Уравнение Маккендрика – фон Ферстера - это линейное уравнение в частных производных первого порядка, которое встречается в нескольких областях математической биологии, например, в демографии и моделировании пролиферации клеток ; он применяется, когда возрастная структура является важной характеристикой математической модели . [1] Впервые он был представлен Андерсоном Греем МакКендриком в 1926 году как детерминированный предел решетчатых моделей, применяемых в эпидемиологии, а затем независимо в 1959 году профессором биофизики Хайнцем фон Ферстером для описания клеточных циклов.
Математическая формула
Математическая формула может быть получена из первых принципов. Он гласит:
где плотность населения n ( t , a ) является функцией возраста a и времени t , а m ( a ) - функцией смерти.
Когда m ( a ) = 0, мы имеем: [1]
Это связано с тем, что население стареет, и это единственный факт, который влияет на изменение плотности населения; отрицательный знак показывает, что время течет только в одном направлении, что нет рождения и население скоро вымрет.
Вывод
Предположим, что для изменения времени и изменение возраста , плотность населения составляет:
Аналитическое решение
Уравнение фон Ферстера - это уравнение неразрывности ; ее можно решить с помощью метода характеристик . [1] Другой способ - решение по подобию ; и третий - численный подход, такой как конечные разности .
Чтобы получить решение, необходимо добавить следующие граничные условия:
в котором говорится, что первоначальные рождения должны быть сохранены (в противном случае см. уравнение Шарпа – Лотки – Маккендрика), и что:
в котором говорится, что необходимо указать начальную популяцию; тогда он будет развиваться в соответствии с уравнением в частных производных.
Подобные уравнения
У Себастьяна Аница, Виорела Арнауту, Винченцо Капассо. Введение в проблемы оптимального управления в естественных науках и экономике (Birkhäuser. 2011), это уравнение появляется как частный случай уравнения Шарпа – Лотки – Маккендрика ; в последнем есть приток, и математика основана на производной по направлению . Уравнение Маккендрика широко используется в контексте клеточной биологии как хороший подход к моделированию клеточного цикла эукариот. [2]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b c MURRAY, JD Математическая биология: введение. Третье издание. Междисциплинарная прикладная математика. Математическая биология. Весна: 2002 г.
- ^ Gavagnin, Энрико (14 октября 018). «Скорость вторжения моделей миграции клеток с реалистичным распределением времени клеточного цикла». Журнал теоретической биологии . 79 (1): 91–99. arXiv : 1806.03140 . DOI : 10.1016 / j.jtbi.2018.09.010 . PMID 30219568 .