теория Галуа
В математике теория Галуа , первоначально введенная Эваристом Галуа , обеспечивает связь между теорией поля и теорией групп . Эта связь, основная теорема теории Галуа , позволяет свести некоторые проблемы теории поля к теории групп, что делает их более простыми и понятными.
Галуа ввел предмет изучения корней многочленов . Это позволило ему охарактеризовать полиномиальные уравнения , разрешимые в радикалах, через свойства группы перестановок их корней — уравнение разрешимо в радикалах , если его корни могут быть выражены формулой, включающей только целые числа , n -е корни и четыре основных арифметических действия . Это широко обобщает теорему Абеля-Руффини , утверждающую, что общий многочлен степени не ниже пятой не может быть решен радикалами.
Теория Галуа использовалась для решения классических задач, в том числе для демонстрации того, что две античные проблемы не могут быть решены так, как они были сформулированы ( удвоение куба и деление угла на три части ), и для характеристики правильных многоугольников , которые можно построить (эта характеристика ранее была дана Гауссом , но все известные доказательства полноты этой характеристики требуют теории Галуа).
Работа Галуа была опубликована Жозефом Лиувиллем через четырнадцать лет после его смерти. Теории потребовалось больше времени, чтобы стать популярной среди математиков и быть хорошо понятой.
Рождение и развитие теории Галуа было вызвано следующим вопросом, который был одним из главных открытых математических вопросов до начала 19 века:
Существует ли формула для корней полиномиального уравнения пятой (или более высокой) степени через коэффициенты полинома, использующая только обычные алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и применение радикалов (квадратный корень, кубические корни и т.д.)?
