Проблема Томсона

Цель задачи Томсона - определить конфигурацию минимальной электростатической потенциальной энергии N электронов, связанных с поверхностью единичной сферы, которые отталкиваются друг от друга с силой, заданной законом Кулона . Физик Дж. Дж. Томсон поставил проблему в 1904 году ^[1], предложив атомную модель, позже названную моделью сливового пудинга , на основе его знаний о существовании отрицательно заряженных электронов внутри нейтрально заряженных атомов.

Связанные с этим проблемы включают изучение геометрии конфигурации с минимальной энергией и изучение поведения минимальной энергии при больших N.

Математическое утверждение [ править ]

Физическая система, воплощенная в задаче Томсона, является частным случаем одной из восемнадцати нерешенных математических задач, предложенных математиком Стивом Смейлом - «Распределение точек на двумерной сфере». ^[2] Решение каждого N -электронных задачи получается , когда N -электронов конфигурации сдержан на поверхности сферы единичного радиуса, , дает глобальный электростатический потенциал энергии минимум, . ${\ displaystyle r = 1}$ ${\ Displaystyle U (N)}$

Энергии происходит электростатическое взаимодействие между каждой парой электронов равных зарядов ( с на элементарный заряд электрона) определяется законом Кулона, ${\ displaystyle e_ {i} = e_ {j} = e}$ ${\ displaystyle e}$

{\ displaystyle U_ {ij} (N) = k_ {e} {e_ {i} e_ {j} \ over r_ {ij}}.}

Здесь - постоянная Кулона и - расстояние между каждой парой электронов, расположенных в точках на сфере, определяемых векторами и , соответственно. ${\ displaystyle k_ {e}}$ ${\ displaystyle r_ {ij} = | \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {j} |}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {j}}$

Упрощенные единицы и используются без ограничения общности. Потом, ${\ displaystyle e = 1}$ ${\ displaystyle k_ {e} = 1}$

{\ displaystyle U_ {ij} (N) = {1 \ over r_ {ij}}.}

Полная электростатическая потенциальная энергия каждой N -электронной конфигурации может быть выражена как сумма всех парных взаимодействий.

U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.

Глобальная минимизация всех возможных наборов из N различных точек обычно находится с помощью алгоритмов численной минимизации. $U(N)$

Пример [ править ]

Решение проблемы Томсона для двух электронов получается, когда оба электрона находятся как можно дальше друг от друга по разные стороны от начала координат , или $r_{ij}=2r=2$

U(2)={1 \over 2}.

Известные решения [ править ]

Схематические геометрические решения математической задачи Томсона до N = 5 электронов.

Конфигурации с минимальной энергией были строго определены лишь в нескольких случаях.

Для N = 1 решение тривиально, поскольку электрон может находиться в любой точке на поверхности единичной сферы. Полная энергия конфигурации определяется как ноль, поскольку на электрон не действует электрическое поле из-за каких-либо других источников заряда.
При N = 2 оптимальная конфигурация состоит из электронов в противоположных точках .
При N = 3 электроны находятся в вершинах равностороннего треугольника вокруг большого круга . ^[3]
При N = 4 электроны находятся в вершинах правильного тетраэдра .
Для N = 5 в 2010 г. было сообщено о математически строгом компьютерном решении с электронами, находящимися в вершинах треугольной дипирамиды . ^[4]
При N = 6 электроны находятся в вершинах правильного октаэдра . ^[5]
При N = 12 электроны находятся в вершинах правильного икосаэдра . ^[6]

Примечательно, что геометрические решения задачи Томсона для N = 4, 6 и 12 электронов известны как Платоновы тела , у которых все грани представляют собой равносторонние равносторонние треугольники. Численные решения для N = 8 и 20 не являются правильными выпуклыми многогранными конфигурациями оставшихся двух Платоновых тел, чьи грани квадратные и пятиугольные соответственно ^{[ ссылка ]} .

