Замыкание (топология)

---

В математике замыкание подмножества S точек в топологическом пространстве состоит из всех точек в S вместе со всеми предельными точками S. Замыкание S может быть эквивалентно определено как объединение S и его границы , а также как пересечение всех замкнутых множеств , содержащих S. Интуитивно можно рассматривать замыкание как все точки, которые либо находятся в S , либо «рядом» с S.. Точка, которая находится в замыкании S , является точкой замыкания S . Понятие замкнутости во многом двойственно понятию внутреннего .

Для подмножества евклидова пространства является точкой закрытия, если каждый открытый шар с центром в содержит точку (эта точка может быть собой).${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

Это определение обобщается на любое подмножество метрического пространства. Полностью выражено, ибо метрическое пространство с метрикой является точкой замыкания, если для каждого существует такое, что расстояние (опять же, разрешено). Другой способ выразить это состоит в том, чтобы сказать, что это точка закрытия, если расстояние${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle d(x,s)<r}$${\displaystyle x=s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0.}$

Это определение обобщается на топологические пространства , заменяя «открытый шар» или «шар» на « окрестность ». Позвольте быть подмножеством топологического пространства. Тогда точка замыкания или точка прилегания , если каждая окрестность содержит точку ^[1] . Обратите внимание, что это определение не зависит от того, требуется ли, чтобы окрестности были открытыми.${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$

Определение точки замыкания тесно связано с определением предельной точки . Разница между двумя определениями тонкая, но важная, а именно, в определении предельной точки каждая окрестность рассматриваемой точки должна содержать точку множества, отличную от самой себя . Множество всех предельных точек множества называется производным множеством${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

---