Теория Чепмена – Энскога обеспечивает основу, в которой уравнения гидродинамики для газа могут быть выведены из уравнения Больцмана . Этот метод оправдывает в остальном феноменологические определяющие соотношения, появляющиеся в гидродинамических описаниях, таких как уравнения Навье – Стокса . При этом выражения для различных коэффициентов переноса, таких как теплопроводность и вязкость , получаются в терминах молекулярных параметров. Таким образом, теория Чепмена – Энскога представляет собой важный шаг в переходе от микроскопического описания, основанного на частицах, к гидродинамическому континууму .
Теория названа в честь Сидни Чепмена и Дэвида Энскога , которые независимо друг от друга представили ее в 1916 и 1917 годах [1].
Описание
Отправной точкой теории Чепмена – Энскога является уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения :
где - нелинейный интегральный оператор, моделирующий эволюцию при межчастичных столкновениях. Эта нелинейность затрудняет решение полного уравнения Больцмана и мотивирует развитие приближенных методов, таких как метод, предоставляемый теорией Чепмена – Энскога.
Учитывая эту отправную точку, различные предположения, лежащие в основе уравнения Больцмана, переносятся и на теорию Чепмена – Энскога. Самый простой из них требует разделения шкалы между продолжительностью столкновения. и среднее свободное время между столкновениями : . Это условие гарантирует, что столкновения являются четко определенными событиями в пространстве и времени, и выполняется, если безразмерный параметр маленький, где - диапазон межчастичных взаимодействий и - числовая плотность. [2] В дополнение к этому предположению теория Чепмена – Энскога также требует, чтобынамного меньше, чем любые внешние временные рамки. Это временные рамки, связанные с членами в левой части уравнения Больцмана, которые описывают изменения состояния газа на макроскопических длинах. Обычно их значения определяются начальными / граничными условиями и / или внешними полями. Такое разделение масштабов означает, что член столкновения в правой части уравнения Больцмана намного меньше, чем член потока в левой части. Таким образом, приближенное решение можно найти из
Можно показать, что решение этого уравнения является гауссовским :
где масса молекулы и - постоянная Больцмана . [3] Говорят, что газ находится в локальном равновесии, если он удовлетворяет этому уравнению. [4] Предположение о локальном равновесии непосредственно приводит к уравнениям Эйлера , которые описывают жидкости без диссипации, то есть с теплопроводностью и вязкостью, равными. Основная цель теории Чепмена – Энскога состоит в том, чтобы систематически получать обобщения уравнений Эйлера, которые действительно включают диссипацию. Это достигается выражением отклонений от локального равновесия в виде ряда теории возмущений по числу Кнудсена. , что мало, если . Концептуально полученные гидродинамические уравнения описывают динамическое взаимодействие между свободным течением и межчастичными столкновениями. Последнее , как правило , водить газ по направлению к локальному равновесию, в то время как бывшие действуют через пространственные неоднородности для привода газа вдали от локального равновесия. [5] Когда число Кнудсена порядка 1 или больше, газ в рассматриваемой системе не может быть описан как жидкость.
Для первого заказа в , получаем уравнения Навье – Стокса . Второй и третий порядки приводят к уравнениям Бернетта и супербернеттовским уравнениям.
Математическая формулировка
Поскольку число Кнудсена не появляется явно в уравнении Больцмана, а скорее неявно в терминах функции распределения и граничных условий, фиктивный параметр вводится для отслеживания соответствующих приказов в расширении Chapman – Enskog:
Видно, что маленькие подразумевает коллизионный член доминирует над термином потоковой передачи , что равносильно тому, что число Кнудсена невелико. Таким образом, подходящей формой разложения Чепмена – Энскога является
Решения, которые можно формально разложить таким образом, известны как нормальные решения уравнения Больцмана. [6] Очевидно, что этот класс решений исключает непертурбативные вклады (такие как), которые появляются в пограничных слоях или вблизи внутренних ударных слоев . Таким образом, теория Чепмена – Энскога ограничивается ситуациями, в которых такими решениями можно пренебречь.
