Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В геометрии , тетраэдр упаковка является проблемой организации идентичных регулярных тетраэдров в течение трехмерного пространства так, чтобы заполнить максимально возможную долю пространства.

В настоящее время плотнейшая известная структурой упаковки для правильных тетраэдров является двойной решеткой из треугольных бипирамид и заполняет 85,63% пространство

В настоящее время наилучшая достигнутая нижняя граница оптимальной доли упаковки правильных тетраэдров составляет 85,63%. [1] Тетраэдры не занимают мозаичное пространство, [2] и сообщалось о верхней границе ниже 100% (а именно, 1 - (2,6 ...) · 10 −25 ). [3]

Исторические результаты [ править ]

Тетраэдрическая упаковка

Аристотель утверждал, что тетраэдры могут полностью заполнять пространство. [4] [5]

В 2006 году Конвей и Торквато показали, что фракция упаковки около 72% может быть получена путем построения небравеской решетчатой ​​упаковки тетраэдров (с множеством частиц с обычно разными ориентациями на повторяющуюся единицу), и таким образом они показали, что наилучшая упаковка тетраэдров не может быть решетчатой ​​упаковкой (с одной частицей на повторяющуюся единицу, так что каждая частица имеет общую ориентацию). [6] Эти конструкции насадки почти вдвое увеличили оптимальную долю упаковки решетки Бравэ (36,73%), полученную Хойлманом. [7] В 2007 и 2010 годах Чайкин и его коллеги экспериментально показали, что кубики, похожие на тетраэдр, могут произвольно упаковываться в ограниченный контейнер с долей упаковки от 75% до 76%. [8]В 2008 году Чен был первым, кто предложил упаковку твердых правильных тетраэдров, которые были упакованы более плотно, чем сферы, что численно продемонстрировало долю упаковки 77,86%. [9] [10] Дальнейшее улучшение было сделано в 2009 году Торквато и Цзяо, которые сжали структуру Чена с помощью компьютерного алгоритма до фракции упаковки 78,2021%. [11]

В середине 2009 года Хаджи-Акбари и др. показал, с помощью MC моделирований изначально случайных систем , что при плотности упаковки> 50% равновесная жидкость из твердых тетраэдров самопроизвольно переходит в двенадцатиугольном квазикристаллическом , который может быть сжат до 83.24%. Они также сообщили о стекловидной, неупорядоченной упаковке при плотности, превышающей 78%. Для периодического приближения квазикристалла с элементарной ячейкой из 82 тетраэдров они получили плотность упаковки 85,03%. [12]

В конце 2009 года Каллус, Эльзер и Гравел обнаружили новое, гораздо более простое семейство насадок с плотностью набивки 85,47%. [13] Эти насадки были также основой слегка улучшенной насадки, полученной Торквато и Цзяо в конце 2009 г. с долей насадки 85,55%, [14] и Ченом, Энгелем и Глотцером в начале 2010 года с долей насадки 85,63%. [1] Результат Чена, Энгеля и Глотцера в настоящее время является самой плотной из известных упаковок твердых правильных тетраэдров. Удивительно, но квазикристаллическая аппроксимант [12] пакеты более плотная , чем эта двойная решетка из треугольных бипирамид , когда тетраэдры слегка закругленные ( сумма Минковскойтетраэдра и сферы), что делает квазикристалл из 82-тетраэдра аппроксимирующей самой большой элементарной ячейкой для самой плотной упаковки идентичных частиц на сегодняшний день. [15]

Связь с другими проблемами упаковки [ править ]

