Вязкость раствора

В математике , то вязкость раствор понятие было введено в начале 1980 - х лет Лионс и Michael G. Crandall как обобщение классической концепции , что подразумевается под «раствором» к дифференциальному уравнению в частных (PDE). Было обнаружено, что вязкостное решение является естественной концепцией решения для использования во многих приложениях УЧП, включая, например, уравнения первого порядка, возникающие при динамическом программировании ( уравнение Гамильтона – Якоби – Беллмана ), дифференциальные игры ( уравнение Гамильтона – Якоби – Айзекса) уравнение ) или задачи эволюции фронта, ^[1] а также уравнения второго порядка, такие как те, которые возникают в стохастическом оптимальном управлении или стохастических дифференциальных играх.

Классическая концепция заключалась в том, что PDE

${\ Displaystyle F (х, и, Du, D ^ {2} и) = 0}$

над областью имеет решение , если мы сможем найти функцию у ( х ) непрерывная и дифференцируемой по всей области таким образом, что , , , удовлетворяет это уравнение в каждой точке.${\ displaystyle x \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle Du}$${\ displaystyle D ^ {2} u}$

Если скалярное уравнение является вырожденным эллиптическим (определенным ниже), можно определить тип слабого решения, называемого вязкостным решением . Согласно концепции вязкостного раствора, u не обязательно должна быть везде дифференцируемой. Могут быть точки, в которых или не существует, и все же u удовлетворяет уравнению в подходящем обобщенном смысле. Определение допускает только определенный вид особенностей, так что существование, единственность и устойчивость при однородных пределах справедливы для большого класса уравнений.${\ displaystyle Du}$${\ displaystyle D ^ {2} u}$

Определение [ править ]

Есть несколько эквивалентных способов сформулировать определение вязкостных растворов. См., Например, раздел II.4 книги Флеминга и Сонера ^[2] или определение с использованием полужестких двигателей в Руководстве пользователя. ^[3]

Вырожденный эллиптический

Уравнение в области определяются как вырожденная эллиптическим , если для любых двух симметричных матриц , и таким образом, что является положительно определенным , и любыми значениями , и , имеет место неравенства . Так , например, является вырожденным эллиптическим , так как в этом случае , и следа от является суммой его собственных значений. Любое вещественное уравнение первого порядка является вырожденным эллиптическим.${\ Displaystyle F (х, и, Du, D ^ {2} и) = 0}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle YX}$${\ displaystyle x \ in \ Omega}$${\ Displaystyle и \ в \ mathbb {R}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle F (x, u, p, X) \ geq F (x, u, p, Y)}$${\ displaystyle - \ Delta u = 0}$${\ displaystyle F (x, u, p, X) = - {\ text {trace}} (X)}$${\ displaystyle X}$

Subsolution

Полунепрерывна сверху функция в определена , чтобы быть субрешением вырожденного эллиптического уравнения в смысле вязкости , если для любой точки и любой функции , такие , что и в окрестностях частей , мы имеем .${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ Omega}$${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$${\displaystyle \phi \geq u}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leq 0}$

Сверхрешение

Полунепрерывна снизу функция в определена , чтобы быть суперрешением вырожденного эллиптического уравнения в смысле вязкости , если для любой точки и любой функции , такие , что и в окрестностях частей , мы имеем .${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$${\displaystyle \phi \leq u}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geq 0}$

Вязкость раствора

Непрерывная функция U представляет собой вязкость раствора от PDE , если она является как суперрешение и субрешение.

Пример [ править ]

Рассмотрим краевую задачу , или , с граничными условиями . Функция представляет собой решение с уникальной вязкостью. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что граничные условия выполнены и четко определены внутри, за исключением точки . Таким образом, осталось показать, что условия субрешения и суперрешения выполняются при .${\displaystyle |u'(x)|=1}$${\displaystyle F(u')=|u'|-1=0}$${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle u(-1)=u(1)=0}$${\displaystyle u(x)=1-|x|}$${\displaystyle |u'(x)|=1}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$

Во-первых, предположим, что это любая функция, дифференцируемая в точках с и рядом . Из этих предположений следует, что . В случае положительного результата это неравенство означает , что для . С другой стороны, у нас это есть . Поскольку является дифференцируемым, левый и правый пределы согласуются и равны , и поэтому мы заключаем, что , т . Е., . Таким образом, это субрешение. Более того, тот факт, что это суперрешение, выполняется вакуумно, поскольку нет функции, дифференцируемой в точках с и рядом . Это означает, что это вязкий раствор.${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \phi (0)=u(0)=1}$${\displaystyle \phi (x)\geq u(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \phi (x)-\phi (0)\geq -|x|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\geq -1}$${\displaystyle |x|/x=sgn(x)=1}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\leq 1}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi '(0)}$${\displaystyle |\phi '(0)|\leq 1}$${\displaystyle F(\phi ')\leq 0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \phi (0)=u(0)=1}$${\displaystyle \phi (x)\leq u(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle u}$

Обсуждение [ править ]

Семейство решений, приближающихся к .${\displaystyle u_{\epsilon }}$${\displaystyle u(x)=1-|x|}$

