Конкурентное равновесие

Конкурентное равновесие (также называемое вальрасовским равновесием ) - это концепция экономического равновесия, введенная Кеннетом Эрроу и Жераром Дебре в 1951 году ^[1], подходящая для анализа товарных рынков с гибкими ценами и множеством трейдеров и служащая эталоном эффективности в экономической сфере. анализ. Он в решающей степени полагается на предположение о конкурентной среде.где каждый трейдер выбирает количество, которое настолько мало по сравнению с общим объемом торгов на рынке, что их отдельные транзакции не влияют на цены. Конкурентные рынки - идеальный стандарт для оценки других рыночных структур.

Определения [ править ]

Конкурентное равновесие (CE) состоит из двух элементов:

• Ценовая функция . Он принимает в качестве аргумента вектор, представляющий набор товаров, и возвращает положительное действительное число, которое представляет его цену. Обычно функция цены линейна - она ​​представлена ​​в виде вектора цен, цены на каждый вид товара.${\ displaystyle P}$
• Матрица распределения . Для каждого , вектор товаров , выделенных агент .${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle я \ в 1, \ точки, п}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle i}$

Эти элементы должны удовлетворять следующему требованию:

• Удовлетворение ( Свобода от зависти ): каждый агент слабо предпочитает свой пакет любому другому доступному пакету:

${\ displaystyle \ forall i \ in 1, \ dots, n}$, если тогда .${\displaystyle P(Y)\leq P(X_{i})}$${\displaystyle Y\preceq _{i}X_{i}}$

Часто, есть исходная матрица облечения : для каждого , является начальным наделением агента . Тогда CE должен удовлетворять некоторым дополнительным требованиям:${\displaystyle E}$${\displaystyle i\in 1,\dots ,n}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle i}$

• Очистка рынка : спрос равен предложению, предметы не создаются и не уничтожаются:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}=\sum _{i=1}^{n}E_{i}}$.

• Индивидуальная рациональность : все агенты выигрывают после сделки, чем до сделки:

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n:X_{i}\succeq _{i}E_{i}}$.

• Баланс бюджета : все агенты могут позволить себе выделение средств с учетом их обеспеченности:

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n:P(X_{i})\leq P(E_{i})}$.

Альтернативное определение [ править ]

Альтернативное определение ^[2] основывается на концепции набора спроса . Учитывая функцию цены P и агент с функцией полезности U, определенный набор товаров x находится в наборе спроса агента, если: для каждого другого набора y. Конкурентное равновесие является функцией цены P и матрица распределения X такие , что:${\displaystyle U(x)-P(x)\geq U(y)-P(y)}$

• Пакет, назначенный X каждому агенту, находится в наборе спроса этого агента на вектор цен P;
• Каждый товар с положительной ценой распределяется полностью (т.е. каждый нераспределенный товар имеет цену 0).

Приблизительное равновесие [ править ]

В некоторых случаях полезно определить равновесие, в котором условие рациональности ослаблено. ^[3] Учитывая положительное значение (измеренное в денежных единицах, например, долларах), вектор цен и набор , определите как вектор цен, в котором все товары в x имеют ту же цену, что и в P, и все товары не в x стоят больше, чем их цена в P.${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$${\displaystyle \epsilon }$

В -competitive-равновесии , то расслоение х , выделенные агентом должен быть востребован-набор , который агента для модифицированного вектора цен .${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$

Это приближение реалистично, когда есть комиссии на покупку / продажу. Например, предположим, что агент должен заплатить доллары за покупку единицы товара в дополнение к цене этого товара. Этот агент будет сохранять свой текущий пакет до тех пор, пока он находится в наборе спроса для вектора цен . Это делает равновесие более устойчивым.${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$

Примеры [ править ]

Делимые ресурсы [ править ]

Следующие ниже примеры включают экономику обмена с двумя агентами, Джейн и Кельвином, двумя товарами, например бананами (x) и яблоками (y), и без денег.