Обобщения [ править ]

Можно также спросить об основных состояниях частиц, взаимодействующих с произвольными потенциалами. Чтобы быть математически точным, пусть f будет убывающей действительной функцией, и определим функционал энергии $\sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)$

Традиционно считаются также известными как ядра Рисса . Об интегрируемых ядрах Рисса см. ^[7] для неинтегрируемых ядер Рисса верна теорема о семенах Поппи , см. ^[8] Известные случаи включают α = ∞, проблему Таммеса (упаковка); α = 1 - проблема Томсона; α = 0, задача Уайта (максимизировать произведение расстояний). $f(x)=x^{-\alpha }$ $\alpha$

Можно также рассмотреть конфигурации из N точек на сфере более высокой размерности . См. Сферический дизайн .

Связь с другими научными проблемами [ править ]

Проблема Томсона является естественным следствием модели сливового пудинга Томсона в отсутствие его однородного положительного фонового заряда. ^[9]

«Ни один факт, открытый об атоме, не может быть тривиальным и не может не ускорить прогресс физической науки, поскольку большая часть натурфилософии является результатом структуры и механизма атома».

- Сэр Дж. Дж. Томсон ^[10]

Хотя экспериментальные данные привели к отказу от модели сливового пудинга Томсона в качестве полной атомной модели, обнаружено, что нерегулярности, наблюдаемые в численных энергетических решениях проблемы Томсона, соответствуют заполнению электронной оболочки в естественных атомах во всей периодической таблице элементов. ^[11]

Проблема Томсона также играет роль в исследовании других физических моделей, включая многоэлектронные пузыри и упорядочение поверхности капель жидкого металла, заключенных в ловушки Пауля .

Обобщенная проблема Томсона возникает, например, при определении расположения белковых субъединиц, составляющих оболочки сферических вирусов . «Частицы» в этом приложении представляют собой кластеры белковых субъединиц, расположенные на оболочке. Другие реализации включают регулярное расположение коллоидных частиц в коллоидосомах , предложенное для инкапсуляции активных ингредиентов, таких как лекарства, питательные вещества или живые клетки, фуллереновые структуры атомов углерода и теорию VSEPR . Примером дальнодействующих логарифмических взаимодействий могут служить вихри Абрикосова, которые могут образовываться при низких температурах в сверхпроводящем металлическая оболочка с большим монополем в центре.

Конфигурации наименьшей известной энергии [ править ]

В следующей таблице указано количество точек (зарядов) в конфигурации, это энергия, тип симметрии указан в обозначениях Шенфлиса (см. Группы точек в трех измерениях ) и расположение зарядов. Большинство типов симметрии требуют, чтобы векторная сумма положений (и, следовательно, электрический дипольный момент ) была равна нулю. $N$ $E_{1}$ $r_{i}$

Также принято рассматривать многогранник, образованный выпуклой оболочкой точек. Таким образом, - это количество вершин, в которых встречается заданное количество ребер, - это общее количество ребер, - это количество треугольных граней, - это количество четырехугольных граней, и - это наименьший угол, покрытый векторами, связанными с ближайшим зарядом. пара. Обратите внимание, что длины кромок обычно не равны; таким образом (кроме случаев N = 2, 3, 4, 6, 12 и геодезических многогранников ) выпуклая оболочка только топологически эквивалентна фигуре, указанной в последнем столбце. ^[12] $v_{i}$ $e$ $f_{3}$ $f_{4}$ $\theta _{1}$