Предыдущая краевая задача представляет собой уравнение эйконала в одном пространственном измерении с , где решение, как известно, является функцией расстояния со знаком до границы области. Также обратите внимание на важность знака в предыдущем примере . В частности, вязкость решения PDE с такими же граничными условиями составляет . Это можно объяснить, наблюдая, что решение является предельным решением проблемы исчезающей вязкости при стремлении к нулю, в то время как решение является предельным решением проблемы исчезающей вязкости . ^[4] Можно легко подтвердить, что решает PDE${\displaystyle f=1}$${\displaystyle F}$${\displaystyle -F=0}$${\displaystyle u(x)=|x|-1}$${\displaystyle u(x)=1-|x|}$${\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\epsilon u''}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle u(x)=|x|-1}$${\displaystyle -F(u')=1-[u']^{2}=\epsilon u''}$${\displaystyle u_{\epsilon }(x)=\epsilon [\ln(\cosh(1/\epsilon ))-\ln(\cosh(x/\epsilon ))}$${\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\epsilon u''}$для каждого эпсилона. Далее семейство решений сходится к решению, когда оно обращается в нуль (см. Рисунок).${\displaystyle u_{\epsilon }}$${\displaystyle u=1-|x|}$${\displaystyle \epsilon }$

Основные свойства [ править ]

Три основных свойства вязкостных растворов - это существование , уникальность и стабильность .

• Уникальность решений требует некоторых дополнительных структурных допущений относительно уравнения. Однако это можно показать для очень большого класса вырожденных эллиптических уравнений. ^[3] Это прямое следствие принципа сравнения . Вот несколько простых примеров, в которых соблюдается принцип сравнения.

1. ${\displaystyle u+H(x,\nabla u)=0}$где H равномерно непрерывна по x .
2. (Равномерно эллиптический случай) , так что это Липшица по всем переменным и для каждого и , для некоторых .${\displaystyle F(D^{2}u,Du,u)=0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle r\leq s}$${\displaystyle X\geq Y}$${\displaystyle F(Y,p,s)\geq F(X,p,r)+\lambda ||X-Y||}$${\displaystyle \lambda >0}$

• Существование решений имеет место во всех случаях , когда принцип сравнения трюмов и граничные условия могут быть осуществлены в некотором роде (через барьерные функции в случае граничного условия Дирихля ). Для уравнений первого порядка его можно получить с помощью метода исчезающей вязкости ^[5] или для большинства уравнений с помощью метода Перрона. ^{[6] [7]} Существует обобщенное понятие граничного условия в смысле вязкости . Решение краевой задачи с обобщенными граничными условиями разрешимо, если выполняется принцип сравнения. ^[3]
• Стабильность растворов в справедливо следующим образом : локально равномерный предел последовательности решений (или субрешений или суперрешений) является решением (или субрешение или суперрешение). В более общем смысле, понятие суб- и сверхрешений вязкости также сохраняется за счет полуслабых пределов. ^[3]${\displaystyle L^{\infty }}$

История [ править ]

Термин « вязкостные решения» впервые появился в работе Майкла Г. Крандалла и Пьера-Луи Лионса в 1983 г. относительно уравнения Гамильтона – Якоби. ^[5] Название оправдано тем, что существование решений было получено методом исчезающей вязкости . Фактически определение решения было дано ранее Лоуренсом К. Эвансом в 1980 году. ^[8] Впоследствии определение и свойства вязкостных решений для уравнения Гамильтона – Якоби были уточнены в совместной работе Крэндалла, Эванса и Лайонса в 1984 году ^{[8]. 9]}

В течение нескольких лет работа над вязкостными решениями была сосредоточена на уравнениях первого порядка, поскольку не было известно, будут ли эллиптические уравнения второго порядка иметь уникальное вязкостное решение, за исключением очень частных случаев. Прорывным результатом стал метод, введенный Робертом Йенсеном в 1988 году для доказательства принципа сравнения с использованием регуляризованной аппроксимации решения, которое имеет вторую производную почти всюду (в современных версиях доказательства это достигается с помощью суп-сверток и теоремы Александрова ). . ^[10]

В последующие годы концепция вязкого раствора становится все более распространенной при анализе вырожденных эллиптических PDE. Основываясь на их свойствах устойчивости, Барлес и Суганидис получили очень простое и общее доказательство сходимости разностных схем. ^[11] Дальнейшие свойства регулярности вязкостных растворов были получены, особенно в равномерно эллиптическом случае с работой Луиса Каффарелли . ^[12] Вязкостные решения стали центральной концепцией в изучении эллиптических уравнений в частных производных. В частности, решения вязкости существенны при изучении лапласиана бесконечности. ^[13]

В современном подходе существование решений чаще всего достигается с помощью метода Перрона. ^[3] Метод исчезающей вязкости вообще не применим для уравнений второго порядка, поскольку добавление искусственной вязкости не гарантирует существования классического решения. Более того, определение вязкости растворов обычно не связано с физической вязкостью. Тем не менее, хотя теория вязких растворов иногда считается не связанной с вязкими жидкостями , безвихревые жидкости действительно могут быть описаны уравнением Гамильтона-Якоби. ^[14] В этом случае вязкость соответствует объемной вязкости безвихревой несжимаемой жидкости. Другие предложенные имена былиРешения Крэндалла – Лайонса , в честь их пионеров, -слабые решения , ссылаясь на их свойства устойчивости, или решения сравнения , ссылаясь на их наиболее характерное свойство.${\displaystyle L^{\infty }}$

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Надирашвили Н. Полностью нелинейные эллиптические уравнения.