Электрическая потенциальная энергия | |
---|---|
Общие символы | U E |
Единица СИ | джоуль (Дж) |
Производные от других величин | U Е = С · V 2 /2 |
Статьи о |
Электромагнетизм |
---|
Электрическая потенциальная энергия или электростатическая потенциальная энергия - это потенциальная энергия (измеряется в джоулях ), которая возникает в результате консервативных кулоновских сил и связана с конфигурацией определенного набора точечных зарядов в определенной системе . Объект может иметь электрический потенциал энергии в силу двух основных элементов: свой собственный электрический заряд и его положение относительно других электрически заряженных объектов .
Термин «электрическая потенциальная энергия» используется для описания потенциальной энергии в системах с изменяющимися во времени электрическими полями , в то время как термин «электростатическая потенциальная энергия» используется для описания потенциальной энергии в системах с постоянными во времени электрическими полями.
Определение [ править ]
Электрическая потенциальная энергия системы точечных зарядов определяется как работа, необходимая для сборки этой системы зарядов путем их сближения, как в системе с бесконечного расстояния. В качестве альтернативы, электрическая потенциальная энергия любого данного заряда или системы зарядов называется полной работой, совершаемой внешним агентом по переносу заряда или системы зарядов из бесконечности в текущую конфигурацию без какого-либо ускорения.
- Электростатическая потенциальная энергия, U Е , одного точечного заряда Q в положении г в присутствии электрического поля Е определяется как отрицательной части работы Вт сделано с помощью электростатической силы , чтобы привести его из исходного положения г исх [примечание 1 ] в эту позицию r . [1] [2] : §25–1
,
- где E - электростатическое поле, а d r ' - вектор смещения на кривой от исходного положения r ref до конечного положения r .
Электростатическая потенциальная энергия также может быть определена из электрического потенциала следующим образом:
- Электростатическая потенциальная энергия U E точечного заряда q в положении r в присутствии электрического потенциала определяется как произведение заряда и электрического потенциала.
,
- где - электрический потенциал, создаваемый зарядами, который является функцией положения r .
Единицы [ править ]
СИ единица электрического потенциала энергии джоуль (назван в честь английского физика Джеймса Прескотта Джоуля ). В системе СГСА эрг является единицей энергии, равен 10 -7 Дж Также электронвольт может быть использован, 1 эВ = 1,602 × 10 -19 Дж
Электростатическая потенциальная энергия одного точечного заряда [ править ]
Один точечный заряд q в присутствии другого точечного заряда Q [ править ]
Электростатическая потенциальная энергия U E одного точечного заряда q в позиции r в присутствии точечного заряда Q , принимая бесконечное расстояние между зарядами в качестве исходного положения, равна:
,
где - постоянная Кулона , r - расстояние между точечными зарядами q & Q , а q & Q - заряды (а не абсолютные значения зарядов, т. е. электрон будет иметь отрицательное значение заряда при помещении в формулу) . Следующий план доказательства устанавливает вывод от определения электрической потенциальной энергии и закона Кулона к этой формуле.
Схема доказательства Электростатическая сила F, действующая на заряд q, может быть записана через электрическое поле E как
- ,
По определению, изменение электростатической потенциальной энергии U E точечного заряда q , который переместился из исходного положения r ref в положение r в присутствии электрического поля E, является отрицательным значением работы, выполняемой электростатической силой для переместите его из исходной позиции r ref в эту позицию r .
- .
куда:
- r = положение заряда q в трехмерном пространстве , используя декартовы координаты r = ( x , y , z ), принимая положение заряда Q при r = (0,0,0), скаляр r = | г | - норма вектора положения,
- d s = вектор дифференциального смещения вдоль пути C от r ref до r ,
- - это работа, совершаемая электростатической силой по перемещению заряда из исходного положения r ref в r ,
Обычно U E устанавливается в ноль, когда r ref равно бесконечности:
так
Когда ротор ∇ × E равен нулю, линейный интеграл выше не зависит от конкретного выбранного пути C, а только от его конечных точек. Это происходит в постоянных во времени электрических полях. Когда говорят об электростатической потенциальной энергии, всегда предполагаются постоянные во времени электрические поля, поэтому в этом случае электрическое поле является консервативным и можно использовать закон Кулона.
Используя закон Кулона , известно , что электростатическая сила Р и электрическое поле Е создается с помощью дискретного точечного заряда Q радиально направлены от Q . По определению вектора положения г и вектора смещения х , то отсюда следует , что р и ы также радиально направлены от Q . Итак, E и d s должны быть параллельны:
Используя закон Кулона, электрическое поле определяется выражением
а интеграл легко вычисляется:
Один точечный заряд q при наличии n точечных зарядов Q i [ править ]
Электростатическая потенциальная энергия U E одного точечного заряда q в присутствии n точечных зарядов Q i , принимая бесконечное расстояние между зарядами в качестве исходного положения, равна:
,
где - постоянная Кулона , r i - расстояние между точечными зарядами q & Q i , а q & Q i - заданные значения зарядов.
Электростатическая потенциальная энергия, хранящаяся в системе точечных зарядов [ править ]
Электростатическая потенциальная энергия U E, запасенная в системе из N зарядов q 1 , q 2 , ..., q N в положениях r 1 , r 2 , ..., r N соответственно, составляет:
, |
| ( 1 ) |
где для каждого значения i Φ ( r i ) - это электростатический потенциал, связанный со всеми точечными зарядами, кроме одного в r i , [примечание 2], и равен:
,
где r ij - расстояние между q j и q i .
