Равномерный 10-многогранник

Графы трех правильных и связанных однородных многогранников .

10-симплекс				Усеченный 10-симплексный				Ректифицированный 10-симплексный
Кантеллированный 10-симплексный						Ранцинированный 10-симплексный
Стерилизованный 10-симплекс				Пятисторонний 10-симплексный				Hexicated 10-симплекс
Семеричный 10-симплексный				Октеллированный 10-симплексный				Ennecated 10-симплекс
10-ортоплекс				Усеченный 10-ортоплекс				Ректифицированный 10-ортоплекс
10-куб				Усеченный 10-куб				Ректифицированный 10-куб
10-полукуб						Усеченный 10-полукуб

В десятимерной геометрии 10-многогранник - это 10-мерный многогранник , граница которого состоит из граней 9-многогранника , причем ровно две такие грани пересекаются на каждом гребне 8-многогранника .

Равномерный 10-многогранник является одним , который является вершиной-симметрической и построено из однородных граней .

Правильные 10-многогранники [ править ]

Правильные 10-многогранники могут быть представлены символом Шлефли {p, q, r, s, t, u, v, w, x}, где x {p, q, r, s, t, u, v, w} Вокруг каждой вершины грани 9-многогранников .

Таких выпуклых правильных 10-многогранников ровно три :

1. {3,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10-симплекс
2. {4,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10 куб.
3. {3,3,3,3,3,3,3,3,4} - 10-ортоплекс

Не существует невыпуклых правильных 10-многогранников.

Эйлерова характеристика [ править ]

Топология любого данного 10-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . ^[1]

Значение характеристики Эйлера, используемой для характеристики многогранников, бесполезно обобщается на более высокие измерения и равно нулю для всех 10-многогранников, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти. ^[1]

Точно так же понятие ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидальных многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения. ^[1]

Равномерные 10-многогранники фундаментальными группами Кокстера [ править ]

Равномерные 10-многогранники с отражающей симметрией могут быть порождены этими тремя группами Кокстера, представленными перестановками колец диаграмм Кокстера-Дынкина :

#	Группа Коксетера		Диаграмма Кокстера-Дынкина
1	А 10	[3 9 ]
2	В 10	[4,3 8 ]
3	D 10	[3 7,1,1 ]

Выбранные регулярные и равномерные 10-многогранники из каждого семейства включают:

1. Семейство симплексных : A ₁₀ [3 ⁹ ] -
   • 527 однородных 10-многогранников как перестановок колец в групповой диаграмме, включая один регулярный:
     1. {3 ⁹ } - 10-симплекс -
2. Семейство гиперкубов / ортоплексов : B ₁₀ [4,3 ⁸ ] -
   • 1023 однородных 10-многогранников как перестановки колец в групповой диаграмме, включая два регулярных:
     1. {4,3 ⁸ } - 10 кубик или декеракт -
     2. {3 ⁸ , 4} - 10-ортоплекс или декакросс -
     3. h {4,3 ⁸ } - 10-полукуб .
3. Семейство Demihypercube D ₁₀ : [3 ^7,1,1 ] -
   • 767 однородных 10-многогранников как перестановок колец в групповой диаграмме, в том числе:
     1. 1 _7,1 - 10-demicube или demidekeract -
     2. 7 _1,1 - 10-ортоплекс -

Аналого ₁₀ семьи [ править ]

Семейство A ₁₀ имеет симметрию порядка 39 916 800 (11 факториалов ).

Существует 512 + 16-1 = 527 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами. 31 показаны ниже: все формы с одним и двумя кольцами, а также окончательная форма без усечения. Названия акронимов в стиле Bowers даны в скобках для перекрестных ссылок.

#	График	Диаграмма Кокстера-Дынкина Символ Шлефли Имя	Количество элементов
			9 лиц	8 лиц	7 лиц	6 лиц	5 лиц	4-гранный	Клетки	Лица	Края	Вершины
1		t 0 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} 10-симплекс (ux)	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11
2		t 1 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Ректифицированный 10-симплексный (ru)									495	55
3		t 2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Биректифицированный 10-симплекс (bru)									1980 г.	165
4		t 3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Триректифицированный 10-симплексный (tru)									4620	330
5		t 4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Квадриректифицированный 10-симплекс (teru)									6930	462
6		t 0,1 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Усеченный 10-симплекс (tu)									550	110
7		t 0,2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Сквозные 10-симплексные									4455	495
8		t 1,2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Bitruncated 10-симплексный									2475	495
9		t 0,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Runcinated 10-симплекс									15840	1320
10		t 1,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Бикантеллированный 10-симплекс									17820	1980 г.
11		t 2,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Tritruncated 10-симплекс									6600	1320
12		t 0,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} стерилизованный 10-симплексный									32340	2310
13		t 1,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Бирунцинированный 10-симплекс									55440	4620
14		t 2,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Треугольник 10-симплекс									41580	4620
15		t 3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Квадроусеченный 10-симплекс									11550	2310
16		t 0,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Пятисторонний 10-симплексный									41580	2772
17		t 1,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Бистерифицированный 10-симплексный									97020	6930
18		t 2,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Усеченный 10-симплекс									110880	9240
19		t 3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Четырехкантеллированный 10-симплексный									62370	6930
20		t 4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} 5- усеченный 10-симплексный									13860	2772
21 год		t 0,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Hexicated 10-симплекс									34650	2310
22		t 1,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Бипентеллированный 10-симплексный									103950	6930
23		t 2,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Тристерифицированный 10-симплексный									161700	11550
24		t 3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Квадроуровневый 10-симплекс									138600	11550
25		t 0,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Семеричный 10-симплексный									18480	1320
26 год		t 1,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Bihexicated 10-симплекс									69300	4620
27		t 2,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Тройной 10-симплексный									138600	9240
28 год		t 0,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Октеллированный 10-симплексный									5940	495
29		t 1,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Бигептеллированный 10-симплексный									27720	1980 г.
30		t 0,9 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Ennecated 10-симплекс									990	110
31 год		t 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Омноусеченный 10-симплексный									199584000	39916800

B ₁₀ семьи [ править ]

Существует 1023 формы, основанные на всех перестановках диаграмм Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами.