N	$E_{1}$	Симметрия	$\left\|\sum \mathbf {r} _{i}\right\|$	$v_{3}$	$v_{4}$	$v_{5}$	$v_{6}$	$v_{7}$	$v_{8}$	$e$	$f_{3}$	$f_{4}$	$\theta _{1}$	Эквивалентный многогранник
2	0,500000000	$D_{\infty h}$	0	-	-	-	-	-	-	2	-	-	180.000 °	Digon
3	1,732050808	$D_{3h}$	0	-	-	-	-	-	-	3	2	-	120.000 °	треугольник
4	3,674234614	$T_{d}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109.471 °	тетраэдр
5	6,474691495	$D_{3h}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90,000 °	треугольная дипирамида
6	9.985281374	$O_{h}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90,000 °	октаэдр
7	14,452977414	$D_{5h}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72,000 °	пятиугольная дипирамида
8	19.675287861	$D_{4d}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71.694 °	квадратная антипризма
9	25,759986531	$D_{3h}$	0	0	3	6	0	0	0	21 год	14	0	69,190 °	трехугольная призма
10	32,716949460	$D_{4d}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64.996 °	гиродлинная квадратная дипирамида
11	40,596450510	$C_{2v}$	0,013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58,540 °	икосаэдр со сжатыми ребрами
12	49.165253058	$I_{h}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63,435 °	икосаэдр ( геодезическая сфера {3,5+} _1,0 )
13	58,853230612	$C_{2v}$	0,008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52,317 °
14	69.306363297	$D_{6d}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52,866 °	гиродлинная гексагональная дипирамида
15	80.670244114	$D_{3}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26 год	0	49,225 °
16	92.911655302	$T$	0	0	0	12	4	0	0	42	28 год	0	48.936 °
17	106.050404829	$D_{5h}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50,108 °	двугиродлинная пятиугольная дипирамида
18	120,084467447	$D_{4d}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47,534 °
19	135.089467557	$C_{2v}$	0,000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44,910 °
20	150,881568334	$D_{3h}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46,093 °
21 год	167.641622399	$C_{2v}$	0,001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44,321 °
22	185,287536149	$T_{d}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43,302 °
23	203.930190663	$D_{3}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41,481 °
24	223.347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42,065 °	курносый куб
25	243,812760299	$C_{s}$	0,001021305	0	0	14	11	0	0	68	44 год	1	39,610 °
26 год	265.133326317	$C_{2}$	0,001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38,842 °
27	287.302615033	$D_{5h}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39,940 °
28 год	310,491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37,824 °
29	334.634439920	$D_{3}$	0	0	0	12	17	0	0	81 год	54	0	36,391 °
30	359.603945904	$D_{2}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36.942 °
31 год	385,530838063	$C_{3v}$	0,003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36,373 °
32	412.261274651	$I_{h}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37,377 °	пентакис додекаэдр ( геодезическая сфера {3,5+} _1,1 )
33	440.204057448	$C_{s}$	0,004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33,700 °
34	468,904853281	$D_{2}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33,273 °
35 год	498,569872491	$C_{2}$	0,000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33,100 °
36	529.122408375	$D_{2}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33,229 °
37	560.618887731	$D_{5h}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32,332 °
38	593.038503566	$D_{6d}$	0	0	0	12	26 год	0	0	108	72	0	33,236 °
39	626.389009017	$D_{3h}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32,053 °
40	660.675278835	$T_{d}$	0	0	0	12	28 год	0	0	114	76	0	31.916 °
41 год	695.916744342	$D_{3h}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31,528 °
42	732.078107544	$D_{5h}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31,245 °
43 год	769.190846459	$C_{2v}$	0,000399668	0	0	12	31 год	0	0	123	82	0	30,867 °
44 год	807.174263085	$O_{h}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31,258 °
45	846.188401061	$D_{3}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30,207 °
46	886.167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29,790 °
47	927.059270680	$C_{s}$	0,002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28,787 °
48	968.713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29,690 °
49	1011.557182654	$C_{3}$	0,001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28.387 °
50	1055.182314726	$D_{6d}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29,231 °
51	1099.819290319	$D_{3}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28,165 °
52	1145.418964319	$C_{3}$	0,000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27,670 °
53	1191.922290416	$C_{2v}$	0,000278469	0	0	18	35 год	0	0	150	96	3	27,137 °
54	1239.361474729	$C_{2}$	0,000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27,030 °
55	1287.772720783	$C_{2}$	0,000391696	0	0	12	43 год	0	0	159	106	0	26,615 °
56	1337.094945276	$D_{2}$	0	0	0	12	44 год	0	0	162	108	0	26.683 °
57	1387.383229253	$D_{3}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26,702 °
58	1438.618250640	$D_{2}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26,155 °
59	1490.773335279	$C_{2}$	0,000154286	0	0	14	43 год	2	0	171	114	0	26,170 °
60	1543.830400976	$D_{3}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25.958 °
61	1597.941830199	$C_{1}$	0,001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25,392 °
62	1652.909409898	$D_{5}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25,880 °
63	1708.879681503	$D_{3}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25,257 °
64	1765.802577927	$D_{2}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24,920 °
65	1823.667960264	$C_{2}$	0,000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24,527 °
66	1882.441525304	$C_{2}$	0,000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24,765 °
67	1942.122700406	$D_{5}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24,727 °
68	2002. 874701749	$D_{2}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24,433 °
69	2064.533483235	$D_{3}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24,137 °
70	2127.100901551	$D_{2d}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24,291 °
71	2190.649906425	$C_{2}$	0,001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23.803 °
72	2255.001190975	$I$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24,492 °	геодезическая сфера {3,5+} _2,1
73	2320.633883745	$C_{2}$	0,001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22,810 °
74	2387.072981838	$C_{2}$	0,000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22.966 °
75	2454.369689040	$D_{3}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22,736 °
76	2522.674871841	$C_{2}$	0,000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22,886 °
77	2591.850152354	$D_{5}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23,286 °
78	2662.046474566	$T_{h}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23,426 °
79	2733.248357479	$C_{s}$	0,000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22,636 °
