Вариационное неравенство

В математике , А вариационное неравенство является неравенство вовлекая функционал , который должен быть решен для всех возможных значений данного переменного , как правило , принадлежащих к выпуклому множеству . Математическая теория вариационных неравенств было первоначально разработана для борьбы с равновесными проблемами, именно в задаче Синьорини : в этой модельной задаче, функциональное участие было получена в качестве первой вариации привлеченной потенциальной энергии . Следовательно, он имеет вариационное происхождение., вспоминается по названию общей абстрактной проблемы. С тех пор применимость теории была расширена за счет включения проблем из экономики , финансов , оптимизации и теории игр .

История [ править ]

Первой проблемой, связанной с вариационным неравенством, была проблема Синьорини , поставленная Антонио Синьорини в 1959 году и решенная Гаэтано Фичера в 1963 году, согласно ссылкам ( Antman 1983 , стр. 282–284) и ( Fichera 1995 ): первые статьи теория была ( Фикера 1963 ) и ( Фикер 1964a ), ( Фикер 1964b ). Позже Гвидо Стампаккья доказал свое обобщение теоремы Лакса – Милграма в ( Stampacchia, 1964 ), чтобы изучить проблему регулярности для уравнений с частными производными ипридумал название «вариационное неравенство» для всех задач, связанных с неравенствами такого рода. Жорж Дюво призвал своих аспирантов изучать и расширять работу Фичеры после посещения конференции в Бриксене в 1965 году, на которой Фичера представил свое исследование проблемы Синьорини, как Antman 1983 , p. 283 сообщения: таким образом теория стала широко известна во Франции . Также в 1965 году Стампаккья и Жак-Луи Лионс расширили более ранние результаты ( Stampacchia 1964 ), объявив их в статье ( Lions & Stampacchia 1965 ): полные доказательства их результатов появились позже в статье (Lions & Stampacchia 1967 ).

Определение [ править ]

Следуя Антману (1983 , с. 283), формальное определение вариационного неравенства следующее.

Определение 1. Учитывая банахова пространство , подмножество из , и функционала от к сопряженному пространству пространства , вариационная задача неравенства является проблемой решения для переменного , принадлежащих следующего неравенства :${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$${\ displaystyle F \ двоеточие {\ boldsymbol {K}} \ to {\ boldsymbol {E}} ^ {\ ast}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}} ^ {\ ast}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$

${\ displaystyle \ langle F (x), yx \ rangle \ geq 0 \ qquad \ forall y \ in {\ boldsymbol {K}}}$

где - спаривание двойственности .${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon {\boldsymbol {E}}^{\ast }\times {\boldsymbol {E}}\to \mathbb {R} }$

В общем, вариационное неравенство может быть сформулированы на любом конечном - или бесконечном - мерном банаховом пространстве . Три очевидных шага в изучении проблемы:

1. Докажите существование решения: этот шаг подразумевает математическую правильность проблемы, показывая, что есть, по крайней мере, решение.
2. Докажите уникальность данного решения: этот шаг подразумевает физическую правильность проблемы, показывая, что решение может быть использовано для представления физического явления. Это особенно важный шаг, поскольку большинство задач, моделируемых вариационными неравенствами, имеют физическое происхождение.
3. Найти решение.

Примеры [ править ]

Задача нахождения минимального значения вещественной функции действительной переменной [ править ]

Это стандартный пример проблемы, сообщает Antman (1983 , стр. 283): рассмотрим задачу нахождения минимального значения в виде дифференцируемой функции по отрезку . Позвольте быть точкой, в которой происходит минимум. Возможны три случая:${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle x^{\ast }}$${\displaystyle I}$

1. если тогда${\displaystyle a<x^{\ast }<b,}$${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })=0;}$
2. если тогда${\displaystyle x^{\ast }=a,}$${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })\geq 0;}$
3. если тогда${\displaystyle x^{\ast }=b,}$${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })\leq 0.}$

Эти необходимые условия можно резюмировать как задачу нахождения таких, что${\displaystyle x^{\ast }\in I}$

${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })(y-x^{\ast })\geq 0\quad }$ для ${\displaystyle \quad \forall y\in I.}$

Абсолютный минимум должны быть найдены между решениями (если их больше одного) предыдущего неравенства : Заметим , что решение является действительным числом , следовательно , это конечное мерное вариационное неравенство.

