Коалгебра
В математике коалгебры или когебры представляют собой структуры, двойственные ( в теоретико-категориальном смысле обращения стрелок ) к унитальным ассоциативным алгебрам . Аксиомы унитальных ассоциативных алгебр могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм . Перевернув все стрелки, получим аксиомы коалгебр. Каждая коалгебра в силу двойственности ( векторного пространства ) порождает алгебру, но не наоборот. В конечных измерениях эта двойственность идет в обоих направлениях ( см. ниже ).
Коалгебры встречаются естественным образом в ряде контекстов (например, в теории представлений , универсальных обертывающих алгебрах и групповых схемах ).
Один часто повторяющийся пример коалгебр встречается в теории представлений и, в частности, в теории представлений группы вращений . Первичная задача, имеющая практическое применение в физике, состоит в том, чтобы получить комбинации систем с различными состояниями углового момента и спина . Для этого используются коэффициенты Клебша–Гордана . Учитывая две системы с угловым моментом и , особенно важной задачей является нахождение полного углового момента данного комбинированного состояния . Это обеспечивается оператором полного углового момента, который извлекает необходимое количество с каждой стороны тензорного произведения. Его можно записать как «внешнее» тензорное произведение
Здесь появляется слово «внешний» в отличие от «внутреннего» тензорного произведения тензорной алгебры . Тензорная алгебра имеет тензорное произведение (внутреннее); он также может быть оснащен вторым тензорным произведением, «внешним» или копроизведением , имеющим форму выше. То, что это два разных произведения, подчеркивается напоминанием о том, что внутреннее тензорное произведение вектора и скаляра — это просто скалярное умножение. Внешний продукт разделяет их. В этом случае сопутствующим продуктом является карта
Для этого примера можно взять одно из спиновых представлений группы вращений, при этом фундаментальное представление является выбором здравого смысла. Это копроизведение может быть поднято на всю тензорную алгебру с помощью простой леммы, применимой к свободным объектам : тензорная алгебра является свободной алгеброй , поэтому любой гомоморфизм, определенный на подмножестве, может быть распространен на всю алгебру. Подробно изучая поднятие, можно заметить, что копроизведение ведет себя как произведение перетасовки , в основном потому, что два указанных выше множителя, левый и правый , должны сохраняться в последовательном порядке во время произведения нескольких угловых моментов (вращения не коммутативны).