80	2805.355875981	$D_{4d}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22,778 °
81 год	2878.522829664	$C_{2}$	0,000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21,892 °
82	2952.569675286	$D_{2}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22.206 °
83	3027.528488921	$C_{2}$	0,000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21.646 °
84	3103.465124431	$C_{2}$	0,000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21,513 °
85	3180.361442939	$C_{2}$	0,000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21,498 °
86	3258.211605713	$C_{2}$	0,001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21,522 °
87	3337.000750014	$C_{2}$	0,000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21,456 °
88	3416.720196758	$D_{2}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21,486 °
89	3497.439018625	$C_{2}$	0,000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21,182 °
90	3579.091222723	$D_{3}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21,230 °
91	3661.713699320	$C_{2}$	0,000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21,105 °
92	3745.291636241	$D_{2}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21,026 °
93	3829.844338421	$C_{2}$	0,000213246	0	0	12	81 год	0	0	273	182	0	20,751 °
94	3915.309269620	$D_{2}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20.952 °
95	4001.771675565	$C_{2}$	0,000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20,711 °
96	4089.154010060	$C_{2}$	0,000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20,687 °
97	4177.533599622	$C_{2}$	0,000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20,450 °
98	4266.822464156	$C_{2}$	0,000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20,422 °
99	4357.139163132	$C_{2}$	0,000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20,284 °
100	4448.350634331	$T$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20,297 °
101	4540,590051694	$D_{3}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20,011 °
102	4633.736565899	$D_{3}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20,040 °
103	4727.836616833	$C_{2}$	0,000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19,907 °
104	4822.876522746	$D_{6}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19.957 °
105	4919.000637616	$D_{3}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19,842 °
106	5015.984595705	$D_{2}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19.658 °
107	5113.953547724	$C_{2}$	0,000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19.327 °
108	5212.813507831	$C_{2}$	0,000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19.327 °
109	5312.735079920	$C_{2}$	0,000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19.103 °
110	5413.549294192	$D_{6}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19,476 °
111	5515.293214587	$D_{3}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19,255 °
112	5618,044882327	$D_{5}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19.351 °
113	5721.824978027	$D_{3}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18.978 °
114	5826.521572163	$C_{2}$	0,000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18,836 °
115	5932.181285777	$C_{3}$	0,000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18,458 °
116	6038.815593579	$C_{2}$	0,000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18,386 °
117	6146.342446579	$C_{2}$	0,000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18,566 °
118	6254.877027790	$C_{2}$	0,000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18,455 °
119	6364.347317479	$C_{2}$	0,000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18.336 °
120	6474.756324980	$C_{s}$	0,001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18,418 °
121	6586.121949584	$C_{3}$	0,000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18,199 °
122	6698.374499261	$I_{h}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18,612 °	геодезическая сфера {3,5+} _2,2
123	6811.827228174	$C_{2v}$	0,001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17,840 °
124	6926.169974193	$D_{2}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18,111 °
125	7041.473264023	$C_{2}$	0,000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17,867 °
126	7157.669224867	$D_{4}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17,920 °
127	7274.819504675	$D_{5}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17,877 °
128	7393.007443068	$C_{2}$	0,000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17,814 °
129	7512.107319268	$C_{2}$	0,000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17,743 °
130	7632.167378912	$C_{2}$	0,000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17.683 °
131	7753.205166941	$C_{2}$	0,000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17,511 °
132	7875.045342797	$I$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17.958 °	геодезическая сфера {3,5+} _3,1
133	7998.179212898	$C_{3}$	0,000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17,133 °
134	8122.089721194	$C_{2}$	0,000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17,214 °
135	8246.909486992	$D_{3}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17,431 °
136	8372.743302539	$T$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17,485 °
137	8499.534494782	$D_{5}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17,560 °
138	8627.406389880	$C_{2}$	0,000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16.924 °
139	8756.227056057	$C_{2}$	0,000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16.673 °
140	8885.980609041	$C_{1}$	0,000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16,773 °
141	9016.615349190	$C_{2v}$	0,000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16.962 °
142	9148.271579993	$C_{2}$	0,000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16,840 °
143	9280.839851192	$C_{2}$	0,000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16,782 °
144	9414.371794460	$D_{2}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16.953 °
145	9548.928837232	$C_{s}$	0,000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16,841 °
146	9684.381825575	$D_{2}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16,905 °
147	9820.932378373	$C_{2}$	0,000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16,458 °
148	9958.406004270	$C_{2}$	0,000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16.627 °
149	10096.859907397	$C_{1}$	0,000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16.344 °
150	10236.196436701	$T$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16,405 °
151	10376.571469275	$C_{2}$	0,000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16,163 °
152	10517.867592878	$D_{2}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16,117 °
153	10660.082748237	$D_{3}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16,390 °
154	10803.372421141	$C_{2}$	0,000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16.078 °
155	10947.574692279	$C_{2}$	0,000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15,990 °
156	11092.798311456	$C_{2}$	0,000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15.822 °
157	11238.903041156	$C_{2}$	0,000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15.948 °
