Вибрации пластин являются частным случаем более общей задачи механических колебаний . Уравнения, описывающие движение пластин, проще, чем уравнения для обычных трехмерных объектов, потому что один из размеров пластины намного меньше двух других. Это говорит о том, что теория двумерных пластин даст отличное приближение к реальному трехмерному движению пластинчатого объекта, и это действительно так. [1]
Режим вибрации зажатой квадратной пластины
Существует несколько теорий, которые были разработаны для описания движения плит. Чаще всего используются теория Кирхгофа-Лява [2] и теория Уфлянд-Миндлина. [3] [4] Последняя теория подробно обсуждается Элишаковым . [5] Решения основных уравнений, предсказываемых этими теориями, могут дать нам представление о поведении пластинчатых объектов как в свободных, так и в вынужденных условиях. Это включает в себя распространение волн и изучение стоячих волн и мод колебаний в пластинах. Тема колебаний пластин рассматривается в книгах Лейссы, [6] [7] Гонткевича, [8] Рао, [9]Сёдел, [10] Ю, [11] Горман [12] [13] и Рао. [14]
Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа-Лява:
где - смещения средней поверхности пластины в плоскости, - поперечное (внеплоскостное) смещение средней поверхности пластины, - приложенная поперечная нагрузка, а результирующие силы и моменты определяются как
Обратите внимание, что толщина пластины составляет и что результирующие определяются как средневзвешенные значения напряжений в плоскости . Производные в основных уравнениях определяются как
где латинские индексы идут от 1 до 3, а греческие - от 1 до 2. Предполагается суммирование по повторяющимся индексам. В координаты вне плоскости, а координаты а также находятся в самолете. Для пластины равномерной толщины и однородная массовая плотность
Для изотропной и однородной пластины зависимости напряжения от деформации имеют вид
где деформации в плоскости. Соотношения деформации-смещения для пластин Кирхгофа-Лява имеют вид
Следовательно, результирующие моменты, соответствующие этим напряжениям, равны
Если игнорировать смещения в плоскости , основные уравнения сводятся к
- где жесткость пластины на изгиб. Для однородной плиты толщиной ,
Вышеупомянутое уравнение также можно записать в альтернативной записи:
В механике твердого тела пластина часто моделируется как двухмерное упругое тело, потенциальная энергия которого зависит от того, как он изгибается из плоской конфигурации, а не от того, как он растягивается (что, напротив, имеет место для мембраны, такой как пластина барабана). ). В таких ситуациях вибрирующую пластину можно смоделировать аналогично вибрирующему барабану . Тем не менее, в результате чего парциальное дифференциальное уравнение для вертикального перемещения ш пластины от ее положения равновесия четвертого порядка, включая квадрат лапласиана из ш , а не второго порядка, а его качественное поведение принципиально отличается от круглой мембраны барабан.
Для свободных колебаний внешняя сила q равна нулю, и основное уравнение изотропной пластины сводится к
или же
Это соотношение может быть получено альтернативным способом, учитывая кривизну пластины. [15] Плотность потенциальной энергии пластины зависит от того, как пластина деформируется, а также от средней кривизны и гауссовой кривизны пластины. Для малых деформаций средняя кривизна выражается через w , вертикальное смещение пластины из кинетического равновесия, как Δ w , лапласиан w , а гауссова кривизна - это оператор Монжа – Ампера w xx w yy - w2
ху. Таким образом, полная потенциальная энергия пластины Ω имеет вид
кроме общей несущественной константы нормализации. Здесь μ - постоянная величина, зависящая от свойств материала.
Кинетическая энергия дается интегралом вида
Принцип Гамильтона утверждает , что ш является стационарной точкой относительно вариаций полной энергии Т + U . Получающееся уравнение в частных производных имеет вид
Круглые тарелки
Для свободно колеблющихся круглых пластин, , а лапласиан в цилиндрических координатах имеет вид
Следовательно, определяющее уравнение для свободных колебаний круглой пластины толщиной является
Расширенный,
Для решения этого уравнения мы используем идею разделения переменных и предполагаем решение вида
Подставляя это предполагаемое решение в основное уравнение, мы получаем
где является константой и . Решение правого уравнения есть
Левое уравнение можно записать как
где . Общее решение этой проблемы собственных значений , подходящее для пластин, имеет вид
где - функция Бесселя первого рода порядка 0 и- модифицированная функция Бесселя первого рода порядка 0 . Константы а также определяются из граничных условий. Для пластины радиуса с зажатой окружностью граничные условия:
Из этих граничных условий находим, что
Мы можем решить это уравнение для (а корней бесконечно много) и отсюда найти модальные частоты . Мы также можем выразить смещение в виде
Для заданной частоты первый член внутри суммы в приведенном выше уравнении дает форму моды. Мы можем найти значение используя соответствующее граничное условие при а коэффициенты а также из начальных условий за счет ортогональности компонент Фурье.
Прямоугольные тарелки
Режим вибрации прямоугольной пластины.
Рассмотрим прямоугольную пластину, имеющую размеры в -плоскость и толщина в -направление. Мы стремимся найти режимы свободных колебаний пластины.
Предположим, что поле смещения имеет вид
Потом,
а также
Включение их в основное уравнение дает
где является константой, поскольку левая часть не зависит от а правая часть не зависит от . Тогда с правой стороны мы имеем
С левой стороны,
где
Поскольку приведенное выше уравнение является бигармонической проблемой собственных значений, мы ищем решения разложения Фурье вида
Мы можем проверить и увидеть, что это решение удовлетворяет граничным условиям для свободно колеблющейся прямоугольной пластины с свободно опертыми краями:
Подставляя решение в бигармоническое уравнение, мы получаем
Сравнение с предыдущим выражением для указывает на то, что у нас может быть бесконечное количество решений с
Следовательно, общее решение уравнения пластины есть
Чтобы найти значения а также мы используем начальные условия и ортогональность компонент Фурье. Например, если
мы получили,