Ниже показаны двенадцать случаев: десять однокольцевых ( выпрямленных ) форм и два усечения. Названия акронимов в стиле Bowers даны в скобках для перекрестных ссылок.

#	График	Диаграмма Кокстера-Дынкина Символ Шлефли Имя	Количество элементов
			9 лиц	8 лиц	7 лиц	6 лиц	5 лиц	4-гранный	Клетки	Лица	Края	Вершины
1		т 0 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10 куб (декер)	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024
2		t 0,1 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Усеченный 10-куб (таде)									51200	10240
3		т 1 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Ректифицированный 10-куб (рада)									46080	5120
4		t 2 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Биректифицированный 10-куб (марка)									184320	11520
5		т 3 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Триректифицированный 10-куб (торговля)									322560	15360
6		t 4 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Квадриректифицированный 10-куб (терад)									322560	13440
7		t 4 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} Квадриректифицированный 10-ортоплекс (терак)									201600	8064
8		t 3 {3,3,3,3,3,3,3,4} Триректифицированный 10-ортоплекс (тракт)									80640	3360
9		t 2 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} Двунаправленный 10-ортоплекс (тормоз)									20160	960
10		t 1 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} Ректифицированный 10-ортоплекс (грабли)									2880	180
11		t 0,1 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} Усеченный 10-ортоплекс (дубль)									3060	360
12		t 0 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10-ортоплекс (ка)	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20

D ₁₀ семьи [ править ]

Семейство D ₁₀ имеет симметрию порядка 1,857,945,600 (10 факториалов × 2 ⁹ ).

Это семейство имеет 3 × 256−1 = 767 однородных многогранников Витоффа, созданных пометкой одного или нескольких узлов диаграммы Кокстера-Дынкина D ₁₀ . Из них 511 (2 × 256-1) повторяются из семейства B _10, а 256 являются уникальными для этого семейства, 2 из которых перечислены ниже. Названия акронимов в стиле Bowers даны в скобках для перекрестных ссылок.

#	График	Диаграмма Кокстера-Дынкина Символ Шлефли Имя	Количество элементов
			9 лиц	8 лиц	7 лиц	6 лиц	5 лиц	4-гранный	Клетки	Лица	Края	Вершины
1		10-demicube (хеде)	532	5300	24000	64800	115584	142464	122880	61440	11520	512
2		Усеченный 10-полукуб (теде)									195840	23040

Обычные и однородные соты [ править ]

Есть четыре фундаментальных аффинных группы Кокстера, которые генерируют регулярные и однородные мозаики в 9-пространстве:

#	Группа Коксетера		Диаграмма Кокстера-Дынкина
1	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {9}}$	[3 [10] ]
2	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {9}}$	[4,3 7 , 4]
3	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{9}}$	h [4,3 7 , 4] [4,3 6 , 3 1,1 ]
4	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {9}}$	q [4,3 7 , 4] [3 1,1 , 3 5 , 3 1,1 ]

Обычные и однородные мозаики включают:

• Обычные 9-гиперкубические соты с обозначениями {4,3 ⁷ , 4},
• Равномерные чередующиеся 9-гиперкубические соты с символами h {4,3 ⁷ , 4},

Регулярные и однородные гиперболические соты [ править ]

Не существует компактных гиперболических групп Кокстера ранга 10, групп, которые могут порождать соты со всеми конечными фасетами, и конечной фигуры вершины . Однако существует 3 некомпактных гиперболических группы Кокстера ранга 9, каждая из которых порождает однородные соты в 9-пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера.

${\ displaystyle {\ bar {Q}} _ {9}}$= [3 1,1 , 3 4 , 3 2,1 ]:

${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {9}}$= [4,3 5 , 3 2,1 ]:

${\ displaystyle E_ {10}}$или = [3 6,2,1 ]:${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {9}}$

Три соты из семейства, сформированные диаграммами Кокстера с концевыми кольцами:${\ displaystyle E_ {10}}$

• 6 21 соты :
• 2 61 соты :
• 1 62 соты :

Ссылки [ править ]

• Т. Госсет : О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Macmillan, 1900
• А. Буль Стотт : Геометрическая дедукция полуправильных из правильных многогранников и заполнения пространства , Верханделинген из академии Koninklijke van Wetenschappen, единица ширины Амстердам, Eerste Sectie 11,1, Амстердам, 1910 г.
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins und JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954.
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Клитцинг, Ричард. «10D однородные многогранники (поликсенны)» .

Внешние ссылки [ править ]

• Имена многогранников
• Многогранники разных измерений , Джонатан Бауэрс
• Многомерный глоссарий
• Глоссарий по гиперпространству , Георгий Ольшевский.