Общее конечномерное вариационное неравенство [ править ]

Формулировка общей задачи в состоит в следующем: дано множество из и отображения , то конечное - мерное задача вариационного неравенства , связанные с состоит в нахождении - мерный вектор , принадлежащий таким образом, что${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F\colon K\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K}$ n {\displaystyle n} ${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \langle F(x),y-x\rangle \geq 0\qquad \forall y\in K}$

где - стандартный скалярный продукт в векторном пространстве .${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Вариационное неравенство для проблемы Синьорини [ править ]

В историческом обзоре ( Фикера 1995 ), Гаэтан Фикер описывает генезис его решения задачи Синьорини : проблема состоит в нахождении упругого равновесия конфигурации в качестве анизотропного неоднородного упругого тела , что лежит в подмножестве из трех- мерного евклидова пространство , граница которого лежит на твердой поверхности без трения и подчиняется только ее массовым силам . Решение проблемы существует и единственно (при точных предположениях) в${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\left(u_{1}({\boldsymbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x}}),u_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \partial A}$ ${\displaystyle u}$набор из допустимых перемещений , то есть множество векторов смещения , удовлетворяющее систему неоднозначных граничных условий , если и только если${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})-F({\boldsymbol {v}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

где и - следующие функционалы , записанные с использованием обозначений Эйнштейна${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})}$${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})}$

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\,\mathrm {d} x}$,    ,    ${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\,\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\,\mathrm {d} \sigma }$${\displaystyle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

где, для всех , ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in A}$

• ${\displaystyle \Sigma }$является контактной поверхностью (или в более общем контактный набор ),
• ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=\left(f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x}}),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$это телесная сила, приложенная к телу,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=\left(g_{1}({\boldsymbol {x}}),g_{2}({\boldsymbol {x}}),g_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$- поверхностная сила, приложенная к ,${\displaystyle \partial A\!\setminus \!\Sigma }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)}$- тензор бесконечно малых деформаций ,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left(\sigma _{ik}\right)}$- тензор напряжений Коши , определяемый как

${\displaystyle \sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad \forall i,k=1,2,3}$

где это упругая потенциальная энергия и является тензором упругости .${\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\right)}$

См. Также [ править ]

• Теория дополнительности
• Дифференциальное вариационное неравенство
• Расширенное математическое программирование для задач равновесия
• Математическое программирование с равновесными ограничениями
• Проблема с препятствием
• Спроектированная динамическая система
• Проблема Синьорини
• Односторонний контакт

Ссылки [ править ]

Исторические ссылки [ править ]

• Antman, Стюарт (1983), "Влияние эластичности в анализе: современные разработки", Бюллетень Американского математического общества , 9 (3): 267-291, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1983-15185-6 , MR  0714990 , Zbl  0533,73001. Исторический документ о плодотворном взаимодействии теории упругости и математического анализ : создании теории вариационных неравенств по Гаэтано Фикерам описан в § 5, страницы 282-284.
• Duvaut, Georges (1971), "Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus" , Actes du Congrès international des mathématiciens, 1970 , ICM Proceedings , Mathématiques appliquées (E), Histoire et Enseignement (F) - Volume 3, Paris : Gauthier et Enseignement (F) - Volume 3, Paris : , pp. 71–78, заархивировано из оригинального (PDF) 25 июля 2015 г. , получено 25 июля 2015 г.. Краткий исследовательский обзор, описывающий область вариационных неравенств, а именно подполу задач механики сплошных сред с односторонними ограничениями.
• Фичера, Гаэтано (1995), "La nascita della teoria delle Disquazioni variazionali ricordata dopo trent'anni", Incontro Scientifico italo-spagnolo. Roma, 21 октября 1993 г. , Atti dei Convegni Lincei (на итальянском языке), 114 , Roma : Accademia Nazionale dei Lincei , стр. 47–53. Рождение теории вариационных неравенств, о котором вспоминают тридцать лет спустя (английский перевод названия), представляет собой историческую статью, описывающую начало теории вариационных неравенств с точки зрения ее основателя.