1. Графический пример . Предположим, что начальное распределение находится в точке X, где у Джейн больше яблок, чем у Кельвина, а у Кельвина больше бананов, чем у Джейн.

Глядя на их кривые безразличия Джейн и Кельвина, мы можем видеть, что это не равновесие - оба агента готовы торговать друг с другом по ценам и . После торговли Джейн и Кельвин переходят к кривой безразличия, которая показывает более высокий уровень полезности, и . Новые кривые безразличия пересекаются в точке E. Наклон касательной к обеим кривым равен - .${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle P_{x}}$${\displaystyle P_{y}}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle P_{x}/P_{y}}$

И ; . Предельная норма замещения (MRS) Джейн равна доле Кельвина. Таким образом, общество двух индивидов достигает эффективности по Парето , когда невозможно улучшить положение Джейн или Кельвина, не сделав хуже других.${\displaystyle MRS_{Jane}=P_{x}/P_{y}}$${\displaystyle MRS_{Kelvin}=P_{x}/P_{y}}$

2. Арифметический пример: ^{[4] : 322–323} предположим, что у обоих агентов есть утилиты Кобба – Дугласа :

${\displaystyle u_{J}(x,y)=x^{a}y^{1-a}}$

${\displaystyle u_{K}(x,y)=x^{b}y^{1-b}}$

где - константы.${\displaystyle a,b}$

Предположим, начальный запас есть .${\displaystyle E=[(1,0),(0,1)]}$

Функция спроса Джейн на x:

${\displaystyle x_{J}(p_{x},p_{y},I_{J})={\frac {a\cdot I_{J}}{p_{x}}}={\frac {a\cdot (1\cdot p_{x})}{p_{x}}}=a}$

Функция спроса Кельвина для x:

${\displaystyle x_{K}(p_{x},p_{y},I_{K})={\frac {b\cdot I_{K}}{p_{x}}}={\frac {b\cdot p_{y}}{p_{x}}}}$

Условие рыночной чистоты для x:

${\displaystyle x_{J}+x_{K}=E_{J,x}+E_{K,x}=1}$

Это уравнение дает соотношение равновесных цен:

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}={\frac {1-a}{b}}}$

Мы могли бы сделать аналогичный расчет для y, но в этом нет необходимости, поскольку закон Вальраса гарантирует, что результаты будут такими же. Обратите внимание, что в CE определяются только относительные цены; мы можем нормализовать цены, например, потребовав этого . Тогда получаем . Но подойдет и любая другая нормализация.${\displaystyle p_{1}+p_{2}=1}$${\displaystyle p_{1}={\frac {b}{1+b-a}},p_{1}={\frac {1-a}{1+b-a}}}$

3. Пример несуществования. Предположим, что служебные программы агентов:

${\displaystyle u_{J}(x,y)=u_{K}(x,y)=\max(x,y)}$

и начальный запас равен [(2,1), (2,1)]. В CE каждый агент должен иметь либо только x, либо только y (другой продукт ничего не вносит в полезность, поэтому агент хотел бы его обменять). Следовательно, единственно возможные распределения CE - это [(4,0), (0,2)] и [(0,2), (4,0)]. Поскольку агенты имеют одинаковый доход, обязательно . Но тогда агент, владеющий 2 единицами y, захочет обменять их на 4 единицы x.${\displaystyle p_{y}=2p_{x}}$

4. Примеры существования и несуществования линейных утилит см. В разделе « Линейные утилиты # Примеры» .

Неделимые предметы [ править ]

Когда в экономике есть неделимые предметы, принято считать, что есть также деньги, которые делятся. У агентов есть квазилинейные функции полезности : их полезность - это сумма денег, которую они имеют, плюс полезность от связки предметов, которые они хранят.

