Цифровая цифра

Десять цифр арабских цифр в порядке значений.

Численное цифра является один символ используется отдельно (например, «2») или в комбинации (например, «25»), для представления чисел в позиционной системе счисления. Название «цифра» происходит от того факта, что десять цифр ( латинское digiti, означающее пальцы) ^[1] рук соответствуют десяти символам общей системы счисления с основанием 10 , то есть десятичной системе (древнее латинское прилагательное decem означает десять) ^{[ 2]} цифры.

Для данной системы счисления с основанием целого числа необходимое количество различных цифр определяется абсолютным значением основания. Например, десятичная система (основание 10) требует десяти цифр (от 0 до 9), тогда как двоичная система (основание 2) требует двух цифр (0 и 1).

Обзор [ править ]

В базовой цифровой системе цифра - это последовательность цифр, которая может иметь произвольную длину. Каждая позиция в последовательности имеет значение разряда, а каждая цифра имеет значение. Значение числа вычисляется путем умножения каждой цифры в последовательности на ее разрядное значение и суммирования результатов.

Цифровые значения [ править ]

Каждая цифра в системе счисления представляет собой целое число. Например, в десятичной системе цифра «1» представляет собой целое число один , а в шестнадцатеричной системе, буква «А» представляет собой число десять . Позиционная система счисления имеет одну уникальную цифру для каждого целого числа от нуля до, но не включая, десятичные системы счисления.

Таким образом, в позиционной десятичной системе числа от 0 до 9 могут быть выражены с помощью соответствующих цифр от «0» до «9» в крайнем правом положении «единиц». Число 12 может быть выражено цифрой "2" в позиции единиц и цифрой "1" в позиции "десятки" слева от "2", а число 312 может быть выражено тремя цифрами: «3» в позиции «сотни», «1» в позиции «десятки» и «2» в позиции «единицы».

Вычисление разрядов [ править ]

В десятичной системе счисления используется десятичный разделитель , обычно точка в английском языке или запятая в других европейских языках ^[3] для обозначения «разряда единиц» или «разряда единиц» ^{[4] [5] [6],} который имеет числовая ценность один. Каждое последующее место слева от него имеет разрядное значение, равное разрядному значению предыдущей цифры, умноженному на основание . Точно так же каждое последующее место справа от разделителя имеет разрядное значение, равное разрядному значению предыдущей цифры, деленному на основание. Например, в числе 10,34 (записанном по основанию 10 ),

0 сразу слева от разделителя, поэтому в те , или единицы места, и называется цифра единиц или те цифры ; ^{[7] [8] [9]}

- слева для единиц находятся в десятках месте, и называются десятки цифр ; ^[10]

3 находится справа для единиц, так это в том месте , десятые, и называется десятые цифры ; ^[11]

4 справа от места балльный находится в сотых месте, и называется сотых цифра . ^[11]

Суммарное значение числа - 1 десятая, 0 единиц, 3 десятых и 4 сотых. Обратите внимание, что ноль, который не вносит никакого значения в число, указывает, что 1 находится в разряде десятков, а не единиц.

Разрядное значение любой данной цифры в числительном может быть задано простым вычислением, которое само по себе является дополнением к логике, лежащей в основе систем счисления. Вычисление включает умножение данной цифры на основание, увеличенное на показатель степени n - 1 , где n представляет позицию цифры из разделителя; значение n положительное (+), но это только в том случае, если цифра находится слева от разделителя. А справа цифра умножается на основание, возведенное на отрицательное (-) n . Например, в числе 10,34 (записывается по основанию 10),

1 является вторым слева от разделителя, так что на основе расчета, его значение,

${\ Displaystyle п-1 = 2-1 = 1}$

${\ displaystyle 1 \ times 10 ^ {1} = 10}$

цифра 4 - вторая справа от разделителя, поэтому, исходя из расчетов, ее значение равно

${\ displaystyle n = -2}$

${\ displaystyle 4 \ times 10 ^ {- 2} = {\ frac {4} {100}}}$

История [ править ]

Первой истинно письменной позиционной системой счисления считается индуистско-арабская система счисления . Эта система была создана в 7 веке в Индии ^[12], но еще не достигла своей современной формы, потому что использование нулевой цифры еще не было широко распространено. Вместо нуля иногда цифры были отмечены точками, чтобы указать их значение, или пробел использовался в качестве заполнителя. Первое широко признанное использование нуля было в 876. ^[13] Первоначальные цифры были очень похожи на современные, вплоть до глифов, используемых для обозначения цифр. ^[12]

К 13 веку западные арабские цифры были приняты в европейских математических кругах ( Фибоначчи использовал их в своей Liber Abaci ). Они начали входить в широкое употребление в 15 веке. ^[14] К концу 20-го века практически все некомпьютерные вычисления в мире производились с использованием арабских цифр, которые заменили родные системы счисления в большинстве культур.