158	11385.990186197	$C_{2}$	0,000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15.987 °
159	11534.023960956	$C_{2}$	0,000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15,960 °
160	11683.054805549	$D_{2}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15.961 °
161	11833.084739465	$C_{2}$	0,000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810 °
162	11984.050335814	$D_{3}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15.813 °
163	12136.013053220	$C_{2}$	0,000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15,675 °
164	12288.930105320	$D_{2}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15,655 °
165	12442.804451373	$C_{2}$	0,000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15.651 °
166	12597.649071323	$D_{2d}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15,607 °
167	12753.469429750	$C_{2}$	0,000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15,600 °
168	12910.212672268	$D_{3}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15,655 °
169	13068.006451127	$C_{s}$	0,000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15.537 °
170	13226.681078541	$D_{2d}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15.569 °
171	13386.355930717	$D_{3}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15.497 °
172	13547.018108787	$C_{2v}$	0,000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15,292 °
173	13708.635243034	$C_{s}$	0,000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15,225 °
174	13871.187092292	$D_{2}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15.366 °
175	14034.781306929	$C_{2}$	0,000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15,252 °
176	14199.354775632	$C_{1}$	0,000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15.101 °
177	14364.837545298	$D_{5}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15,269 °
178	14531.309552587	$D_{2}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15,145 °
179	14698.754594220	$C_{1}$	0,000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14.968 °
180	14867.099927525	$D_{2}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15,067 °
181	15036.467239769	$C_{2}$	0,000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15,002 °
182	15206.730610906	$D_{5}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15,155 °
183	15378.166571028	$C_{1}$	0,000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14,747 °
184	15550.421450311	$T$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14.932 °
185	15723.720074072	$C_{2}$	0,000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14,775 °
186	15897.897437048	$C_{1}$	0,000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14,739 °
187	16072.975186320	$D_{5}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14,848 °
188	16249.222678879	$D_{2}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14,740 °
189	16426.371938862	$C_{2}$	0,000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14.671 °
190	16604.428338501	$C_{3}$	0,000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14,501 °
191	16783.452219362	$C_{1}$	0,001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14,195 °
192	16963.338386460	$I$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14.819 °	геодезическая сфера {3,5+} _3,2
193	17144.564740880	$C_{2}$	0,000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14.144 °
194	17326.616136471	$C_{1}$	0,000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14,350 °
195	17509.489303930	$D_{3}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14,375 °
196	17693.460548082	$C_{2}$	0,000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14,251 °
197	17878.340162571	$D_{5}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14.147 °
198	18064.262177195	$C_{2}$	0,000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14,237 °
199	18251.082495640	$C_{1}$	0,000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14.153 °
200	18438,842717530	$D_{2}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14,222 °
201	18627.591226244	$C_{1}$	0,001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13,830 °
202	18817.204718262	$D_{5}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14.189 °
203	19007.981204580	$C_{s}$	0,000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13.977 °
204	19199.540775603	$T_{h}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14,291 °
212	20768,053085964	$I$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14.118 °	геодезическая сфера {3,5+} _4,1
214	21169.910410375	$T$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13,771 °
216	21575.596377869	$D_{3}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13,735 °
217	21779.856080418	$D_{5}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13,902 °
232	24961.252318934	$T$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13,260 °
255	30264.424251281	$D_{3}$	0	0	0	12	243	0	0	759	506	0	12,565 °
256	30506.687515847	$T$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12,572 °
257	30749.941417346	$D_{5}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12,672 °
272	34515.193292681	$I_{h}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12,335 °	геодезическая сфера {3,5+} _3,3
282	37147.294418462	$I$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12,166 °	геодезическая сфера {3,5+} _4,2
292	39877.008012909	$D_{5}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11,857 °
306	43862.569780797	$T_{h}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11,628 °
312	45629.313804002	$C_{2}$	0,000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11,299 °
315	46525.825643432	$D_{3}$	0	0	0	12	303	0	0	939	626	0	11,337 °
317	47128.310344520	$D_{5}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11,423 °
318	47431.056020043	$D_{3}$	0	0	0	12	306	0	0	948	632	0	11,219 °
334	52407.728127822	$T$	0	0	0	12	322	0	0	996	664	0	11,058 °
348	56967.472454334	$T_{h}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10,721 °
357	59999.922939598	$D_{5}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10,728 °
358	60341.830924588	$T$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10,647 °
372	65230.027122557	$I$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10,531 °	геодезическая сфера {3,5+} _4,3
382	68839.426839215	$D_{5}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10,379 °
390	71797.035335953	$T_{h}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	776	0	10,222 °
392	72546.258370889	$C_{1}$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10,278 °
400	75582.448512213	$T$	0	0	0	12	388	0	0	1194	796	0	10,068 °
402	76351.192432673	$D_{5}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10,099 °
432	88353.709681956	$D_{3}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9,556 °
448	95115.546986209	$T$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9,322 °
460	100351.763108673	$T$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9,297 °
468	103920,871715127	$S_{6}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	932	0	9,120 °
470	104822.886324279	$S_{6}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	936	0	9,059 °