A. Отдельный элемент: у Алисы есть машина, которую она оценивает как 10. У Боба нет машины, и он оценивает машину Алисы как 20. Возможный CE: цена машины составляет 15, Боб получает машину и платит 15 Алисе. . Это равновесие, потому что рынок очищен, и оба агента предпочитают свой последний пакет исходному пакету. Фактически, каждая цена от 10 до 20 будет ценой CE с одинаковым распределением. Такая же ситуация имеет место, когда автомобиль изначально не принадлежит Алисе, а скорее находится на аукционе, на котором Алиса и Боб являются покупателями: автомобиль переходит к Бобу, и его цена будет где-то между 10 и 20.

С другой стороны, любая цена ниже 10 не является равновесной ценой, потому что существует избыточный спрос (и Алиса, и Боб хотят машину по этой цене), и любая цена выше 20 не является равновесной ценой, потому что существует избыточное предложение ( ни Алиса, ни Боб не хотят машину по такой цене).

Этот пример - частный случай двойного аукциона .

B. Заменители: автомобиль и лошадь продаются на аукционе. Алиса заботится только о транспорте, поэтому для нее это идеальные замены: она получает полезность 8 от лошади, 9 от машины, и если у нее есть оба из них, то она использует только машину, поэтому ее полезность равна 9. Боб получает полезность. из 5 от лошади и 7 от машины, но если у него есть и то, и другое, то его полезность составляет 11, так как ему также нравится лошадь как домашнее животное. В этом случае сложнее найти равновесие (см. Ниже ). Возможное равновесие состоит в том, что Алиса покупает лошадь за 5, а Боб покупает машину за 7. Это равновесие, поскольку Боб не хотел бы платить 5 за лошадь, что даст ему только 4 дополнительных полезности, а Алиса не хотела бы. заплатить 7 за машину, что даст ему только 1 дополнительную полезность.

C. Дополнения : ^[5] Лошадь и повозка продаются на аукционе. Есть два потенциальных покупателя: И и ИЛИ. И хочет, чтобы вместе были только лошадь и повозка - она ​​получает полезность от удержания их обоих, но полезность 0 от удержания только одного из них. ИЛИ хочет либо лошадь, либо повозку, но не нуждается в обоих - он получает полезность, удерживая одну из них, и ту же полезность, чтобы удерживать их обоих. Здесь, когда конкурентного равновесия НЕ существует, т. Е. Никакая цена не очистит рынок. Доказательство : рассмотрите следующие варианты суммы цен (конная цена + цена перевозки):${\displaystyle v_{and}}$${\displaystyle v_{or}}$${\displaystyle v_{and}<2v_{or}}$

• Сумма меньше . Затем AND хочет оба элемента. Так как цена хотя бы одного товара меньше , OR хочет этот товар, поэтому существует избыточный спрос.${\displaystyle v_{and}}$${\displaystyle v_{or}}$
• Сумма ровная . Тогда AND безразлично между покупкой обоих предметов и отказом от покупки каких-либо предметов. Но OR по-прежнему хочет только один товар, поэтому существует либо избыточный спрос, либо избыточное предложение.${\displaystyle v_{and}}$
• Сумма больше чем . Тогда AND не хочет ничего, а OR по-прежнему хочет не более одного предмета, поэтому имеется избыток предложения.${\displaystyle v_{and}}$

D. Потребители единичного спроса: Есть n потребителей. У каждого потребителя есть индекс . Есть только один вид товара. Каждому потребителю требуется не более одной единицы товара, что дает ему полезность . Потребители упорядочены так, что функция слабо возрастает . Если предложение - это единицы, то любая удовлетворяющая цена является равновесной ценой, поскольку есть k потребителей, которые либо хотят купить продукт, либо безразличны между покупкой и отказом от покупки. Обратите внимание, что увеличение предложения вызывает снижение цены.${\displaystyle i=1,...,n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle u(i)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle i}$${\displaystyle k\leq n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle u(n-k)\leq p\leq u(n-k+1)}$

Существование конкурентного равновесия [ править ]

Делимые ресурсы [ править ]

Модель Эрроу-Дебре показывает, что CE существует в любой экономике обмена с делимыми благами, удовлетворяющими следующим условиям:

