Температурная зависимость вязкости

Вязкость сильно зависит от температуры. В жидкостях она обычно уменьшается с повышением температуры, тогда как в большинстве газов вязкость увеличивается с повышением температуры. В этой статье обсуждается несколько моделей этой зависимости, от строгих расчетов из первых принципов для одноатомных газов до эмпирических корреляций для жидкостей.

Понимание температурной зависимости вязкости важно во многих областях применения, например, в технических смазках, которые хорошо работают в различных температурных условиях (например, в двигателе автомобиля), поскольку характеристики смазочного материала частично зависят от его вязкости. Инженерные задачи этого типа относятся к сфере трибологии .

Здесь динамическая вязкость обозначается, а кинематическая вязкость - . Приведенные формулы действительны только для абсолютной шкалы температур ; поэтому, если не указано иное, температуры даны в кельвинах .${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$

Физические причины [ править ]

Вязкость в газах возникает из-за того, что молекулы пересекают слои потока и передают импульс между слоями. Эту передачу импульса можно рассматривать как силу трения между слоями потока. Поскольку передача импульса вызывается свободным движением молекул газа между столкновениями, увеличение теплового перемешивания молекул приводит к увеличению вязкости. Следовательно, вязкость газа увеличивается с температурой.

В жидкостях силы вязкости возникают из-за того, что молекулы оказывают друг на друга силы притяжения через слои потока. Повышение температуры приводит к снижению вязкости, поскольку более высокая температура означает, что частицы обладают большей тепловой энергией и легче преодолевают силы притяжения, связывающие их вместе. Обычный пример такого снижения вязкости - кулинарное масло, перемещающееся в горячей сковороде более плавно, чем в холодной.

Газы [ править ]

Кинетическая теория газов позволяет точный расчет температурного изменения газообразной вязкости. Теоретическую основу кинетической теории составляют уравнение Больцмана и теория Чепмена – Энскога , которые позволяют точное статистическое моделирование молекулярных траекторий. В частности, учитывая модель межмолекулярных взаимодействий, можно с высокой точностью рассчитать вязкость одноатомных и других простых газов (для более сложных газов, например, состоящих из полярных молекул , необходимо вводить дополнительные предположения, которые снижают точность теории ). ^[1]

Прогнозы вязкости для четырех молекулярных моделей обсуждаются ниже. Прогнозы первых трех моделей (жесткой сферы, степенного закона и Сазерленда) можно просто выразить в терминах элементарных функций. Модель Леннарда – Джонса предсказывает более сложную зависимость, но она более точна, чем три другие модели, и широко используется в инженерной практике.${\ displaystyle T}$

Кинетическая теория твердых сфер [ править ]

Если моделировать молекулы газа как упругие твердые сферы (с массой и диаметром ), то элементарная кинетическая теория предсказывает, что вязкость увеличивается пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры :${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle \ mu = 1.016 \ cdot {\ frac {5} {16 \ sigma ^ {2}}} \ left ({\ frac {k _ {\ rm {B}} mT} {\ pi}} \ right) ^ {1/2}}$

где - постоянная Больцмана . Правильно предсказывая увеличение вязкости газа с температурой, эта тенденция не является точной; вязкость реальных газов увеличивается быстрее, чем это. Захват реальной зависимости требует более реалистичных моделей молекулярных взаимодействий, в частности, включения притягивающих взаимодействий, которые присутствуют во всех реальных газах. ^[2]${\ displaystyle k _ {\ text {B}}}$${\ displaystyle T ^ {1/2}}$${\ displaystyle T}$

Сила степенного закона [ править ]

Небольшим улучшением по сравнению с моделью твердых сфер является обратная степенная сила отталкивания, где сила между двумя молекулами, разделенными расстоянием , пропорциональна , где - эмпирический параметр. ^[3] Это нереалистичная модель для реальных газов (за исключением, возможно, высоких температур), но дает простую иллюстрацию того, как изменение межмолекулярных взаимодействий влияет на предсказанную температурную зависимость вязкости. В этом случае кинетическая теория предсказывает повышение температуры как , где . Точнее, если известная вязкость при температуре , то${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle 1 / г ^ {\ ню}}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle T ^ {s}}$${\ Displaystyle s = (1/2) +2 / (\ nu -1)}$${\ displaystyle \ mu '}$${\ displaystyle T '}$