Согласно гипотезе, если , р представляет собой полиэдр , образованный выпуклой оболочки м точек, д является количество четырехугольных граней р , то решение для т электронов е ( м ): . ^[13] $m=n+2$ $f(m)=0^{n}+3n-q$

Ссылки [ править ]

↑ Томсон, Джозеф Джон (март 1904 г.). «О структуре атома: исследование устойчивости и периодов колебаний ряда корпускул, расположенных на равных интервалах вокруг окружности; с применением результатов к теории атомной структуры» (PDF) . Философский журнал . Series 6. 7 (39): 237–265. DOI : 10.1080 / 14786440409463107 . Архивировано из оригинального (PDF) 13 декабря 2013 года.
^ Смейл, С. (1998). «Математические проблемы следующего века». Математический интеллигент . 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101 . DOI : 10.1007 / bf03025291 .
^ Феппля, Л. (1912). "Stabile Anordnungen von Elektronen im Atom" . J. Reine Angew. Математика. (141): 251–301..
^ Шварц, Ричард (2010). «5-электронный случай проблемы Томсона». arXiv : 1001.3702 [ math.MG ].
↑ Юдин, В.А. (1992). «Минимум потенциальной энергии системы точечных зарядов». Дискретная математика . 4 (2): 115–121.; Юдин, В.А. (1993). «Минимум потенциальной энергии системы точечных зарядов». Дискретная математика. Прил . 3 (1): 75–81. DOI : 10,1515 / dma.1993.3.1.75 .
↑ Андреев, Н.Н. (1996). «Экстремальное свойство икосаэдра». Восток Дж. Приближение . 2 (4): 459–462. Руководство по ремонту 1426716 , Zbl 0877.51021
^ Ландкоф, Н.С. Основы современной теории потенциала. Перевод с русского А.П. Духовского. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x + 424 pp.
^ Хардин, Д.П .; Сафф, Э. Б. Дискретизация многообразий через точки минимальной энергии. Замечает амер. Математика. Soc. 51 (2004), нет. 10, 1186–1194
^ Левин, Ю .; Арензон, Дж. Дж. (2003). «Почему заряды попадают на поверхность: обобщенная проблема Томсона». Europhys. Lett . 63 (3): 415. arXiv : cond-mat / 0302524 . Bibcode : 2003EL ..... 63..415L . DOI : 10,1209 / EPL / i2003-00546-1 .
^ Сэр Дж. Дж. Томсон, Романская лекция, 1914 (Теория атома)
^ LaFave - младший, Тим (2013). «Соответствие классической электростатической задачи Томсона и электронной структуры атома». Журнал электростатики . 71 (6): 1029–1035. arXiv : 1403,2591 . DOI : 10.1016 / j.elstat.2013.10.001 .
^ Кевин Браун. «Минэнергетические конфигурации электронов на сфере» . Проверено 1 мая 2014.
^ "A008486 Слоана (см. Комментарий от 3 февраля 2017 г.)" . Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Проверено 8 февраля 2017 .