Подставляя это разложение и приравнивая порядки ведет к иерархии
где - интегральный оператор, линейный по обоим аргументам, удовлетворяющий а также . Решение первого уравнения является гауссовским:
для некоторых функций , , а также . Заманчиво приравнять эти функции к физическим гидродинамическим полям, определяемым как моменты:
Однако с чисто математической точки зрения эти два набора функций не обязательно одинаковы для (для они равны по определению). Действительно, если систематически продвигаться по иерархии, можно обнаружить, что аналогично, каждый также содержит произвольные функции а также связь которого с физическими гидродинамическими полями априори неизвестна. Одно из ключевых упрощающих предположений теории Чепмена – Энскога состоит в предположении, что эти в противном случае произвольные функции могут быть записаны в терминах точных гидродинамических полей и их пространственных градиентов. Другими словами, пространственно-временная зависимостьвходит только неявно через гидродинамические поля. Это утверждение физически правдоподобно, поскольку при малых числах Кнудсена ожидается вход в гидродинамический режим, в котором состояние газа определяется исключительно гидродинамическими полями. В случае, функции , , а также считаются в точности равными физическим гидродинамическим полям.
Хотя эти предположения физически правдоподобны, возникает вопрос, действительно ли существуют решения, удовлетворяющие этим свойствам. Точнее, нужно показать, что существуют решения, удовлетворяющие
Более того, даже если такие решения существуют, остается дополнительный вопрос о том, охватывают ли они полный набор нормальных решений уравнения Больцмана, т.е. не представляют ли они искусственное ограничение исходного разложения в . Одним из ключевых технических достижений теории Чепмена – Энскога является положительный ответ на оба эти вопроса. [6] Таким образом, по крайней мере на формальном уровне, подход Чепмена – Энскога не теряет общности.
Установив эти формальные соображения, можно приступить к вычислению . Результат [1]
где вектор и тензор , каждый представляет собой решение линейного неоднородного интегрального уравнения , которые могут быть решены в явном виде полиномиального разложения. Обратите внимание, что двоеточие обозначает произведение с двумя точками , для тензоров , .
Прогнозы
В первом порядке по числу Кнудсена тепловой поток найдено, что подчиняется закону теплопроводности Фурье , [7]
и тензор потока импульса является жидкостью Ньютона , [7]
с участием тождественный тензор. Здесь а также являются константами, которые мы теперь отождествляем с теплопроводностью и вязкостью. Их можно явно рассчитать в терминах молекулярных параметров, решив линейное интегральное уравнение; в таблице ниже приведены результаты для нескольких важных молекулярных моделей ( масса молекулы и - постоянная Больцмана). [8]
Модель | Заметки | ||
---|---|---|---|
Жесткие упругие шары диаметром | Правильно до 3-х знаков после запятой. | ||
Молекулы с силой отталкивания | обозначает гамма-функцию , а- числовой коэффициент. Чепмен и Коулинг перечисляют несколько значений последнего, например а также . [9] | ||
Потенциал Леннарда-Джонса : | является функцией который можно рассчитать численно. Это варьируется от для к для . [10] |
С этими результатами легко получить уравнения Навье – Стокса. Взятие моментов скорости из уравнения Больцмана приводит к точным уравнениям баланса для гидродинамических полей, , а также :
Как и в предыдущем разделе, двоеточие обозначает произведение с двумя точками, . Подставляя выражения Чепмена – Энскога для а также , приходим к уравнениям Навье – Стокса.
Сравнение с экспериментом
Важное предсказание теории Чепмена-Энскога состоит в том, что вязкость не зависит от плотности (это можно увидеть для каждой молекулярной модели в таблице 1, но на самом деле она не зависит от модели). Этот удивительный результат восходит к Джеймсу Клерку Максвеллу , который вывел его в 1860 году на основе более элементарных кинетических аргументов. [11] Это хорошо подтверждено экспериментально для газов при обычных плотностях.
Гелий | 2,45 |
Неон | 2,52 |
Аргон | 2,48 |
Криптон | 2,535 |
Ксенон | 2,58 |
С другой стороны, теория предсказывает, что действительно зависит от температуры. Для жестких упругих сфер прогнозируемое масштабирование равно, в то время как другие модели обычно показывают большее изменение в зависимости от температуры. Например, для молекул, отталкивающих друг друга с силой прогнозируемое масштабирование , где . Принимая, соответствующий , показывает разумное согласие с экспериментально наблюдаемым скейлингом для гелия. Для более сложных газов согласие не такое хорошее, скорее всего, из-за пренебрежения силами притяжения. [13] Действительно, модель Леннарда-Джонса , которая действительно включает в себя аттракционы, может быть приведена в большее соответствие с экспериментом (хотя и за счет более непрозрачногозависимость; см. запись Леннарда-Джонса в таблице 1). [14]
Теория Чепмена – Энскога также предсказывает простую связь между а также в виде , где - удельная теплоемкость при постоянном объеме иявляется чисто числовым фактором. Для сферически-симметричных молекул его значение будет очень близко кнемного зависящим от модели способом. Например, жесткие упругие сферы имеют, и молекулы с силой отталкивания имеют (последнее отклонение не учитывается в таблице 1). Частный случай молекул Максвелла (сила отталкивания) имеет точно. [15] Поскольку, , а также могут быть измерены непосредственно в эксперименте, простой экспериментальной проверкой теории Чепмена – Энскога является измерение для сферически-симметричных благородных газов . Таблица 2 показывает, что существует разумное согласие между теорией и экспериментом. [12]
Расширения
Основные принципы теории Чепмена – Энскога можно распространить на более разнообразные физические модели, включая газовые смеси и молекулы с внутренними степенями свободы. В режиме высокой плотности теория может быть адаптирована для учета столкновительного переноса импульса и энергии, то есть переноса по диаметру молекулы во время столкновения, а не по длине свободного пробега ( между столкновениями). Включение этого механизма предсказывает зависимость вязкости от плотности при достаточно высокой плотности, которая также наблюдается экспериментально.
