В математике , А кортеж является конечным упорядоченным списком (последовательности) элементов . П -кратного представляет собой последовательность (или упорядоченный список) из п элементов, где п является неотрицательным целым числом . Есть только один 0-кортеж, называемый пустым кортежем . П -кратный является определяются индуктивно с использованием конструкции упорядоченной пары .
Математики обычно пишут кортежи, перечисляя элементы в круглых скобках « () » и разделяя их запятыми; например, (2, 7, 4, 1, 7) обозначает 5-кортеж. Иногда элементы окружают другие символы, например квадратные скобки «[]» или угловые скобки «⟨⟩». Фигурные скобки «{}» используются только при определении массивов в некоторых языках программирования, но не в математических выражениях, поскольку они являются стандартной записью для множеств . Термин кортеж часто встречается при обсуждении других математических объектов, таких как векторы .
В информатике кортежи бывают разных форм. Большинство типизированных функционального программирования языков реализация кортежи непосредственно в качестве видов продукции , [1] тесно связанно с алгебраическими типами данных , сопоставлением с образцом , и деструктурирующими присваиваниями . [2] Многие языки программирования предлагают альтернативу кортежам, известным как типы записей , с неупорядоченными элементами, доступ к которым осуществляется по метке. [3] Некоторые языки программирования объединяют упорядоченные типы кортежей и неупорядоченные типы записей в единую конструкцию, как в структурах C и записях Haskell. Реляционные базы данныхмогут формально идентифицировать свои строки (записи) как кортежи .
Кортежи также встречаются в реляционной алгебре ; при программировании семантической сети с помощью Resource Description Framework (RDF); в лингвистике ; [4] и в философии . [5]
Этимология [ править ]
Термин возник как абстракция последовательности: single, couple / double, triple, quadruple, quintuple, sextuple, septuple, octuple, ..., n ‑tuple, ..., где префиксы взяты из латинских названий цифры. Уникальный 0-кортеж называется нулевым кортежем или пустым кортежем. Кортеж из 1 называется одиночным (или одноэлементным), кортеж из двух элементов называется упорядоченной парой или парой, а набор из трех элементов называется тройкой (или тройкой). Число n может быть любым целым неотрицательным числом . Например, комплексное число может быть представлено как кортеж из двух вещественных чисел, кватернион может быть представлен как кортеж из четырех, октонион может быть представлен как кортеж из восьми, а седенион может быть представлен в виде 16-кратного кортежа.
Хотя в этих случаях суффикс трактуется как кратный , исходный суффикс был кратным, например, «тройной» (тройной) или «десятикратный» (десятикратный). Это происходит от средневекового латинского plus (что означает «больше»), относящегося к греческому ‑πλοῦς, который заменил классический и позднеантичный ‑plex (что означает «сложенный»), например, «дуплекс». [6] [а]
Имена кортежей определенной длины [ править ]
Длина кортежа, | Имя | Альтернативные названия |
---|---|---|
0 | пустой кортеж | нулевой кортеж / пустая последовательность / единица |
1 | монумент | одиночный / одиночный / монада |
2 | пара | двойной / упорядоченная пара / двойка / дуада / близнец / двойной / дуад / диада / двойка |
3 | тройной | тройка / тройка / тройка / упорядоченная тройка |
4 | четырехместный | квад / тетрада / квартет / квадруплет |
5 | пятикратный | пятиместный / квинт / пентада |
6 | шестерка | шестнадцатеричный / шестнадцатеричный |
7 | семерка | семерка / гептада |
8 | восьмерка | окта / октет / октад / октуплет |
9 | неполный | nonad / ennead |
10 | девяносто | декада / десятилетие (устарело) |
11 | необъятный | hendecuple / hendecad |
12 | двенадцатиперстный | дюжина / дуодекад |
13 | Tredecuple | чертова дюжина |
14 | четверка | |
15 | пятерка | |
16 | секс | |
17 | семерка | |
18 | восьмидесятилетний | |
19 | новый | |
20 | маршал | |
21 год | однотипный | |
22 | двойник | |
23 | тройка | |
24 | четырехместный | |
25 | пятиместный | |
26 год | секс | |
27 | семерка | |
28 год | восьмиугольник | |
29 | ночь | |
30 | тройной | |
31 год | беспричинный | |
40 | четырехместный | |
41 год | одноквадратный | |
50 | пятерка | |
60 | секс | |
70 | семидесятилетний | |
80 | восьмерка | |
90 | многократный | |
100 | пятикратный | |
1,000 | миллиард | тысяча |
Обратите внимание, что для имя кортежа в приведенной выше таблице может также функционировать как глагол, означающий «умножить [прямой объект] на »; например, «в пять раз» означает «умножить на 5». Если , то связанный глагол - «удвоить». Также существует глагол «sesquiple», означающий «умножать на 3/2». Теоретически «монумент» можно было бы использовать и таким образом.
Свойства [ править ]
Общее правило идентичности двух n -наборов таково:
- если и только если
Таким образом, кортеж имеет свойства, которые отличают его от набора .
- Кортеж может содержать несколько экземпляров одного и того же элемента, поэтому
кортеж ; но поставил . - Элементы кортежа упорядочены: кортеж , но установлен .
- Кортеж имеет конечное число элементов, а набор или мультимножество может иметь бесконечное количество элементов.
Определения [ править ]
Есть несколько определений кортежей, которые придают им свойства, описанные в предыдущем разделе.