• У всех агентов строго выпуклые предпочтения ;
• Все товары желательны. Это означает, что если какой-либо товар предоставляется бесплатно ( ), то все агенты хотят получить от него как можно больше.${\displaystyle j}$${\displaystyle p_{j}=0}$

Доказательство проводится в несколько этапов. ^{[4] : 319–322}

A. Для конкретности предположим, что есть агенты и делимые товары. Нормализация цены такие , что их сумма равна 1: . Тогда пространство всех возможных цен представляет собой -мерный единичный симплекс в . Мы называем этот симплекс ценовым симплексом .${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}p_{j}=1}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

B. Позвольте быть функцией избыточного спроса . Это функция вектора цен, когда первоначальный запас остается постоянным:${\displaystyle z}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle z(p)=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}(p,p\cdot E_{i})-E_{i}}}$

Известно, что при строго выпуклых предпочтениях агентов маршаллианская функция спроса непрерывна. Следовательно, также является непрерывной функцией .${\displaystyle z}$${\displaystyle p}$

C. Определите следующую функцию из ценового симплекса себе:

${\displaystyle g_{i}(p)={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k}$

Это непрерывная функция, поэтому по теореме Брауэра о неподвижной точке существует такой вектор цен , что:${\displaystyle p^{*}}$

${\displaystyle p^{*}=g(p^{*})}$

так,

${\displaystyle p_{i}^{*}={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k}$

D. Используя закон Вальраса и некоторую алгебру, можно показать, что для этого вектора цен нет избыточного спроса ни на один продукт, т. Е.

${\displaystyle z_{j}(p^{*})\leq 0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

E. Предположение о желательности подразумевает, что все товары имеют строго положительные цены:

${\displaystyle p_{j}>0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

По закону Вальраса , . Но это означает, что указанное выше неравенство должно быть равенством:${\displaystyle p^{*}\cdot z(p^{*})=0}$

${\displaystyle z_{j}(p^{*})=0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

Это означает, что это ценовой вектор конкурентного равновесия.${\displaystyle p^{*}}$

Обратите внимание, что линейные утилиты только слабо выпуклые, поэтому они не подходят для модели Эрроу – Дебре . Однако Дэвид Гейл доказал, что СЕ существует в любой линейной экономике обмена, удовлетворяющей определенным условиям. Подробнее см. Линейные полезности # Существование конкурентного равновесия .

Алгоритмы вычисления рыночного равновесия описаны в разделе « Расчет рыночного равновесия» .

Неделимые предметы [ править ]

В приведенных выше примерах конкурентное равновесие существовало, когда предметы были заменяющими, но не тогда, когда предметы были дополняющими. Это не совпадение.

Учитывая функцию полезности двух товаров X и Y , скажите, что товары являются слабо взаимозаменяемыми (GS), если они являются либо независимыми товарами, либо валовыми товарами-заменителями , но не дополнительными товарами . Это значит что . То есть, если цена Y увеличивается, то спрос на X либо остается постоянным, либо увеличивается, но не уменьшается.${\displaystyle {\frac {\Delta {\text{demand}}(X)}{\Delta {\text{price}}(Y)}}\geq 0}$

Функция полезности называется GS, если в соответствии с этой функцией полезности все пары различных товаров являются GS. При использовании функции полезности GS, если у агента есть спрос, установленный на заданном векторе цен, и цены на некоторые предметы увеличиваются, тогда у агента есть набор спроса, который включает все предметы, цена которых осталась постоянной. ^{[3] [6]} Он может решить, что ему не нужна вещь, которая стала дороже; он также может решить, что вместо этого хочет другой предмет (замену); но он может не решить, что ему не нужен третий предмет, цена которого не изменилась.