Можно также провести теорию до более высокого порядка по числу Кнудсена. В частности, вклад третьего порядкабыл рассчитан Бернеттом. [16] В общих обстоятельствах, однако, к этим исправлениям высокого порядка следует подходить с осторожностью, учитывая, что расширение Чепмена – Энскога не всегда может сходиться. [17] (С другой стороны, считается, что разложение является по крайней мере асимптотическим для решений уравнения Больцмана, и в этом случае усечение на низком уровне все равно дает точные результаты.) [18] Даже если поправки более высокого порядка действительно позволяют улучшить в данной системе интерпретация соответствующих гидродинамических уравнений все еще обсуждается. [19]
Смотрите также
- Транспортные явления
- Кинетическая теория газов
- Уравнение Больцмана
- Уравнения Навье – Стокса
- Вязкость
- Теплопроводность
Заметки
- ^ а б Чепмен, Сидней; Каулинг, Т.Г. (1970), Математическая теория неоднородных газов (3-е изд.), Cambridge University Press
- ^ Балеску, Раду (1975), Равновесная и неравновесная статистическая механика , John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-04600-4
- ^ Черчиньяни, Карло (1975), Теория и применение уравнения Больцмана , Elsevier, стр. 78–79, ISBN 978-0-444-19450-3
- ^ Балеску, стр. 450
- ^ Балеску, стр. 451
- ^ а б Град, Гарольд (1958), «Принципы кинетической теории газов», в Flügge, S. (ed.), Encyclopedia of Physics , XII , Springer-Verlag, pp. 205–294.
- ^ а б Берд, Р. Брайон; Армстронг, Роберт С .; Хассагер, Оле (1987), Динамика полимерных жидкостей, Том 1: Механика жидкости (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 10–11.
- ↑ Чепмен и Коулинг, глава 10
- ↑ Chapman & Cowling, p. 172
- ↑ Chapman & Cowling, p. 185
- ^ Максвелл, Джеймс (1860 г.), «V. Иллюстрации к динамической теории газов. - Часть I. О движениях и столкновениях идеально упругих сфер», Philosophical Magazine , 19 (124): 19–32, doi : 10.1080 / 14786446008642818
- ^ a b Chapman & Cowling стр. 249
- ^ Chapman & передка, стр. 230-232
- ^ Chapman & передка, стр. 235-237
- ^ Chapman & передка, стр. 247
- ^ Бернетт, D. (1936), «Распределение скоростей молекул и среднее движения в неоднородном газе», Труды Лондонского математического общества , 40 : 382, DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-40.1.382
- ^ Сантос, Андрес; Брей, Дж. Хавьер; Dufty, Джеймс В. (1986), "Расхождение Расширение Чепмена-Энскога", Physical Review Letters , 56 (15): 1571-1574, DOI : 10,1103 / PhysRevLett.56.1571 , PMID 10032711
- ^ Град, Гарольд (1963), "Асимптотическая теория уравнения Больцмана", Физика жидкостей , 6 (2): 147, DOI : 10,1063 / 1,1706716
- ^ Гарсия-Колин, LS; Веласко, РМ; Урибе, FJ (2008), "Beyond уравнений Навье-Стокса: Барнетта гидродинамики", ФИЗИКА , 465 (4): 149-189, DOI : 10.1016 / j.physrep.2008.04.010
Рекомендации
Классическая монография по теме:
- Чепмен, Сидней; Каулинг, Т.Г. (1970), Математическая теория неоднородных газов (3-е изд.), Cambridge University Press
Содержит техническое введение в нормальные решения уравнения Больцмана:
- Град, Гарольд (1958), «Принципы кинетической теории газов», в Flügge, S. (ed.), Encyclopedia of Physics , XII , Springer-Verlag, pp. 205–294.