Дивизор (алгебраическая геометрия)
В алгебраической геометрии дивизоры являются обобщением коразмерности -1 подмногообразий алгебраических многообразий . Обычно используются два различных обобщения: делители Картье и делители Вейля (названные Дэвидом Мамфордом в честь Пьера Картье и Андре Вейля ). Оба они получены из понятия делимости целых чисел и полей алгебраических чисел .
В глобальном масштабе каждое подмногообразие проективного пространства коразмерности 1 определяется обращением в нуль одного однородного многочлена ; напротив, подмногообразие коразмерности r не обязано быть определяемым только r уравнениями, когда r больше 1. (То есть не каждое подмногообразие проективного пространства является полным пересечением .) Локально каждое подмногообразие коразмерности 1 гладкого многообразия можно определить одним уравнением в окрестности каждой точки. Опять же, аналогичное утверждение неверно для подмногообразий более высокой коразмерности. В результате этого свойства большая часть алгебраической геометрии изучает произвольное многообразие, анализируя его подмногообразия коразмерности 1 и соответствующиелинейные пучки .
На сингулярных многообразиях это свойство также может нарушаться, поэтому необходимо различать подмногообразия коразмерности 1 и многообразия, которые можно локально определить одним уравнением. Первые являются делителями Вейля, а вторые — делителями Картье.
Топологически дивизоры Вейля играют роль классов гомологии , а дивизоры Картье представляют классы когомологий . На гладком многообразии (или, в более общем случае, на регулярной схеме ) результат, аналогичный двойственности Пуанкаре , говорит, что дивизоры Вейля и Картье одинаковы.
Название «дивизор» восходит к работам Дедекинда и Вебера , которые показали актуальность дедекиндовских областей для изучения алгебраических кривых . [1] Группа дивизоров на кривой ( свободная абелева группа , порожденная всеми дивизорами) тесно связана с группой дробных идеалов области Дедекинда.
Алгебраический цикл — это более высокое коразмерное обобщение дивизора; по определению дивизор Вейля — это цикл коразмерности 1.