Когда функции полезности всех агентов являются GS, всегда существует конкурентное равновесие. ^[7]

Более того, набор оценок GS является самым большим набором, содержащим оценки спроса на единицу, для которых существование конкурентного равновесия гарантировано: для любой оценки негабаритных цен существуют такие оценки спроса на единицу продукции, что для этой единицы не существует конкурентного равновесия. оценки спроса в сочетании с данной оценкой НГБ. ^[8]

Информацию о вычислительной проблеме поиска конкурентного равновесия на рынке особого типа см. В разделе Рынок Фишера # неделимый .

Конкурентное равновесие и эффективность распределения [ править ]

Согласно фундаментальным теоремам экономики благосостояния , любое распределение CE является эффективным по Парето , и любое эффективное распределение может быть устойчивым за счет конкурентного равновесия. Более того, согласно теоремам Вариана , распределение CE, при котором все агенты имеют одинаковый доход, также не вызывает зависти .

В условиях конкурентного равновесия ценность, которую общество придает благу, эквивалентна стоимости ресурсов, потраченных на его производство ( предельная выгода равна предельным затратам ). Это обеспечивает эффективность распределения : дополнительная ценность, которую общество придает другой единице блага, равна тому, от чего общество должно отказаться в ресурсах для ее производства. ^[9]

Обратите внимание, что микроэкономический анализ не предполагает дополнительной полезности и не предполагает каких-либо межличностных компромиссов полезности. Следовательно, под эффективностью понимается отсутствие улучшений по Парето . Он никоим образом не высказывает мнения о справедливости распределения (в смысле справедливого распределения или равноправия ). Эффективным равновесием может быть такое равновесие, при котором у одного игрока есть все товары, а у других игроков нет (в крайнем случае), что эффективно в том смысле, что нельзя найти улучшение Парето, что заставляет всех игроков (включая один со всем в данном случае) лучше (для строгого улучшения по Парето) или не хуже.

Теоремы о благосостоянии для неделимого распределения предметов [ править ]

В случае неделимых объектов у нас есть следующие сильные версии двух теорем о благосостоянии : ^[2]

1. Любое конкурентное равновесие максимизирует общественное благосостояние (сумму полезностей) не только для всех реалистичных распределений предметов, но также и для всех дробных распределений предметов. То есть, даже если бы мы могли назначать доли элемента разным людям, мы не могли бы добиться большего, чем конкурентное равновесие, в котором назначаются только целые элементы.
2. Если есть интегральное назначение (без дробных назначений), которое максимизирует общественное благосостояние, то с этим назначением существует конкурентное равновесие.

Нахождение равновесия [ править ]

В случае неделимого распределения предметов, когда функции полезности всех агентов являются GS ( и, таким образом, существует равновесие ), можно найти конкурентное равновесие с помощью аукциона по возрастанию . На аукционе по возрастанию аукционист публикует вектор цен, изначально равный нулю, и покупатели объявляют свой любимый набор по этим ценам. В случае, если каждый предмет желает не более одного участника торгов, предметы делятся, и аукцион завершается. В случае избыточного спроса на один или несколько предметов аукционист увеличивает цену на предмет избыточного спроса на небольшую сумму (например, на доллар), и покупатели снова делают ставки.

В литературе было предложено несколько различных механизмов восходящего аукциона. ^{[3] [7] [10]} Такие механизмы часто называют вальрасовским аукционом , вальрасианским аукционом или английским аукционом .

См. Также [ править ]

• Ценообразование без зависти - ослабление вальрасовского равновесия, при котором некоторые товары могут оставаться нераспределенными.
• Рынок Фишера - упрощенная модель рынка с одним продавцом и множеством покупателей, в которой CE может быть эффективно вычислен.
• Эффективность распределения ресурсов
• Экономическое равновесие
• Теория общего равновесия
• Вальрасовский аукцион

Ссылки [ править ]

• Рихтер, МК; Вонг, KC (1999). «Невычислимость конкурентного равновесия». Экономическая теория . 14 : 1-27. DOI : 10.1007 / s001990050281 .

Внешние ссылки [ править ]

• Конкурентное равновесие, вальрасовское равновесие и вальрасовский аукцион в Economics Stack Exchange.