${\ Displaystyle \ му = \ му '(Т / Т') ^ {s}}$

Принимая выздоравливает результат твердой сферы, . Для конечного , соответствующего более мягкому отталкиванию, больше , что приводит к более быстрому увеличению вязкости по сравнению с моделью твердых сфер. Подгонка к экспериментальным данным для водорода и гелия дает прогнозы и показаны в таблице. Модель умеренно точна для этих двух газов, но неточна для других газов.${\ displaystyle \ nu \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle s = 1/2}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle 1/2}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ nu}$

Таблица: параметры потенциала обратного степенного закона для водорода и гелия [3]
Газ	${\ displaystyle s}$	${\ displaystyle v}$	Темп. диапазон (K)
Водород	0,668	12,9	273–373
Гелий	0,657	13,7	43–1073

Модель Сазерленда [ править ]

Другая простая модель газовой вязкости - это модель Сазерленда, которая добавляет слабое межмолекулярное притяжение к модели твердых сфер. ^[4] Если аттракционы небольшие, их можно рассматривать как пертурбативно , что приводит к

${\displaystyle \mu ={\frac {5}{16\sigma ^{2}}}\left({\frac {k_{\text{B}}mT}{\pi }}\right)^{1/2}\cdot \left(1+{\frac {S}{T}}\right)^{-1}}$

где , называемая постоянной Сазерленда, может быть выражена через параметры силы межмолекулярного притяжения. Эквивалентно, если вязкость известна при температуре , то${\displaystyle S}$${\displaystyle \mu '}$${\displaystyle T'}$

${\displaystyle \mu =\mu '\left({\frac {T}{T'}}\right)^{3/2}{\frac {T'+S}{T+S}}}$

Значения, полученные из подгонки к экспериментальным данным, показаны в таблице ниже для нескольких газов. Модель умеренно точна для ряда газов ( азота , кислорода , аргона , воздуха и других), но неточна для других газов, таких как водород и гелий . В целом утверждалось, что модель Сазерленда на самом деле является плохой моделью межмолекулярных взаимодействий и полезна только как простая формула интерполяции для ограниченного набора газов в ограниченном диапазоне температур.${\displaystyle S}$

Таблица: Константы Сазерленда для выбранных газов [4]
Газ	${\displaystyle S}$ (К)	Темп. диапазон (K)
Сухой воздух	113	293–373
Гелий	72,9	293–373
Неон	64,1	293–373
Аргон	148	293–373
Криптон	188	289–373
Ксенон	252	288–373
Азот	104,7	293–1098
Кислород	125	288–1102

Леннард-Джонс [ править ]

При довольно общих условиях на молекулярной модели предсказание кинетической теории для может быть записано в виде${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu ={\frac {5}{16\pi ^{1/2}}}{\frac {(mk_{\text{B}}T)^{1/2}}{\sigma ^{2}\Omega (T)}}}$

где называется интегралом столкновений и является функцией температуры, а также параметров межмолекулярного взаимодействия. ^[5] Он полностью определяется кинетической теорией и выражается через интегралы по траекториям столкновений пар молекул. В общем, это сложная функция как температуры, так и молекулярных параметров; модели степенного закона и Сазерленда необычны тем, что могут быть выражены в терминах элементарных функций.${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

Модель Леннарда – Джонса предполагает межмолекулярный парный потенциал вида

${\displaystyle V(r)=4\epsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}\right]}$

где и - параметры, - расстояние, разделяющее центры масс молекул. Таким образом, модель предназначена для сферически-симметричных молекул. Тем не менее, его часто используют для несферически симметричных молекул, если они не обладают большим дипольным моментом . ^{[5] [6]}${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle r}$