Заметки [ править ]

Уайт, LL (1952). «Уникальные расположения точек на шаре». Амер. Математика. Ежемесячно . 59 (9): 606–611. DOI : 10.2307 / 2306764 . JSTOR 2306764 .
Кон, Харви (1956). «Конфигурации устойчивости электронов на сфере» . Математика. Comput . 10 (55): 117–120. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1956-0081133-0 .
Гольдберг, Майкл (1969). «Конфигурации устойчивости электронов на сфере» . Математика. Комп . 23 (108): 785–786. DOI : 10.1090 / S0025-5718-69-99642-2 .
Эрбер, Т .; Хокни, GM (1991). «равновесные конфигурации N равных зарядов на сфере». J. Phys. A: Математика. Gen . 24 (23): L1369. Bibcode : 1991JPhA ... 24L1369E . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 24/23/008 .
Моррис, младший; Deaven, DM; Хо, К.М. (1996). «Генетический алгоритм минимизации энергии точечных зарядов на сфере». Phys. Rev. B . 53 (4): R1740 – R1743. Bibcode : 1996PhRvB..53.1740M . CiteSeerX 10.1.1.28.93 . DOI : 10.1103 / PhysRevB.53.R1740 .
Эрбер, Т .; Хокни, GM (1997). Сложные системы: равновесные конфигурации равных зарядов на сфере $N$ $(2\leq N\leq 112)$ . Успехи химической физики . 98 . С. 495–594. DOI : 10.1002 / 9780470141571.ch5 . ISBN 9780470141571..
Альтшулер, EL; Уильямс, Т.Дж.; Ратнер, ER; Типтон, Р.; Stong, R .; Dowla, F .; Вутен, Ф. (1997). «Возможные глобальные минимальные конфигурации решетки для задачи Томсона о зарядах на сфере» . Phys. Rev. Lett . 78 (14): 2681–2685. Bibcode : 1997PhRvL..78.2681A . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.78.2681 .
Bowick, M .; Cacciuto, A .; Нельсон, Д.Р .; Травессет А. (2002). «Кристаллический порядок на сфере и обобщенная проблема Томсона». Phys. Rev. Lett . 89 (18): 249902. arXiv : cond-mat / 0206144 . Bibcode : 2002PhRvL..89r5502B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.89.185502 . PMID 12398614 .
Драгнев, П.Д .; Легг, DA; Таунсенд, DW (2002). «Дискретная логарифмическая энергия на сфере» . Pacific J. Math . 207 (2): 345–358. DOI : 10,2140 / pjm.2002.207.345 ..
Katanforoush, A .; Шахшахани, М. (2003). «Раздаточные точки на сфере. I». Exper. Математика . 12 (2): 199–209. DOI : 10.1080 / 10586458.2003.10504492 .
Уэльс, Дэвид Дж .; Улкер, Сидика (2006). «Структура и динамика сферических кристаллов, охарактеризованных для задачи Томсона» . Phys. Rev. B . 74 (21): 212101. Bibcode : 2006PhRvB..74u2101W . DOI : 10.1103 / PhysRevB.74.212101 .Конфигурации перепечатаны в Уэльсе, DJ; Улкер, С. "Кембриджская кластерная база данных" .
Слосар, А .; Подгорник Р. (2006). «О проблеме Томсона связанных зарядов». Europhys. Lett . 75 (4): 631. arXiv : cond-mat / 0606765 . Bibcode : 2006EL ..... 75..631S . DOI : 10,1209 / EPL / i2006-10146-1 .
Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2007). «Универсально оптимальное распределение точек по сферам». J. Amer. Математика. Soc . 20 (1): 99–148. arXiv : math / 0607446 . Bibcode : 2007JAMS ... 20 ... 99C . DOI : 10.1090 / S0894-0347-06-00546-7 .
Уэльс, диджей; McKay, H .; Альтшулер, EL (2009). «Мотивы дефектов для сферических топологий». Phys. Rev. B . 79 (22): 224115. Bibcode : 2009PhRvB..79v4115W . DOI : 10.1103 / PhysRevB.79.224115 .. Конфигурации воспроизведены в Уэльсе, DJ; Улкер, С. "Кембриджская кластерная база данных" .
Риджуэй, WJM; Чевяков, АФ (2018). «Итерационная процедура для поиска локально и глобально оптимального расположения частиц на единичной сфере». Comput. Phys. Commun . 233 : 84–109. DOI : 10.1016 / j.cpc.2018.03.029 .
Сека, Крис; Боуик, Марк Дж .; Миддлтон, Алан А. "Проблема Томсона @ SU"
Эта веб-страница содержит еще много электронных конфигураций с самой низкой известной энергией: https://www.hars.us .