Кортежи как функции [ править ]
Если мы имеем дело с множествами, п -кратным можно рассматривать как функцию , F , чей домен подразумевается набор кортежа по индексам элементов, X , и чья область значений, Y , является множеством кортежей по элементам. Формально:
где:
В несколько менее формальных обозначениях это говорит:
Используя это определение -кортежей, следует, что существует только один -набор, пустая функция .
Кортежи как вложенные упорядоченные пары [ править ]
Другой способ моделирования кортежей в теории множеств - это упорядоченные вложенные пары . Этот подход предполагает, что понятие упорядоченной пары уже определено; таким образом, 2-кортеж
- 0-кортеж (т.е. пустой кортеж) представлен пустым набором .
- П -кратный с п > 0 , может быть определена как упорядоченная пара ее первой запись и ( п - 1) -кратного (который содержит остальные записи , когда п > 1) :
Это определение может быть применено рекурсивно к ( n - 1) -набору:
Так, например:
Вариант этого определения начинается с «отслаивания» элементов с другого конца:
- 0-кортеж - это пустой набор .
- Для n > 0 :
Это определение можно применить рекурсивно:
Так, например:
Кортежи как вложенные наборы [ править ]
Используя представление Куратовского для упорядоченной пары , второе определение выше может быть переформулировано в терминах чистой теории множеств :
- 0-кортеж (т.е. пустой кортеж) представлен пустым набором ;
- Позвольте быть n -набор , и пусть . Тогда . (Правую стрелку, можно прочитать как «примыкающий к».)
В этой формулировке:
п -наборов из м - множеств [ править ]
В дискретной математике , особенно в комбинаторике и теории конечных вероятностей , n -наборы возникают в контексте различных задач подсчета и рассматриваются более неформально как упорядоченные списки длины n . [7] n -наборы, элементы которых происходят из набора из m элементов, также называются аранжировками с повторением , перестановками мультимножества и, в некоторой неанглийской литературе, вариациями с повторением . Количество n -элементов m -множества равно m n . Это следует из комбинаторнойправило продукта . [8] Если S является конечным множеством мощности т , это число мощности на п -кратной декартову мощность S × S × ... S . Кортежи являются элементами этого набора продуктов.
Теория типов [ править ]
В теории типов , обычно используемой в языках программирования , кортеж имеет тип продукта ; это фиксирует не только длину, но и основные типы каждого компонента. Формально:
а проекции - это конструкторы терминов:
Кортеж с помеченными элементами, используемый в реляционной модели, имеет тип записи . Оба эти типа можно определить как простые расширения просто типизированного лямбда-исчисления . [9]
Понятия кортежа в теории типов и теории множеств связаны следующим образом: если мы рассматриваем естественную модель теории типов и используем скобки Скотта для обозначения семантической интерпретации, то модель состоит из некоторых наборов ( примечание: здесь используется курсив, который отличает наборы от типов), так что:
и толкование основных терминов таково:
- .
П -кратного теории типа имеет естественную интерпретацию как п -кратный из теории множеств: [10]
Тип единицы имеет семантическую интерпретацию 0-кортеж.
См. Также [ править ]
- Артистия
- Экспоненциальный объект
- Формальный язык
- OLAP: многомерные выражения
- Prime к -кратному
- Отношение (математика)
- Последовательность
- Кортеж
Заметки [ править ]
- ^ Сравните этимологию слова ploidy от греческого слова -fold.
Ссылки [ править ]
- ^ "Алгебраический тип данных - HaskellWiki" . wiki.haskell.org .
- ^ «Деструктурирующее задание» . Веб-документы MDN .
- ^ "Гарантирует ли JavaScript порядок собственности объекта?" . Переполнение стека .
- ^ "N-кортеж". N-кортеж - Оксфордский справочник . oxfordreference.com . Издательство Оксфордского университета. Январь 2007 г. ISBN. 9780199202720. Дата обращения 1 мая 2015 .
- ^ Блэкберн, Саймон (1994). "упорядоченный набор". Оксфордский философский словарь . Краткий справочник Оксфорда (3-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press (опубликовано в 2016 г.). п. 342. ISBN. 9780198735304. Проверено 30 июня 2017 .
упорядоченный набор из n [:] Обобщение понятия упорядоченной пары [...] на последовательности из n объектов.
- ^ OED , sv "тройной", "четверной", "пятиместный", "десятичный"
- ↑ D'Angelo & West 2000 , стр. 9
- ↑ D'Angelo & West 2000 , стр. 101
- ^ Пирс, Бенджамин (2002). Типы и языки программирования . MIT Press. стр. 126 -132. ISBN 0-262-16209-1.
- ^ Стив Awodey, От наборов к типам, к категориям, к наборам , 2009, препринт
Источники [ править ]
- Д'Анджело, Джон П .; Уэст, Дуглас Б. (2000), Математическое мышление / Решение проблем и доказательства (2-е изд.), Прентис-Холл, ISBN 978-0-13-014412-6
- Кейт Девлин , Радость множеств . Springer Verlag, 2-е изд., 1993, ISBN 0-387-94094-4 , стр. 7-8
- Авраам Адольф Френкель , Иегошуа Бар-Хиллель , Азриэль Леви , Основы школьной теории множеств , Elsevier Studies in Logic Vol. 67, 2-е издание, переработанное, 1973, ISBN 0-7204-2270-1 , стр. 33
- Такеути Гаиси , Заринг В.М. , Введение в теорию аксиоматических множеств , Springer GTM 1, 1971, ISBN 978-0-387-90024-7 , стр. 14
- Джордж Дж. Турлакис, Конспект лекций по логике и теории множеств. Том 2: Теория множеств , Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-75374-6 , стр. 182–193
Внешние ссылки [ править ]
- Словарное определение кортежа в Викисловаре