Интеграл столкновений для модели Леннарда-Джонса не может быть точно выражен через элементарные функции. Тем не менее, его можно рассчитать численно, и согласие с экспериментом хорошее - не только для сферически-симметричных молекул, таких как благородные газы , но также и для многих многоатомных газов. ^[6] Также была предложена приблизительная форма : ^[7]${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega (T)=1.16145\left(T^{*}\right)^{-0.14874}+0.52487e^{-0.77320T^{*}}+2.16178e^{-2.43787T^{*}}}$

где . Это уравнение имеет среднее отклонение всего 0,064 процента от диапазона .${\displaystyle T^{*}\equiv k_{\text{B}}T/\epsilon }$${\displaystyle 0.3<T^{*}<100}$

Значения и оценки на основе экспериментальных данных показаны в таблице ниже для нескольких распространенных газов.${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \epsilon }$

Таблица: параметры Леннарда-Джонса выбранных газов [8]
Газ	${\displaystyle \sigma }$( ангстремы )	${\displaystyle \epsilon /k_{\text{B}}}$ (К)
Сухой воздух	3,617	97,0
Гелий	2,576	10.2
Водород	2,915	38,0
Аргон	3,432	122,4
Азот	3,667	99,8
Кислород	3,433	113
Углекислый газ	3,996	190
Метан	3,780	154

Жидкости [ править ]

В отличие от газов, для вязкости жидкости не существует систематической микроскопической теории. ^[9] Однако существует несколько эмпирических моделей, которые экстраполируют температурную зависимость на основе имеющихся экспериментальных значений вязкости.

Двухпараметрическая экспонента [ править ]

Простая и широко распространенная эмпирическая корреляция для вязкости жидкости - это двухпараметрическая экспонента:

${\displaystyle \mu =Ae^{B/T}}$

Это уравнение было впервые предложено в 1913 году и широко известно как уравнение Андраде (названное в честь британского физика Эдварда Андраде ). Он точно описывает многие жидкости в широком диапазоне температур. Его форма может быть мотивирована моделированием переноса импульса на молекулярном уровне как активированного скоростного процесса ^[10], хотя физические предположения, лежащие в основе таких моделей, были поставлены под сомнение. ^[11]

В таблице ниже приведены оценочные значения и для представительных жидкостей. Подробные таблицы этих параметров для сотен жидкостей можно найти в литературе. ^[12]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Параметры аппроксимации для корреляции [13]${\displaystyle \mu =Ae^{B/T}}$
Жидкость	Химическая формула	А (мПа · с)	В (К)	Темп. диапазон (K)
Бром	Br 2	0,0445	907,6	269–302
Ацетон	С 3 Н 6 О	0,0177	845,6	193–333
Бромоформ	CHBr 3	0,0332	1195	278–363
Пентан	С 5 Н 12	0,0191	722,2	143–313
Бромбензол	C 6 H 5 Br	0,02088	1170	273–423

Трех- и четырехпараметрические экспоненты [ править ]

Также можно найти табличные экспоненты с дополнительными параметрами, например

${\displaystyle \mu =A\exp {\left({\frac {B}{T-C}}\right)}}$

а также

${\displaystyle \mu =A\exp {\left({\frac {B}{T}}+CT+DT^{2}\right)}}$

Типичные значения приведены в таблицах ниже.

Параметры аппроксимации для корреляции [14]${\displaystyle \mu =A\exp {\left({\frac {B}{T-C}}\right)}}$
Жидкость	Химическая формула	А (мПа · с)	В (К)	С (К −1 )	Темп. диапазон (K)
Меркурий	Hg	0,7754	117,91	124,04	290–380
Фтор	F 2	0,09068	45,97	39 377	60–85
Вести	Pb	0,7610	421,35	266,85	600–1200
Гидразин	N 2 H 4	0,03625	683,29	83,603	280–450
Октан	С 8 Н 18	0,007889	1456,2	-51,44	270–400

