В математике , то п - кратно симметрична продукт из алгебраической кривой C представляет собой фактор - пространство из п -кратной декартово произведение
- С × С × ... × С
или С п от действия группы из симметрической группы S п на п буквах перестановки факторов. Она существует как гладкое алгебраическое многообразие обозначит через Й н С . Если С является компактной римановой поверхностью , Σ п С , следовательно , является комплексным многообразием . Его интерес по отношению к классической геометрии кривых состоит в том, что его точки соответствуют эффективным дивизорам на C степени n , т. Е. Формальным суммам точек с неотрицательными целыми коэффициентами.
Для C проективная прямая (скажем, сфера Римана ∪ {∞} ≈ S 2 ), его n-е симметрическое произведение Σ n C можно отождествить с комплексным проективным пространством размерности n .
Если G имеет рода г ≥ 1 , то Σ п С тесно связаны с якобиевым многообразием J из C . Точнее, для n, принимающего значения до g, они образуют последовательность приближений к J снизу: их изображения в J при сложении на J (см. Тета-делитель ) имеют размерность n и заполняют J , с некоторыми отождествлениями, вызванными специальными делителями .
Для г = п имеет Й г С фактически бирационалъа эквивалентным к J ; якобиан - это разрушение симметричного произведения. Это означает, что на уровне функциональных полей можно построить J , взяв линейно непересекающиеся копии функционального поля C , и в их совокупности взяв фиксированное подполе симметрической группы. Это источник техники Андре Вейля по конструированию J как абстрактной разновидности из «бирациональных данных». В настоящее время предпочтение отдается другим способам построения J , например, как многообразие Пикара [1], но это означает, что для любой рациональной функции F на C
- F ( x 1 ) + ... + F ( x g )
имеет смысл в качестве рациональной функции на J , для й я держаться подальше от полюсов F .
При п > г отображения из Й н С к J добавления волокон его над J ; когда n достаточно велико (примерно вдвое больше g ), оно становится расслоением проективного пространства ( расслоением Пикара ). Это было подробно изучено, например, Кемпфом и Мукаи.
Числа Бетти и эйлерова характеристика симметричного произведения
Пусть С гладкой проективной кривого родом г над комплексными числами C . Эти числа Бетти Ь I (Е п С) симметричных продуктов Е п С для всех п = 0, 1, 2, ... задаются производящей функции
а их эйлеровы характеристики e (Σ n C) задаются производящей функцией
Здесь мы установили u = -1 и y = - p в предыдущей формуле.
Заметки
- ^ Андерсон (2002) представил элементарную конструкцию в виде строк матриц.
Рекомендации
- Макдональд, И. Г. (1962), "продукты Симметричные алгебраической кривой", Топология , 1 (4): 319-343, DOI : 10,1016 / 0040-9383 (62) 90019-8 , МР 0151460
- Андерсон, Грег В. (2002), «Абелианты и их применение к элементарному построению якобианов», Успехи в математике , 172 (2): 169–205, arXiv : math / 0112321 , doi : 10.1016 / S0001-8708 (02 ) 00024-5 , Руководство по эксплуатации 1942403