Другие исторические системы счисления, использующие цифры [ править ]

Точный возраст цифр майя неясен, но возможно, что он старше, чем индуистско-арабская система. Система была десятичной (основание 20), поэтому она состояла из двадцати цифр. Майя использовали символ оболочки для обозначения нуля. Цифры писались вертикально, единицы располагались внизу. У майя не было эквивалента современного десятичного разделителя , поэтому их система не могла представлять дроби. ^[15]

Система счисления Тайской идентична индо-арабской системе счисления для символов , используемых для представления цифр , за исключением. Эти цифры менее распространены в Таиланде, чем когда-то, но они все еще используются вместе с арабскими цифрами.

Стержневые числа, письменные формы счетных стержней, когда-то использовавшиеся китайскими и японскими математиками, представляют собой десятичную позиционную систему, способную представлять не только ноль, но и отрицательные числа. Сами счетные стержни появились еще до индуистско-арабской системы счисления. Эти цифры Сучжоу варианта стержневых цифр.

Современные цифровые системы [ править ]

В информатике [ править ]

Двоичное (основание 2), восьмеричные (основание 8), и шестнадцатеричное (основание 16) система, широко используется в информатике , все следуют конвенциям о индо-арабской системы счисления . ^[16] В двоичной системе используются только цифры «0» и «1», в то время как в восьмеричной системе используются цифры от «0» до «7». В шестнадцатеричной системе используются все цифры десятичной системы, а также буквы от «A» до «F», которые представляют числа от 10 до 15 соответственно. ^[17]

Необычные системы [ править ]

Тройной и сбалансированные тройные системы иногда использовались. Обе системы являются базовыми 3-мя системами. ^[18]

Сбалансированная троичная система необычна тем, что имеет цифровые значения 1, 0 и –1. Оказалось, что сбалансированная троичная система обладает некоторыми полезными свойствами, и система была использована в экспериментальных российских компьютерах Setun . ^[19]

Несколько авторов за последние 300 лет отметили возможность позиционной записи, которая сводится к модифицированному десятичному представлению . Приводятся некоторые преимущества использования числовых цифр, представляющих отрицательные значения. В 1840 году Огюстен-Луи Коши выступал за использование представления чисел в виде цифр со знаком, а в 1928 году Флориан Каджори представил свой сборник ссылок на отрицательные числа . Концепция представления цифр со знаком также использовалась в компьютерном дизайне .

Цифры в математике [ править ]

Несмотря на важную роль цифр в описании чисел, они относительно не важны для современной математики . ^[20] Тем не менее, есть несколько важных математических концепций, которые используют представление числа в виде последовательности цифр.

Цифровые корни [ править ]

Цифровой корень - это однозначное число, полученное путем суммирования цифр данного числа, затем суммирования цифр результата и так далее, пока не будет получено однозначное число. ^[21]

Изгнание девяток [ править ]

Отбрасывание девяток - это процедура проверки арифметики вручную. Для того, чтобы описать его, пусть представляют собой цифровой корень из , как описано выше. Для исключения девяток используется тот факт, что если , то . В процессе исключения девяток вычисляются обе части последнего уравнения , и если они не равны, исходное добавление должно быть ошибочным. ^[22]${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle А + В = С}$${\ Displaystyle е (е (А) + е (В)) = е (С)}$

Repunits и repdigits [ править ]

Повторные единицы - это целые числа, которые представлены только цифрой 1. Например, 1111 (одна тысяча сто одиннадцать) - это повторная единица. Репдигиты - это обобщение повторений; это целые числа, представленные повторяющимися экземплярами одной и той же цифры. Например, 333 - это повторная цифра. На простоту в repunits представляет интерес для математиков. ^[23]

Палиндромные числа и числа Лихрела [ править ]

Палиндромные числа - это числа, которые читаются одинаково, когда их цифры меняются местами. ^[24] номер Lychrel является положительным целым числом , которое никогда не дает палиндромное числа при воздействии на итерационный процесс добавляются к себе с обратной цифрой. ^[25] Вопрос о том, есть ли числа Лихрела в базе 10, является открытой проблемой в развлекательной математике ; наименьший кандидат - 196 человек . ^[26]

История древних чисел [ править ]

Счетные устройства, особенно использование частей тела (счет на пальцах), безусловно, использовались в доисторические времена, как и сегодня. Есть много вариаций. Помимо подсчета десяти пальцев, в некоторых культурах учитывались костяшки пальцев, расстояние между пальцами рук и ног, а также пальцы рук. Oksapmin культура Новой Гвинеи использует систему из 27 верхних мест тела для представления чисел. ^[27]

Чтобы сохранить числовую информацию, с доисторических времен использовались столбы, вырезанные из дерева, кости и камня. ^[28] Культуры каменного века, в том числе древние индейские группы американцев , использовали счетчики для азартных игр, личных услуг и торговых товаров.