Параметры аппроксимации для корреляции [13]${\displaystyle \mu =A\exp {\left({\frac {B}{T}}+CT+DT^{2}\right)}}$
Жидкость	Химическая формула	А (мПа · с)	В (К)	С (К −1 )	D (К −2 )	Темп. диапазон (K)
Воды	H 2 O	1,856 · 10 −11	4209	0,04527	-3,376 · 10 -5	273–643
Спирт этиловый	С 2 Н 6 О	0,00201	1614	0,00618	-1,132 · 10 -5	168–516
Бензол	С 6 Н 6	100,69	148,9	-0,02544	2,222 · 10 −5	279–561
Циклогексан	С 6 Н 12	0,01230	1380	−1,55 · 10 −3	1,157 · 10 −6	280–553
Нафталин	С 10 Н 8	3,465 · 10 −5	2517	0,01098	-5,867 · 10 -6	354–748

Модели кинематической вязкости [ править ]

Влияние температуры на кинематическую вязкость также описывалось рядом эмпирических уравнений. ^[15]${\displaystyle \nu }$

Формула Вальтера обычно записывается в виде

${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(\nu +\lambda ))=A-B\,\log _{10}T}$

где - постоянная сдвига, а - эмпирические параметры. В спецификациях смазочных материалов обычно указываются только две температуры, и в этом случае обычно принимается стандартное значение = 0,7.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \lambda }$

Модель Райта имеет вид

${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(\nu +\lambda +f(\nu )))=A-B\,\log _{10}T}$

где к формуле Вальтера добавлена дополнительная функция , часто полиномиальная подгонка экспериментальных данных.${\displaystyle f(v)}$

Модель Ситона основана на кривой зависимости вязкости многих жидкостей ( хладагентов , углеводородов и смазочных материалов) от температуры и применяется в широком диапазоне температур и вязкости:

${\displaystyle \ln \left({\ln \left({\nu +0.7+e^{-\nu }K_{0}\left({\nu +1.244067}\right)}\right)}\right)=A-B\ln T}$

где - абсолютная температура в кельвинах, - кинематическая вязкость в сантистоксах , - модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка , и - эмпирические параметры, специфичные для каждой жидкости.${\displaystyle T}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle K_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Для вязкости жидкого металла как функции температуры Ситон предложил:

${\displaystyle \ln \left({\ln \left({\nu +0.7+e^{-\nu }K_{0}\left({\nu +1.244067}\right)}\right)}\right)=A-{B \over T}}$

См. Также [ править ]

• Индекс вязкости
• Трибология
• Транспортные явления
• Молекулярное моделирование
• Межмолекулярная сила
• Силовое поле (химия)
• Метод Joback

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Берд, Р. Байрон; Стюарт, Уоррен Э .; Лайтфут, Эдвин Н. (2007), Явления переноса (2-е изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-470-11539-8.
• Чепмен, Сидней; Каулинг, Т.Г. (1970), Математическая теория неоднородных газов (3-е изд.), Cambridge University Press
• Хильдебранд, Джоэл Генри (1977), Вязкость и диффузность: прогнозирующая обработка , John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-03072-0
• Neufeld, Philip D .; Janzen, AR; Азиз, Р.А. (1972). «Эмпирические уравнения для расчета 16 транспортных интегралов столкновений Ω (l, s) * для потенциала Леннард-Джонса (12–6)». Журнал химической физики . 57 (3): 1100–1102. DOI : 10.1063 / 1.1678363 . ISSN  0021-9606 .
• Рид, Роберт С .; Prausnitz, John M .; Полинг, Брюс Э. (1987), Свойства газов и жидкостей , McGraw-Hill Book Company, ISBN 0-07-051799-1
• Seeton, Christopher J. (2006), "вязкость-температура корреляции для жидкостей", Трибология Letters , 22 : 67-78, DOI : 10.1007 / s11249-006-9071-2
• Вишванатх, DS; Натараджан, Г. (1989). Сборник данных по вязкости жидкостей . Издательство Hemisphere Publishing Corporation. ISBN 0-89116-778-1.