Научные труды [ править ]

• Факчини, Франсиско; Панг, Чон-Ши (2003), Конечномерные вариационные неравенства и проблемы дополнительности, Vol. 1 , Springer Series in Operations Research, Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN 0-387-95580-1, Zbl  1062,90001
• Факчини, Франсиско; Панг, Чон-Ши (2003), Конечномерные вариационные неравенства и проблемы дополнительности, Vol. 2 , Springer Series in Operations Research, Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN 0-387-95581-X, Zbl  1062,90001
• Fichera, Gaetano (1963), «Sul проблема эластостатика Синьорини с неоднозначными условиями», Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (на итальянском языке), 34 (2): 138–142 , Zbl  0128,18305. « Об упругостатической проблеме Синьорини с неоднозначными граничными условиями » (английский перевод названия) - это небольшая исследовательская заметка, объявляющая и описывающая решение проблемы Синьорини.
• Фикера, Гаэтано (1964а), "Problemi elastostatici кон Vincoli unilaterali: IL проблема- ди Синьорини кон ambigue condizioni аль Contorno", Memorie делла Accademia Nazionale дей Линчеи, Classe ди Scienze Fisiche, Matematiche е Naturali , 8 (на итальянском), 7 (2 ): 91–140, Zbl  0146.21204. « Задачи упругости с односторонними ограничениями: задача Синьорини с неоднозначными граничными условиями » (английский перевод названия) - первая статья, в которой доказана теорема существования и единственности для задачи Синьорини.
• Фичера, Гаэтано (1964b), «Задачи упругости с односторонними ограничениями: задача Синьорини с неоднозначными граничными условиями», Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963 , Рим : Edizioni Cremonese, стр. 613–679. Английский перевод ( Fichera 1964a ).
• Гловинский, Роланд ; Львов, Жак-Луи ; Тремольер, Раймонд (1981), Численный анализ вариационных неравенств. Перевод с французского , Исследования по математике и ее приложениям, 8 , Амстердам - Нью-Йорк - Оксфорд : Северная Голландия , стр. Xxix + 776, ISBN 0-444-86199-8, Руководство по ремонту  0635927 , Zbl  0463.65046
• Киндерлерер, Дэвид ; Stampacchia, Guido (1980), Введение в вариационные неравенства и их приложения , Чистая и прикладная математика, 88 , Бостон - Лондон - Нью-Йорк - Сан-Диего - Сидней - Токио - Торонто : Academic Press , ISBN 0-89871-466-4, Zbl  0457,35001.
• Львов, Жак-Луи ; Stampacchia, Guido (1965), "Inéquationschanges non-coercives" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , 261 : 25–27, Zbl  0136.11906, доступный на Gallica . Анонсы результатов статьи ( Lions & Stampacchia 1967 ).
• Львов, Жак-Луи ; Stampacchia, Guido (1967), «Вариационные неравенства» , Сообщения по чистой и прикладной математике , 20 (3): 493–519, doi : 10.1002 / cpa.3160200302 , Zbl  0152.34601 , архивировано с оригинала 05.01.2013 Внешняя ссылка в |journal=( помощь ) . Важная статья, описывающая абстрактный подход авторов к теории вариационных неравенств.
• Рубичек, Томаш (2013), Нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными с приложениями , ISNM. International Series of Numerical Mathematics, 153 (2-е изд.), Базель – Бостон – Берлин: Birkhäuser Verlag , стр. Xx + 476, DOI : 10.1007 / 978-3-0348-0513-1 , ISBN 978-3-0348-0512-4, Руководство по ремонту  3014456 , Zbl  1270.35005.
• Stampacchia, Guido (1964), "Formes bilineaires coercitives sur les ensembles выпуклые" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , 258 : 4413–4416, Zbl  0124.06401, доступный на Gallica . Статья, содержащая обобщение Стампаккии теоремы Лакса – Милграма .

Внешние ссылки [ править ]

• Панагиотопулос, П.Д. (2001) [1994], "Вариационные неравенства" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Алессио Фигалли, О глобальных однородных решениях проблемы Синьорини ,