[1] Томсон, Джозеф Джон (март 1904 г.). «О структуре атома: исследование устойчивости и периодов колебаний ряда корпускул, расположенных на равных интервалах вокруг окружности; с применением результатов к теории атомной структуры» (PDF) . Философский журнал . Series 6. 7 (39): 237–265. DOI : 10.1080 / 14786440409463107 . Архивировано из оригинального (PDF) 13 декабря 2013 года.

[2] Смейл, С. (1998). «Математические проблемы следующего века». Математический интеллигент . 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101 . DOI : 10.1007 / bf03025291 .

[3] Феппля, Л. (1912). "Stabile Anordnungen von Elektronen im Atom" . J. Reine Angew. Математика. (141): 251–301..

[4] Шварц, Ричард (2010). «5-электронный случай проблемы Томсона». arXiv : 1001.3702 [ math.MG ].

[5] Юдин, В.А. (1992). «Минимум потенциальной энергии системы точечных зарядов». Дискретная математика . 4 (2): 115–121.; Юдин, В.А. (1993). «Минимум потенциальной энергии системы точечных зарядов». Дискретная математика. Прил . 3 (1): 75–81. DOI : 10,1515 / dma.1993.3.1.75 .

[6] Андреев, Н.Н. (1996). «Экстремальное свойство икосаэдра». Восток Дж. Приближение . 2 (4): 459–462. Руководство по ремонту 1426716 , Zbl 0877.51021

[7] Ландкоф, Н.С. Основы современной теории потенциала. Перевод с русского А.П. Духовского. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x + 424 pp.

[8] Хардин, Д.П .; Сафф, Э. Б. Дискретизация многообразий через точки минимальной энергии. Замечает амер. Математика. Soc. 51 (2004), нет. 10, 1186–1194

[9] Левин, Ю .; Арензон, Дж. Дж. (2003). «Почему заряды попадают на поверхность: обобщенная проблема Томсона». Europhys. Lett . 63 (3): 415. arXiv : cond-mat / 0302524 . Bibcode : 2003EL ..... 63..415L . DOI : 10,1209 / EPL / i2003-00546-1 .

[10] Сэр Дж. Дж. Томсон, Романская лекция, 1914 (Теория атома)

[11] LaFave - младший, Тим (2013). «Соответствие классической электростатической задачи Томсона и электронной структуры атома». Журнал электростатики . 71 (6): 1029–1035. arXiv : 1403,2591 . DOI : 10.1016 / j.elstat.2013.10.001 .

[12] Кевин Браун. «Минэнергетические конфигурации электронов на сфере» . Проверено 1 мая 2014.

[geom_sol-13] "A008486 Слоана (см. Комментарий от 3 февраля 2017 г.)" . Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Проверено 8 февраля 2017 .

[1],