Метод сохранения числовой информации в глине был изобретен шумерами между 8000 и 3500 годами до нашей эры. ^[29] Это было сделано с помощью маленьких глиняных жетонов различной формы, которые были нанизаны, как бусы на нитку. Начиная примерно с 3500 г. до н.э., глиняные жетоны постепенно заменялись числовыми знаками, отпечатанными круглым стилусом под разными углами в глиняных табличках (первоначально контейнерах для жетонов), которые затем запекались. Около 3100 г. до н.э. письменные числа отделились от подсчитываемых вещей и стали абстрактными цифрами.

Между 2700 и 2000 годами до нашей эры в Шумере круглое игло постепенно заменялось тростниковым стилусом, который использовался для штамповки клинописных клинописных знаков в глине. Эти клинописные числовые знаки напоминали круглые числовые знаки, которые они заменили, и сохранили аддитивное знаковое обозначение круглых числовых знаков. Эти системы постепенно сошлись на единой шестидесятеричной системе счисления; это была позиционная система, состоящая только из двух штампованных знаков, вертикального клина и шеврона, которые также могли представлять дроби. ^[30] Эта шестидесятеричная система счисления была полностью разработана в начале периода Старой Вавилонии (около 1950 г. до н.э.) и стала стандартной в Вавилонии. ^[31]

Шестидесятеричные числа представляли собой смешанную систему счисления , в которой сохранялись чередующиеся основания 10 и 6 в последовательности клинописных вертикальных клиньев и шевронов. К 1950 году до нашей эры это была позиционная система обозначений . Шестидесятеричные числа стали широко использоваться в торговле, но также использовались в астрономических и других расчетах. Эта система была экспортирована из Вавилонии и использовалась по всей Месопотамии, а также каждой средиземноморской нацией, которая использовала стандартные вавилонские единицы измерения и счета, включая греков, римлян и египтян. Шестидесятеричная система счисления в вавилонском стиле до сих пор используется в современном обществе для измерения времени (минут в час) и углов (градусов). ^[32]

История современных чисел [ править ]

В Китае армии и провизия подсчитывались с использованием модульных счетчиков простых чисел . Уникальное количество войск и меры риса появляются как уникальные комбинации этих подсчетов. Большое удобство модульной арифметики состоит в том, что ее легко умножать. ^[33] Это делает использование модульной арифметики особенно привлекательным. Обычные счетчики довольно сложно умножать и делить. В наше время модульная арифметика иногда используется в цифровой обработке сигналов . ^[34]

Самая старая греческая система была , что из аттических цифр , ^[35] , но в 4 веке до н.э. они начали использовать quasidecimal алфавитной системы (см греческих цифр ). ^[36] Евреи начали использовать подобную систему ( еврейские цифры ), самые старые известные примеры - монеты примерно 100 г. до н.э. ^[37]

Римская империя использовала табели, написанные на воске, папирусе и камне, и примерно следовала греческому обычаю присваивать буквы различным числам. Система римских цифр оставалась обычным явлением в Европе до тех пор, пока позиционное обозначение не стало обычным явлением в 16 веке. ^[38]

Майя Центральной Америки использовали смешанную основание 18 и основание 20 системы, возможно , унаследованного от ольмеков , в том числе дополнительных функций , таких как позиционной системы счисления и нулем . ^[39] Они использовали эту систему для продвинутых астрономических расчетов, включая высокоточные вычисления длины солнечного года и орбиты Венеры . ^[40]

Империя инков управляла крупной командной экономикой, используя кипу - счетчики, сделанные путем завязывания цветных волокон. ^[41] Знание кодировок узлов и цветов было подавлено испанскими конкистадорами в 16 веке и не сохранилось, хотя простые записывающие устройства, подобные кипу, все еще используются в Андском регионе.

Некоторые специалисты считают, что позиционная арифметика началась с широкого использования счетных стержней в Китае. ^[42] Самые ранние письменные позиционные записи, по-видимому, представляют собой результаты стержневого исчисления в Китае около 400 г. Ноль впервые был использован в Индии в 7 веке нашей эры Брахмагуптой . ^[43]

Современная позиционная арабская система счисления была разработана математиками в Индии и передана мусульманским математикам вместе с астрономическими таблицами, привезенными в Багдад индийским послом около 773 г. ^[44]

