–94.
Внешние ссылки [ править ]
