Статистическая дисперсия

Эта статья нуждается в дополнительных ссылках для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неисходный материал может быть оспорен и удален.
Найдите источники: «Статистическая дисперсия» — новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( декабрь 2010 г. ) ( узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

Пример выборок из двух популяций с одинаковым средним, но разной дисперсией. Синее население гораздо более рассредоточено, чем красное.

В статистике дисперсия (также называемая изменчивостью , разбросом или разбросом ) — это степень, в которой распределение растягивается или сжимается. ^[1] Типичными примерами показателей статистической дисперсии являются дисперсия , стандартное отклонение и межквартильный размах . Например, когда дисперсия данных в наборе велика, данные сильно разбросаны. С другой стороны, когда дисперсия мала, данные в наборе группируются.

Дисперсия противопоставляется местоположению или центральной тенденции , и вместе они являются наиболее часто используемыми свойствами распределений.

Меры

Мерой статистической дисперсии является неотрицательное действительное число , которое равно нулю, если все данные одинаковы, и увеличивается по мере того, как данные становятся более разнообразными.

Большинство показателей дисперсии имеют те же единицы измерения , что и измеряемая величина . Другими словами, если измерения в метрах или секундах, то же самое и с мерой дисперсии. Примеры мер рассеивания включают:

Стандартное отклонение
Межквартильный размах (IQR)
Диапазон
Средняя абсолютная разница (также известная как средняя абсолютная разница Джини)
Среднее абсолютное отклонение (MAD)
Среднее абсолютное отклонение (или просто среднее отклонение)
Стандартное отклонение расстояния

Они часто используются (вместе с факторами масштаба ) в качестве оценок параметров масштаба , в этом качестве они называются оценками масштаба. Надежные меры масштаба — это те, на которые не влияет небольшое количество выбросов , и они включают IQR и MAD.

Все вышеперечисленные меры статистической дисперсии обладают тем полезным свойством, что они инвариантны к местоположению и линейны по масштабу . Это означает, что если случайная величина X имеет дисперсию S _X , то линейное преобразование Y = aX + b для действительных a и b должно иметь дисперсию S _Y = | а | S _X , где | а | является абсолютным значением a , то есть игнорирует предшествующий отрицательный знак –.

Другие меры дисперсии безразмерны . Другими словами, у них нет единиц, даже если у самой переменной есть единицы. Это включает:

Коэффициент вариации
Квартильный коэффициент дисперсии
Относительная средняя разница , равная удвоенному коэффициенту Джини
Энтропия : в то время как энтропия дискретной переменной не зависит от местоположения и масштаба и, следовательно, не является мерой дисперсии в указанном выше смысле, энтропия непрерывной переменной является инвариантной по местоположению и аддитивной по масштабу: если Hz является энтропией непрерывная переменная z и z =ax+b , тогда Hz=Hx+log(a) .

Существуют и другие меры дисперсии:

Дисперсия (квадрат стандартного отклонения) - не зависит от местоположения, но не линейна по масштабу.
Отношение дисперсии к среднему - в основном используется для данных подсчета, когда используется термин «коэффициент дисперсии» и когда это отношение безразмерно , поскольку данные подсчета сами по себе безразмерны, а не иначе.

Некоторые меры дисперсии имеют специальные цели. Дисперсия Аллана может использоваться для приложений, где шум нарушает сходимость. ^[2] Дисперсия Адамара может использоваться для противодействия чувствительности к линейному дрейфу частоты. ^[3]

Для категориальных переменных менее распространено измерение дисперсии одним числом; см. качественное изменение . Одной из таких мер является дискретная энтропия .

Источники

В физических науках такая изменчивость может быть результатом случайных ошибок измерения: инструментальные измерения часто не являются абсолютно точными, т. е. воспроизводимыми , и существует дополнительная межэкспертная изменчивость в интерпретации и представлении результатов измерений. Можно предположить, что измеряемая величина стабильна и что различия между измерениями обусловлены ошибкой наблюдения . Система большого числа частиц характеризуется средними значениями относительно небольшого числа макроскопических величин, таких как температура, энергия и плотность. Стандартное отклонение — важная мера в теории флуктуаций, которая объясняет многие физические явления, в том числе почему небо голубое. ^[4]

В биологических науках измеряемая величина редко бывает неизменной и стабильной, а наблюдаемая вариация может быть, кроме того, присуща явлению: она может быть связана с межиндивидуальной изменчивостью , то есть отдельными членами популяции, отличающимися друг от друга. Также это может быть связано с внутрииндивидуальной изменчивостью , то есть одним и тем же испытуемым, различающимся тестами, взятыми в разное время или в других различных условиях. Такие типы изменчивости также наблюдаются в сфере промышленных товаров; даже здесь дотошный ученый находит вариации.

В экономике , финансах и других дисциплинах регрессионный анализ пытается объяснить дисперсию зависимой переменной , обычно измеряемую ее дисперсией, с использованием одной или нескольких независимых переменных , каждая из которых имеет положительную дисперсию. Объясняемая доля дисперсии называется коэффициентом детерминации .

Частичное упорядочение дисперсии

Разброс с сохранением среднего (MPS) — это переход от одного распределения вероятностей A к другому распределению вероятностей B, где B формируется путем расширения одной или нескольких частей функции плотности вероятности A при сохранении среднего значения (ожидаемого значения) неизменным. ^[5] Концепция разброса, сохраняющего среднее значение, обеспечивает частичное упорядочение вероятностных распределений в соответствии с их дисперсиями: из двух вероятностных распределений одно может быть оценено как имеющее большую дисперсию, чем другое, или же ни одно из них не может быть ранжировано как имеющее большую дисперсию. .

Смотрите также

Средний
Круговая дисперсия
Качественная вариация
Погрешность измерения
Надежные меры масштаба
Сводные статистические данные

использованная литература

^ Электронный справочник NIST / SEMATECH по статистическим методам. «1.3.6.4. Параметры местоположения и масштаба» . www.itl.nist.gov . Министерство торговли США.
^ "Allan Variance - Обзор Дэвида В. Аллана" . www.allanstime.com . Проверено 16 сентября 2021 г. .
Викискладе есть медиафайлы по теме Адамара . www.wriley.com . Проверено 16 сентября 2021 г. .
^ МакКуорри, Дональд А. (1976). Статистическая механика . Нью-Йорк: Харпер и Роу. ISBN 0-06-044366-9.
^ Ротшильд, Майкл; Стиглиц, Джозеф (1970). «Повышение риска I: определение». Журнал экономической теории . 2 (3): 225–243. doi : 10.1016/0022-0531(70)90038-4 .

[1] Электронный справочник NIST / SEMATECH по статистическим методам. «1.3.6.4. Параметры местоположения и масштаба» . www.itl.nist.gov . Министерство торговли США.

[2] "Allan Variance - Обзор Дэвида В. Аллана" . www.allanstime.com . Проверено 16 сентября 2021 г. .

[3] Викискладе есть медиафайлы по теме Адамара . www.wriley.com . Проверено 16 сентября 2021 г. .

[4] МакКуорри, Дональд А. (1976). Статистическая механика . Нью-Йорк: Харпер и Роу. ISBN 0-06-044366-9.

[5] Ротшильд, Майкл; Стиглиц, Джозеф (1970). «Повышение риска I: определение». Журнал экономической теории . 2 (3): 225–243. doi : 10.1016/0022-0531(70)90038-4 .

[1]