Из Индии процветающая торговля между исламскими султанами и Африкой принесла эту идею в Каир . Арабские математики расширили систему, включив в нее десятичные дроби , и Мухаммад ибн Муса аль-Сваризми написал важную работу об этом в IX веке. ^[45] Современные арабские цифры были введены в Европу с переводом этой работы в XII веке в Испании и " Liber Abaci" Леонардо из Пизы в 1201 году. ^[46] В Европе полная индийская система с нулем была получена из арабы в 12 веке. ^[47]

Бинарная система (основание 2), размножали в 17 - м веке Готфридом Лейбницем . ^[48] Лейбниц разработал эту концепцию в начале своей карьеры и пересмотрел ее, когда рецензировал копию И Цзин из Китая. ^[49] Двоичные числа стали широко использоваться в 20 веке из-за компьютерных приложений. ^[48]

Цифры в самых популярных системах [ править ]

Западноарабский	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Асомия (ассамский); Бенгальский	০	১	২	৩	৪	৫	৬	৭	৮	৯
Деванагари	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९
Восточноарабский	٠	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩
Персидский	٠	١	٢	٣	۴	۵	۶	٧	٨	٩
Гурмукхи	੦	੧	੨	੩	੪	੫	੬	੭	੮	੯
Урду
Китайский (повседневный)	〇	一	二	三	四	五	六	七	八	九
Китайский (формальный)	零	壹	贰 / 貳	叁 / 叄	肆	伍	陆 / 陸	柒	捌	玖
Китайский (Сучжоу)	〇	〡	〢	〣	〤	〥	〦	〧	〨	〩
Геэз (эфиопский)		፩	፪	፫	፬	፭	፮	፯	፰	፱
Гуджарати	૦	૧	૨	૩	૪	૫	૬	૭	૮	૯
Иероглифический египетский		𓏺	𓏻	𓏼	𓏽	𓏾	𓏿	𓐀	𓐁	𓐂
Японский	零/ 〇	一	二	三	四	五	六	七	八	九
Каннада	೦	೧	೨	೩	೪	೫	೬	೭	೮	೯
Кхмерский (Камбоджа)	០	១	២	៣	៤	៥	៦	៧	៨	៩
Лаосский	໐	໑	໒	໓	໔	໕	໖	໗	໘	໙
Лимбу	᥆	᥇	᥈	᥉	᥊	᥋	᥌	᥍	᥎	᥏
Малаялам	൦	൧	൨	൩	൪	൫	൬	൭	൮	൯
Монгольский	᠐	᠑	᠒	᠓	᠔	᠕	᠖	᠗	᠘	᠙
Бирманский	၀	၁	၂	၃	၄	၅	၆	၇	၈	၉
Ория	୦	୧	୨	୩	୪	୫	୬	୭	୮	୯
Роман		я	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX
Шан	႐	႑	ဋ္ဌ	႓	႔	႕	႖	႗	႘	႙
Сингальский		𑇡	𑇢	𑇣	𑇤	𑇥	𑇦	𑇧	𑇨	𑇩
Тамильский	௦	௧	௨	௩	௪	௫	௬	௭	௮	௯
телугу	౦	౧	౨	౩	౪	౫	౬	౭	౮	౯
Тайский	๐	๑	๒	๓	๔	๕	๖	๗	๘	๙
тибетский	༠	༡	༢	༣	༤	༥	༦	༧	༨	༩
Новый Тай Лю	᧐	᧑	᧒	᧓	᧔	᧕	᧖	᧗	᧘	᧙
Яванский	꧐	꧑	꧒	꧓	꧔	꧕	꧖	꧗	꧘	꧙

Дополнительные цифры [ править ]

См. Также [ править ]

• Шестнадцатеричный
• Двоичная цифра ( бит ), квантовая двоичная цифра ( кубит )
• Троичный разряд ( Трит ), Quantum тройной цифры ( кутрит )
• Десятичная цифра ( dit )
• Шестнадцатеричная цифра ( Hexit )
• Натуральная цифра ( нат , нит )
• Наперский палец ( непит )
• Значащая цифра
• Большие числа
• Текстовые рисунки
• Счеты
• История больших чисел
• Список тем о системе счисления

Цифровые обозначения в различных шрифтах [ править ]

• арабские цифры
• Армянские цифры
• Вавилонские цифры
• Балийские цифры
• Бенгальские цифры
• Бирманские цифры
• Китайские цифры
• Цифры дзонгха
• Восточные арабские цифры
• Греческие цифры
• Цифры гурмухи
• Еврейские цифры
• Цифры Хоккиена
• Индийские цифры
• Японские цифры
• Яванские цифры
• Кхмерские цифры
• Корейские цифры
• Лаосские цифры
• Цифры майя
• Монгольские цифры
• Quipu
• Стержневые цифры
• римские цифры
• Сингальские цифры
• Цифры Сучжоу
• Тамильские цифры
• Тайские цифры
• Вьетнамские цифры

Ссылки [ править ]