В математике , цифры трансфинитные являются числами , которые являются « бесконечным » в том смысле , что они больше всех конечных чисел, но не обязательно абсолютно бесконечной . К ним относятся трансфинитные кардиналы , которые являются кардинальными числами, используемыми для количественной оценки размера бесконечных множеств, и трансфинитные порядковые числа , которые являются порядковыми числами, используемыми для упорядочивания бесконечных множеств. [1] [2] [3] Термин трансфинит был введен Георгом Кантором в 1895 году, [4] [5] [6][7], которые хотели избежать некоторых значений слова бесконечный в связи с этими объектами, которые, тем не менее, не были конечными . [ необходима цитата ] Немногие современные писатели разделяют эти сомнения; сейчас принято называть трансфинитные кардиналы и порядковые числа "бесконечными". Тем не менее, термин «трансфинит» также остается в употреблении.
Определение
Любое конечное натуральное число можно использовать как минимум двумя способами: как порядковое и кардинальное. Кардинальные числа определяют размер наборов (например, мешок из пяти шариков), тогда как порядковые числа указывают порядок членов в упорядоченном наборе [8] (например, «третий слева» или «двадцать седьмой»). день января »). При распространении на трансфинитные числа эти два понятия становятся разными. Трансфинитное кардинальное число используется для описания размера бесконечно большого множества [3], в то время как трансфинитный порядковый номер используется для описания местоположения внутри бесконечно большого упорядоченного множества. [8] [ неудавшаяся проверка ] Наиболее заметными порядковыми и количественными числами являются, соответственно:
- ( Омега ): наименьшее трансфинитное порядковое число. Это также тип порядка натуральных чисел в их обычном линейном порядке.
- ( Aleph-null ): первое трансфинитное кардинальное число. Это также мощность натуральных чисел. Если выбранная аксиома верна, следующим по величине кардинальным числом будет алеф-единица ,В противном случае могут быть другие кардиналы, которые несравнимы с aleph-one и больше, чем aleph-null. В любом случае, между aleph-null и aleph-one нет кардиналов.
Гипотеза континуума - это утверждение, что нет промежуточных кардинальных чисел междуи мощность континуума (мощность множества действительных чисел ): [3] или, что то же самое,- мощность множества действительных чисел. В теории множеств Цермело – Френкеля ни гипотеза континуума, ни ее отрицание не могут быть доказаны.
Некоторые авторы, в том числе П. Суппес и Дж. Рубин, используют термин трансфинитный кардинал для обозначения мощности дедекиндово-бесконечного множества в контекстах, где это не может быть эквивалентно «бесконечному кардиналу»; то есть в контекстах, где аксиома счетного выбора не предполагается или неизвестно, что она выполняется. Учитывая это определение, все следующие эквиваленты:
- трансфинитный кардинал. То есть есть бесконечное множество дедекиндов такая, что мощность является
- Есть кардинал такой, что
Хотя трансфинитные ординалы и кардиналы обобщают только натуральные числа, другие системы чисел, включая гиперреалистические числа и сюрреалистические числа , предоставляют обобщения действительных чисел . [9]
Примеры
В теории порядковых чисел Кантора каждое целое число должно иметь преемника. [10] Следующее целое число после всех обычных, то есть первое бесконечное целое число, называется. В контексте, больше чем , а также , а также еще больше. Арифметические выражения, содержащиеуказать порядковый номер, и его можно рассматривать как набор всех целых чисел до этого числа. У данного числа обычно есть несколько выражений, которые его представляют, однако существует уникальная нормальная форма Кантора, которая представляет его [10], по сути, конечная последовательность цифр, которая дает коэффициенты при убывающих степенях.
Однако не все бесконечные целые числа могут быть представлены нормальной формой Кантора, и первое, что не может быть задано пределом и называется . [10] наименьшее решение , и следующие решения давать более крупные порядковые номера, и можно следовать, пока не будет достигнут предел , что является первым решением . Это означает, что для того, чтобы иметь возможность определять все трансфинитные целые числа, нужно придумать бесконечную последовательность имен: потому что, если бы нужно было указать единственное наибольшее целое число, тогда всегда можно было бы упомянуть его более крупного преемника. Но, как заметил Кантор, [ цитата необходима ], даже это позволяет достичь только самого низкого класса трансфинитных чисел: тех, чей размер наборов соответствует количественному числу.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - бесконечность" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 4 декабря 2019 .
- ^ «Определение трансфинитного числа | Dictionary.com» . www.dictionary.com . Проверено 4 декабря 2019 .
- ^ а б в «Трансфинитные числа и теория множеств» . www.math.utah.edu . Проверено 4 декабря 2019 .
- ^ "Георг Кантор | Биография, вклад, книги и факты" . Британская энциклопедия . Проверено 4 декабря 2019 .
- ^ Георг Кантор (ноябрь 1895 г.). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)" . Mathematische Annalen . 46 (4): 481–512.
- ^ Георг Кантор (июль 1897 г.). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)" . Mathematische Annalen . 49 (2): 207–246.
- ^ Георг Кантор (1915). Филип Э.Б. Журден (ред.). Вклад в создание теории трансфинитных чисел (PDF) . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. Английский перевод Кантора (1895,1897).
- ^ а б Вайсштейн, Эрик В. «Порядковый номер» . mathworld.wolfram.com . Проверено 4 декабря 2019 .
- ^ Бейер, Вашингтон; Louck, JD (1997), "Функция Трансфинитных итерации и сюрреалистические числа", Прогресс в области прикладной математики , 18 (3): 333-350, DOI : 10,1006 / aama.1996.0513 , МР 1436485
- ^ a b c Джон Хортон Конвей , (1976) О числах и играх . Academic Press, ISBN 0-12-186350-6. (См. Главу 3.)
Библиография
- Леви, Азриэль, 2002 (1978) Теория основных множеств . Dover Publications. ISBN 0-486-42079-5
- О'Коннор, Дж. Дж. И Е. Ф. Робертсон (1998) " Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор ", Архив истории математики MacTutor .
- Рубин, Жан Э. , 1967. "Теория множеств для математика". Сан-Франциско: Холден-Дэй. Основан на теории множеств Морса – Келли .
- Руди Ракер , 2005 (1982) Бесконечность и разум . Princeton Univ. Нажмите. В первую очередь это исследование философского смысла канторовского рая. ISBN 978-0-691-00172-2 .
- Патрик Суппес , 1972 (1960) " Аксиоматическая теория множеств ". Дувр. ISBN 0-486-61630-4 . Основан в ZFC .