Треугольная черепица Order-8

Треугольная черепица Order-8
Пуанкаре диск модель в гиперболической плоскости
Тип	Гиперболический правильный тайлинг
Конфигурация вершины	3 8
Символ Шлефли	{3,8} (3,4,3)
Символ Wythoff	8 | 3 2 4 | 3 3
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	[8,3], (* 832) [(4,3,3)], (* 433) [(4,4,4)], (* 444)
Двойной	Восьмиугольная черепица
Характеристики	Вершинно-транзитивный , реберно-транзитивный , гранно-транзитивный

В геометрии , то порядок-8 треугольный паркет является регулярным плиточным в гиперболической плоскости . Оно представлено Шлефл символ из {3,8} , имеющие восемь регулярных треугольников вокруг каждой вершины.

Равномерная окраска [ править ]

Полусимметрия [1 ⁺ , 8,3] = [(4,3,3)] может быть показана с чередованием двух цветов треугольников:

Симметрия [ править ]

Восьмиугольная черепица с * 444 зеркальными линиями, .

Из симметрии [(4,4,4)] существует 15 подгрупп малого индекса (7 уникальных) с помощью операторов зеркального удаления и чередования. Зеркала могут быть удалены, если все заказы его филиалов равны, что сокращает заказы соседних филиалов вдвое. Удаление двух зеркал оставляет точку вращения половинного порядка, где встречаются снятые зеркала. На этих изображениях основные области попеременно окрашены в черный и белый цвета, а на границах между цветами существуют зеркала. Добавление 3 пополам зеркал через каждый фундаментальный домен создает симметрию 832 . Группа подгруппы индекса -8, [(1 ⁺ , 4,1 ⁺ , 4,1 ⁺ , 4)] (222222) является коммутаторной подгруппой группы [(4,4,4)].

Строится большая подгруппа [(4,4,4 ^* )], индекс 8, так как (2 * 2222) с удаленными точками вращения становится (* 22222222).

Симметрия может быть увеличена вдвое до симметрии 842 , добавив биссектрису поперёк основных областей. Симметрия может быть расширена на 6, как на симметрию 832 , на 3 пополам зеркала на домен.

Подгруппы малого индекса в [(4,4,4)] (* 444)

Индекс	1	2			4
Диаграмма
Coxeter	[(4,4,4)]	[(1 + , 4,4,4)] знак равно	[(4,1 + , 4,4)] знак равно	[(4,4,1 + , 4)] знак равно	[(1 + , 4,1 + , 4,4)]	[(4 + , 4 + , 4)]
Орбифолд	* 444	* 4242			2 * 222	222 ×
Диаграмма
Coxeter		[(4,4 + , 4)]	[(4,4,4 + )]	[(4 + , 4,4)]	[(4,1 + , 4,1 + , 4)]	[(1 + , 4,4,1 + , 4)] знак равно
Орбифолд		4 * 22			2 * 222
Прямые подгруппы
Индекс	2	4			8
Диаграмма
Coxeter	[(4,4,4)] +	[(4,4 + , 4)] + знак равно	[(4,4,4 + )] + знак равно	[(4 + , 4,4)] + знак равно	[(4,1 + , 4,1 + , 4)] + знак равно
Орбифолд	444	4242			222222
Радикальные подгруппы
Индекс	8			16
Диаграмма
Coxeter	[(4,4 *, 4)]	[(4,4,4 *)]	[(4 *, 4,4)]	[(4,4 *, 4)] +	[(4,4,4 *)] +	[(4 *, 4,4)] +
Орбифолд	* 22222222			22222222

Связанные многогранники и мозаики [ править ]

Из конструкции Витхоффа есть десять гиперболических однородных мозаик, которые могут быть основаны на правильных восьмиугольных и треугольных мозаиках порядка 8.

Нарисовывая плитки красного цвета на исходных гранях, желтого цвета в исходных вершинах и синего цвета вдоль исходных краев, получается 10 форм.

Равномерная восьмиугольная / треугольная мозаика v т е
Симметрия: [8,3], (* 832)							[8,3] + (832)	[1 + , 8,3] (* 443)		[8,3 + ] (3 * 4)
{8,3}	т {8,3}	г {8,3}	т {3,8}	{3,8}	rr {8,3} s 2 {3,8}	tr {8,3}	sr {8,3}	ч {8,3}	ч 2 {8,3}	с {3,8}
								или же	или же
Униформа двойников
V8 3	V3.16.16	V3.8.3.8	V6.6.8	V3 8	V3.4.8.4	V4.6.16	V3 4 .8	В (3,4) 3	V8.6.6	V3 5 .4

Регулярные мозаики: {n, 8} v т е
Сферический	Гиперболические мозаики
{2,8}	{3,8}	{4,8}	{5,8}	{6,8}	{7,8}	{8,8}	...	{∞, 8}

Его также можно сгенерировать из (4 3 3) гиперболических мозаик:

Равномерные (4,3,3) мозаики v т е
Симметрия: [(4,3,3)], (* 433)							[(4,3,3)] + , (433)
ч {8,3} т 0 (4,3,3)	г {3,8} 1 / 2 т 0,1 (4,3,3)	ч {8,3} т 1 (4,3,3)	ч 2 {8,3} т 1,2 (4,3,3)	{3,8} 1 / 2 т 2 (4,3,3)	ч 2 {8,3} т 0,2 (4,3,3)	т {3,8} 1 / 2 т 0,1,2 (4,3,3)	с {3,8} 1 / 2 с (4,3,3)
Униформа двойников
В (3,4) 3	V3.8.3.8	В (3,4) 3	V3.6.4.6	В (3,3) 4	V3.6.4.6	V6.6.8	V3.3.3.3.3.4

Равномерные (4,4,4) мозаики v т е
Симметрия: [(4,4,4)], (* 444)							[(4,4,4)] + (444)	[(1 + , 4,4,4)] (* 4242)	[(4 + , 4,4)] (4 * 22)
т 0 (4,4,4) ч {8,4}	t 0,1 (4,4,4) ч 2 {8,4}	т 1 (4,4,4) {4,8} 1 / 2	т 1,2 (4,4,4) ч 2 {8,4}	т 2 (4,4,4) ч {8,4}	т 0,2 (4,4,4) г {4,8} 1 / 2	т 0,1,2 (4,4,4) т {4,8} 1 / 2	с (4,4,4) с {4,8} 1 / 2	ч (4,4,4) ч {4,8} 1 / 2	ч (4,4,4) ч {4,8} 1 / 2
Униформа двойников
В (4,4) 4	V4.8.4.8	В (4,4) 4	V4.8.4.8	В (4,4) 4	V4.8.4.8	V8.8.8	V3.4.3.4.3.4	V8 8	В (4,4) 3

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме треугольной мозаики Порядка-8 .

• Сотовый четырехгранник Order-8
• Замощения правильных многоугольников
• Список однородных плоских мозаик
• Список правильных многогранников

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик У. "Гиперболический замощение" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболический диск Пуанкаре» . MathWorld .
• Галерея гиперболических и сферических плиток
• KaleidoTile 3: обучающая программа для создания сферических, плоских и гиперболических мозаик.
• Гиперболические плоские мозаики, Дон Хэтч