Ультрафинитизм

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Октябрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В философии математики , ultrafinitism (также известный как ultraintuitionism , ^[1] строгий формализм , ^[2] строгое Финитизм , ^[2] актуализм , ^[1] predicativism , ^[2]^[3] и сильный Финитизм ) ^[2] является форма финитизма и интуиционизма . Существуют различные философии математики, которые называются ультрафинитизмом. Основным идентифицирующим свойством, общим для большинства этих философий, является их возражение против совокупности теоретико-числовых функций, таких каквозведение в степень по натуральным числам .

Основные идеи [ править ]

Как и другие finitists , ultrafinitists отрицают существование бесконечного множества N из натуральных чисел .

Кроме того, некоторые ультрафинитисты озабочены принятием в математике объектов, которые никто не может построить на практике из-за физических ограничений при построении больших конечных математических объектов. Таким образом , некоторые ultrafinitists будет отрицать или воздерживаться от принятия существование большого числа, например, пол первого числа Skewes в , что огромное количество определяется с помощью экспоненциальной функции , как ехр (ехр (ехр (79))), или

{\ displaystyle e ^ {e ^ {e ^ {79}}}.}

Причина в том, что никто еще не вычислил, какое натуральное число является нижним пределом этого действительного числа , и, возможно, это даже невозможно сделать физически. Точно так же (в обозначении стрелки Кнута вверх ) будет считаться только формальным выражением, которое не соответствует натуральному числу. Бренд ультрафинитизма, связанный с физической реализуемостью математики, часто называют актуализмом . ${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 6}$

Эдвард Нельсон критиковал классическую концепцию натуральных чисел из-за округлости ее определения. В классической математике натуральные числа определяются как 0, а числа, полученные путем итеративного применения функции- последователя к 0. Но понятие натурального числа уже предполагается для итерации. Другими словами, чтобы получить число, подобное одному, необходимо выполнить функцию-последователь итеративно (фактически, ровно раз) до 0. ${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 6}$ ${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 6}$

Некоторые версии ультрафинитизма являются формами конструктивизма , но большинство конструктивистов рассматривают эту философию как недопустимую крайность. Логическая основа ультрафинитизма неясна; в своем всеобъемлющем обзоре « Конструктивизм в математике» (1988) конструктивный логик А.С. Трельстра отверг его, заявив, что «в настоящее время не существует удовлетворительного развития». Это было не столько философское возражение, сколько признание того, что в строгой работе по математической логике просто не было ничего достаточно точного, чтобы включить его.

Люди, связанные с ультрафинитизмом [ править ]

Серьезную работу над ультрафинитизмом с 1959 года возглавил Александр Есенин-Вольпин , который в 1961 году набросал программу доказательства непротиворечивости теории множеств Цермело – Френкеля в сверхконечной математике. Другие математики, которые работали в этой теме, включают Дорон Зейлбергер , Эдвард Нельсон , Рохит Дживанлал Парих и Жан Поль Ван Бендегем . Философия также иногда связана с верованиями Людвига Витгенштейна , Робина Ганди , Петра Вопенка и Я. Ельмслева .

Шауган Лавин разработал форму теоретико-множественного ультрафинитизма, которая согласуется с классической математикой. ^[4] Лавин показал, что основные принципы арифметики, такие как «не существует наибольшего натурального числа», могут быть поддержаны, поскольку Лавин допускает включение «бесконечно больших» чисел. ^[4]

Ограничения, основанные на теории сложности вычислений [ править ]

Другие соображения о возможности избежать громоздких больших чисел могут быть основаны на теории вычислительной сложности , как, например, в работе Андраса Корнаи о явном финитизме (который не отрицает существования больших чисел) ^[5] и представлении Владимира Сазонова о допустимых возможностях. номер .

Там также было значительное формальное развитие на версиях ultrafinitism, которые основаны на теории сложности, как Самуэль Buss «s Bounded арифметических теорий, захват математики , связанных с различными классами сложности как P и PSPACE . Работу Басса можно считать продолжением работы Эдварда Нельсона по предикативной арифметике, поскольку теории ограниченной арифметики, такие как S12, интерпретируются в теории Q Рафаэля Робинсона и, следовательно, являются предикативными в теории Нельсона.Смысл. Сила этих теорий для развития математики изучается в ограниченной обратной математике, как это можно найти в работах Стивена А. Кука и Фуонга Нгуена . Однако эти исследования не являются философией математики, а скорее изучением ограниченных форм рассуждений, подобных обратной математике .

См. Также [ править ]

Транвычислительная проблема

Заметки [ править ]

^ a b Международный семинар по логике и вычислительной сложности, логике и вычислительной сложности , Springer, 1995, с. 31.
^ a b c d Св. Иван (2000), " О несостоятельности предикативизма Нельсона ", Erkenntnis 53 (1-2), стр. 147-154.
^ Не путать с предикативизмом Рассела.
^ а б «Философия математики (Стэнфордская энциклопедия философии)» . Plato.stanford.edu . Проверено 7 октября 2015 .
^ "Отношение к основам"

Ссылки [ править ]

Эсенин-Вольпин, А.С. (1961), "Le program ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques", Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math., Варшава, 1959) , Oxford: Pergamon, pp. 201–223, MR 0147389Обзор Kreisel, G .; Эренфойхт, А. (1967), «Обзор Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques, автор А.С. Эсенин-Вольпин», Журнал символической логики , Ассоциация символической логики, 32 (4): 517, doi : 10.2307 / 2270182 , JSTOR 2270182
Лавин, С., 1994. Понимание бесконечного , Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета.

Внешние ссылки [ править ]

Явная Финитизм по Андраш Корнаи
О возможных числах Владимира Сазонова
«Реал» Анализ вырожденный случай дискретного анализа по Дорон Цейльбергер
Обсуждение формальных основ на MathOverflow
История конструктивизма в 20 - м веке по А.С. Трульстра
Предикативный Арифметика от Эдварда Нельсона
Логические основы Доказательство сложности по Стивен А. Кук и Phuong Нгуен
Ограниченность Reverse Математика по Phuong Нгуен
Чтение Брайан Ротман в «Ad Infinitum ...» по Чарльз Петцольд
Теория вычислительной сложности

[LCC-1] Международный семинар по логике и вычислительной сложности, логике и вычислительной сложности , Springer, 1995, с. 31.

[Iwan-2] Св. Иван (2000), " О несостоятельности предикативизма Нельсона ", Erkenntnis 53 (1-2), стр. 147-154.

[3] Не путать с предикативизмом Рассела.

[stanford1-4] а б «Философия математики (Стэнфордская энциклопедия философии)» . Plato.stanford.edu . Проверено 7 октября 2015 .

[5] "Отношение к основам"

[1]