В математике , в частности в дифференциальной геометрии , математической физике и теории представлений, тождество Вейтценбека , названное в честь Роланда Вайтценбека , выражает связь между двумя эллиптическими операторами второго порядка на многообразии с одним и тем же главным символом. (Однако происхождение этой терминологии кажется сомнительным, поскольку, похоже, нет никаких доказательств того, что такие тождества когда-либо появлялись в работе Вайтценбека.) Обычно формулы Вайтценбека реализуются для G -инвариантных самосопряженных операторов между векторными расслоениями, связанными с некоторыми основными грамм-бандл , хотя точные условия, при которых существует такая формула, сформулировать трудно. Эта статья посвящена трем примерам тождеств Вайтценбека: из римановой геометрии, геометрии спина и комплексного анализа.
Риманова геометрия
В римановой геометрии существует два представления о лапласиане на дифференциальных формах над ориентированным компактным римановом многообразия М . Первое определение использует оператор дивергенции δ, определенный как формальный сопряженный оператор де Рама d :
где α - любая p- форма, β - любая ( p + 1 ) -форма, и- метрика, индуцированная на расслоении ( p + 1 ) -форм. Тогда обычный лапласиан имеет вид
С другой стороны, связность Леви-Чивита дает дифференциальный оператор
где Ω p M - расслоение p -форм. Бохнер лапласиане дается
где является соплеменником .
Формула Вайтценбека утверждает, что
где A - линейный оператор нулевого порядка, включающий только кривизну.
Точная форма буквы A с точностью до общего знака в зависимости от соглашений о кривизне задается следующим образом:
где
- R - тензор кривизны Римана,
- Ric - тензор Риччи,
- является отображением, которое берет произведение клина 1-формы и p -формы и дает ( p +1) -форму,
- является универсальным дифференцированием, обратным к θ на 1-формах.
Геометрия вращения
Если M - ориентированное спиновое многообразие с оператором Дирака ð, то на спиновом расслоении можно сформировать спиновый лапласиан ∆ = 2 . С другой стороны, связность Леви-Чивиты распространяется на спиновое расслоение и дает дифференциальный оператор
Как и в случае римановых многообразий, пусть . Это еще один самосопряженный оператор и, кроме того, имеет тот же главный символ, что и спиновый лапласиан. Формула Вайтценбека дает:
где Sc - скалярная кривизна. Этот результат также известен как формула Лихнеровича .
Сложная дифференциальная геометрия
Если M - компактное кэлерово многообразие , существует формула Вайтценбека, связывающая-Лапласиан (см. Комплекс Дольбо ) и евклидов лапласиан на ( p , q ) -формах . В частности, пусть
- , а также
- в единой системе отсчета в каждой точке.
Согласно формуле Вайтценбека, если , тогда
где - оператор нулевого порядка, связанный с кривизной. Конкретно,
- если в унитарной системе отсчета, то
- с k на s -м месте.
Другие идентичности Weitzenböck
- В конформной геометрии существует формула Вайтценбека, связывающая конкретную пару дифференциальных операторов, определенных на тракторном пучке . См. Брэнсон, Т. и Говер, А. Р., «Конформно инвариантные операторы, дифференциальные формы, когомологии и обобщение Q-кривизны», « Связь в дифференциальных уравнениях с частными производными» , 30 (2005) 1611–1669.
Смотрите также
Рекомендации
- Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джо (1978), Принципы алгебраической геометрии , Wiley-Interscience (опубликовано в 1994 году), ISBN 978-0-471-05059-9