Поскольку самая ранняя нижняя граница, известная для упаковки тетраэдров, была меньше, чем у сфер , было высказано предположение, что правильные тетраэдры могли бы быть контрпримером к гипотезе Улама о том, что оптимальная плотность для упаковки конгруэнтных сфер меньше, чем для любого другого выпуклого тела. Однако более свежие результаты показали, что это не так.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b Чен, Элизабет Р .; Энгель, Майкл; Глотцер, Шэрон К. (2010). «Плотные кристаллические димерные упаковки правильных тетраэдров». Дискретная и вычислительная геометрия . 44 (2): 253–280. arXiv : 1001.0586 . DOI : 10.1007 / s00454-010-9273-0 .
  2. ^ Стройк DJ (1925). "Het проблема 'De Impletione Loci ' ". Nieuw Archief voor Wiskunde . 2 сер. 15 : 121–134. JFM 52.0002.04 . 
  3. ^ Саймон Гравел; Вейт Эльзер; Йоав Каллус (2010). «Верхняя граница плотности упаковки правильных тетраэдров и октаэдров». Дискретная и вычислительная геометрия . 46 (4): 799–818. arXiv : 1008.2830 . DOI : 10.1007 / s00454-010-9304-х .
  4. ^ Джеффри Лагариас и Чуаньмин Цзун (2012-12-04). "Тайны упаковки правильных тетраэдров" (PDF) .
  5. ^ Пресс-релиз (2014-12-03). «Джеффри Лагариас и Chuanming Цзун получить 2015 Конантом премии» .
  6. ^ Конвей, JH (2006). «Упаковка, черепица и покрытие тетраэдрами» . Труды Национальной академии наук . 103 (28): 10612–10617. Bibcode : 2006PNAS..10310612C . DOI : 10.1073 / pnas.0601389103 . PMC 1502280 . PMID 16818891 .  
  7. ^ Хойлман, Дуглас Дж. (1970). «Плотнейшая решетчатая упаковка тетраэдров» . Бюллетень Американского математического общества . 76 : 135–138. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1970-12400-4 .
  8. ^ Джаошвили, Александр; Эсакия, Андрия; Поррати, Массимо; Чайкин, Пол М. (2010). «Эксперименты по случайной упаковке четырехгранных игральных костей» . Письма с физическим обзором . 104 (18): 185501. Bibcode : 2010PhRvL.104r5501J . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.104.185501 . hdl : 10919/24495 . PMID 20482187 . 
  9. ^ Чен, Элизабет Р. (2008). «Плотная упаковка правильных тетраэдров». Дискретная и вычислительная геометрия . 40 (2): 214–240. arXiv : 0908.1884 . DOI : 10.1007 / s00454-008-9101-у .
  10. ^ Кон, Генри (2009). «Математическая физика: в тесноте». Природа . 460 (7257): 801–802. Bibcode : 2009Natur.460..801C . DOI : 10.1038 / 460801a . PMID 19675632 . 
  11. ^ Torquato, S .; Цзяо, Ю. (2009). «Плотные упаковки платоновых и архимедовых тел». Природа . 460 (7257): 876–879. arXiv : 0908.4107 . Bibcode : 2009Natur.460..876T . DOI : 10,1038 / природа08239 . PMID 19675649 . 
  12. ^ а б Хаджи-Акбари, Амир; Энгель, Майкл; Киз, Аарон С .; Чжэн, Сяоюй; Petschek, Rolfe G .; Палфи-Мухорай, Питер; Глотцер, Шэрон С. (2009). «Неупорядоченные, квазикристаллические и кристаллические фазы плотноупакованных тетраэдров». Природа . 462 (7274): 773–777. arXiv : 1012,5138 . Bibcode : 2009Natur.462..773H . DOI : 10,1038 / природа08641 . PMID 20010683 . 
  13. ^ Каллус, Йоав; Elser, Veit; Гравий, Саймон (2010). «Плотные периодические упаковки тетраэдров с малыми повторяющимися звеньями». Дискретная и вычислительная геометрия . 44 (2): 245–252. arXiv : 0910.5226 . DOI : 10.1007 / s00454-010-9254-3 .
  14. ^ Torquato, S .; Цзяо, Ю. (2009). «Аналитические конструкции семейства плотных упаковок тетраэдров и роль симметрии». arXiv : 0912.4210 [ cond-mat.stat-mech ].
  15. ^ Цзинь, Вэйвэй; Лу, Пэн; Ли, Шуйсян (декабрь 2015 г.). «Эволюция плотных упаковок сферотетраэдрических частиц: от идеальных тетраэдров к сферам» . Научные отчеты . 5 (1): 15640. DOI : 10.1038 / srep15640 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Упаковка тетраэдров и завершение идеальной подгонки , NYTimes
  • Эффективные формы , The Economist
  • Пирамиды - лучшая форма для упаковки , New Scientist