Схема доказательства Электростатическая потенциальная энергия U E, запасенная в системе двух зарядов, равна электростатической потенциальной энергии одного заряда в электростатическом потенциале, генерируемом другим. То есть, если заряд q 1 создает электростатический потенциал Φ 1 , который является функцией положения r , то
Проделав такой же расчет относительно другого заряда, получим
Электростатическая потенциальная энергия делится между собой и , поэтому общая запасенная энергия равна
Это можно обобщить, чтобы сказать, что электростатическая потенциальная энергия U E, запасенная в системе из N зарядов q 1 , q 2 , ..., q N в положениях r 1 , r 2 , ..., r N соответственно, составляет:
.
Энергия, хранящаяся в системе одного точечного заряда [ править ]
Электростатическая потенциальная энергия системы, содержащей только один точечный заряд, равна нулю, поскольку нет других источников электростатической силы, против которых внешний агент должен работать по перемещению точечного заряда из бесконечности в его конечное местоположение.
Часто возникает вопрос о взаимодействии точечного заряда с собственным электростатическим потенциалом. Поскольку это взаимодействие не приводит к перемещению точечного заряда как такового, оно не влияет на запасенную в системе энергию.
Энергия хранится в системе двух точечных зарядов [ править ]
Рассмотрим приведение точечного заряда q в его конечное положение рядом с точечным зарядом Q 1 . Электростатический потенциал Φ ( r ), обусловленный Q 1, равен
Следовательно, мы получаем электрическую потенциальную энергию q в потенциале Q 1 как
где r 1 - расстояние между двумя точечными зарядами.
Энергия хранится в системе трехточечных зарядов [ править ]
Электростатическую потенциальную энергию системы из трех зарядов не следует путать с электростатической потенциальной энергией Q 1 из-за двух зарядов Q 2 и Q 3 , потому что последний не включает электростатическую потенциальную энергию системы из двух зарядов. Q 2 и Q 3 .
Электростатическая потенциальная энергия, запасенная в системе из трех зарядов, равна:
Схема доказательства Используя формулу, приведенную в ( 1 ), тогда электростатическая потенциальная энергия системы трех зарядов будет:
Где - электрический потенциал в r 1, созданный зарядами Q 2 и Q 3 , - электрический потенциал в r 2, созданный зарядами Q 1 и Q 3 , и - электрический потенциал в r 3, созданный зарядами Q 1 и Q 2 . Возможные варианты:
Где r ab - расстояние между зарядами Q a и Q b .
Если все сложить:
В итоге получаем, что потенциальная электростатическая энергия хранится в системе трех зарядов:
Энергия, хранящаяся в распределении электростатического поля [ править ]
Плотность энергии, или энергия на единицу объема, , в электростатическом поле непрерывного распределения заряда:
Схема доказательства Можно взять уравнение для электростатической потенциальной энергии непрерывного распределения заряда и выразить его в терминах электростатического поля .
Поскольку закон Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме состояния
куда
- вектор электрического поля
- полная плотность заряда, включая дипольные заряды, связанные в материале
- является диэлектрической проницаемостью свободного пространства ,
тогда,
Итак, теперь используем следующее тождество вектора дивергенции
у нас есть
используя теорему о расходимости и считая площадь бесконечно удаленной, где
Таким образом, плотность энергии, или энергия на единицу объема в электростатическом поле является:
Энергия, хранящаяся в электронных элементах [ править ]
Некоторые элементы в цепи могут преобразовывать энергию из одной формы в другую. Например, резистор преобразует электрическую энергию в тепло. Это известно как эффект Джоуля . Конденсатор хранит его в электрическом поле. Полная электростатическая потенциальная энергия, запасенная в конденсаторе, определяется выражением
где C - емкость , V - разность электрических потенциалов , Q - заряд, накопленный в конденсаторе.
Схема доказательства Можно собирать заряды в конденсаторе бесконечно малыми приращениями, так что объем работы, проделанной для сборки каждого приращения в его окончательное положение, можно выразить как
Тогда общая работа, проделанная для полной зарядки конденсатора таким образом, равна
где - полный заряд конденсатора. Эта работа сохраняется как электростатическая потенциальная энергия, следовательно,
Примечательно, что это выражение действительно только в том случае , если , что справедливо для многозарядных систем, таких как большие конденсаторы с металлическими электродами. Для систем с малым количеством зарядов важен дискретный характер заряда. Полная энергия, запасенная в малозарядном конденсаторе, равна
который получается методом сборки заряда с использованием наименьшего приращения физического заряда, где - элементарная единица заряда, а где - общее количество зарядов в конденсаторе.
Полная электростатическая потенциальная энергия также может быть выражена через электрическое поле в виде
где - поле электрического смещения внутри диэлектрического материала, а интегрирование ведется по всему объему диэлектрика.
Полная электростатическая потенциальная энергия, запасенная в заряженном диэлектрике, также может быть выражена через непрерывный объемный заряд ,
где интегрирование ведется по всему объему диэлектрика.
Эти последние два выражения действительны только для случаев, когда наименьшее приращение заряда равно нулю ( ), таких как диэлектрики в присутствии металлических электродов или диэлектрики, содержащие много зарядов.
Заметки [ править ]
- ^ За эталонный нуль обычно понимается состояние, в котором отдельные точечные заряды очень хорошо разделены («находятся в бесконечном разделении») и находятся в состоянии покоя.
- ^ Коэффициент в половину учитывает «двойной счет» пар зарядов. Например, рассмотрим случай всего двух обвинений.
Ссылки [ править ]
- ^ Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics Series, 2008 ISBN 0-471-92712-0
- ^ Халлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (1997). "Электрический потенциал". Основы физики (5-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-10559-7.
Внешние ссылки [ править ]
- СМИ, связанные с потенциальной электрической энергией на Викискладе?