Индекс подгруппы

В математике , в частности теории групп , то индекс из подгруппы H в группе G является число левых смежных классов из H в G , или , что эквивалентно, число правых смежных классов H в G . Индекс обозначается или или . Поскольку G является непересекающимся объединением левых смежных классов и поскольку каждый левый смежный класс имеет тот же размер, что и H , индекс связан с порядками двух групп по формуле${\ displaystyle | G: H |}$${\ displaystyle [G: H]}$${\ displaystyle (G: H)}$

${\ Displaystyle | G | = | G: H || H |}$

(интерпретируйте величины как количественные числа, если некоторые из них бесконечны). Таким образом, индекс измеряет «относительные размеры» из G и H .${\ displaystyle | G: H |}$

Например, пусть будет группа целых чисел при сложении , и пусть будет подгруппа, состоящая из четных целых чисел . Тогда имеет два смежных класса, а именно набор четных целых чисел и набор нечетных целых чисел, поэтому индекс равен 2. В более общем смысле, для любого положительного целого числа n .${\ Displaystyle G = \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle Н = 2 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle 2 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle | \ mathbb {Z}: 2 \ mathbb {Z} |}$${\ Displaystyle | \ mathbb {Z}: п \ mathbb {Z} | = п}$

Когда G является конечным , то формула может быть записана в виде , и это означает , теорему Лагранжа , что водоразделы .${\ Displaystyle | G: H | = | G | / | H |}$${\ displaystyle | H |}$${\ displaystyle | G |}$

Когда G бесконечна, - ненулевое кардинальное число, которое может быть конечным или бесконечным. Например, но бесконечно.${\ displaystyle | G: H |}$${\ Displaystyle | \ mathbb {Z}: 2 \ mathbb {Z} | = 2}$${\ Displaystyle | \ mathbb {R}: \ mathbb {Z} |}$

Если N является нормальной подгруппой в G , то равно порядку группы фактор , так как базовый набор является множеством смежных классов N в G .${\ displaystyle | G: N |}$ ${\ Displaystyle G / N}$${\ Displaystyle G / N}$

Свойства [ править ]

• Если H - подгруппа группы G, а K - подгруппа H , то

${\ Displaystyle | G: K | = | G: H | \, | H: K |.}$

• Если H и K - подгруппы группы G , то

${\ displaystyle | G: H \ cap K | \ leq | G: H | \, | G: K |,}$

с равенством, если . (Если конечно, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда .)${\ displaystyle HK = G}$${\ displaystyle | G: H \ cap K |}$${\ displaystyle HK = G}$

• Эквивалентно, если H и K - подгруппы группы G , то

${\displaystyle |H:H\cap K|\leq |G:K|,}$

с равенством, если . (Если конечно, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда .)${\displaystyle HK=G}$${\displaystyle |H:H\cap K|}$${\displaystyle HK=G}$

• Если G и H являются группами и являются гомоморфизмом , то индекс ядра группы в G равен порядку изображения:${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle |G:\operatorname {ker} \;\varphi |=|\operatorname {im} \;\varphi |.}$

• Пусть G является группой действующих на множестве X , и пусть х  ∈  X . Тогда мощность на орбите по й при G равна индексу стабилизатора от й :

${\displaystyle |Gx|=|G:G_{x}|.\!}$

Это известно как теорема о стабилизаторе орбиты .

• Как частный случай теоремы орбиты-стабилизатор, количество конъюгат одного элемента равно индексу центратора из й в G .${\displaystyle gxg^{-1}}$${\displaystyle x\in G}$
• Аналогичным образом , количество конъюгатов подгруппы H в G равно индексу нормализатора из H в G .${\displaystyle gHg^{-1}}$
• Если H - подгруппа группы G , индекс нормального ядра группы H удовлетворяет следующему неравенству:

${\displaystyle |G:\operatorname {Core} (H)|\leq |G:H|!}$

где ! обозначает факториальную функцию; это обсуждается ниже .

• Как следствие, если индекс H в G равен 2 или для конечной группы наименьшее простое число p, которое делит порядок G, то H является нормальным, поскольку индекс его ядра также должен быть p, и, таким образом, H равно его ядро, т.е. это нормально.
• Обратите внимание, что подгруппа с наименьшим простым индексом может не существовать, например, в любой простой группе непростого порядка или, в более общем смысле, в любой совершенной группе .

Примеры [ править ]

• Переменная группа имеет индекс 2 в симметричной группе , и , таким образом , является нормальным.${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle S_{n},}$
• Специальная ортогональная группа имеет индекс 2 в ортогональных группы , и , следовательно , является нормальным.${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$
• В свободной абелевой группе есть три подгруппы индекса 2, а именно${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \{(x,y)\mid x{\text{ is even}}\},\quad \{(x,y)\mid y{\text{ is even}}\},\quad {\text{and}}\quad \{(x,y)\mid x+y{\text{ is even}}\}}$.

• Вообще, если р является простым , то есть подгруппы индекса р , соответствующая нетривиальные гомоморфизмы . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$${\displaystyle (p^{n}-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$
• Точно так же в свободной группе есть подгруппы индекса p .${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle (p^{n}-1)}$
• В бесконечной группе диэдра есть циклическая подгруппа индекса 2, которая обязательно нормальна.

Бесконечный индекс [ править ]

Если H имеет бесконечное число смежных классов в G , то индекс H в G называется бесконечным. В этом случае индекс фактически является количественным числом . Например, индекс H в G может быть счетным или несчетным , в зависимости от того , Н имеет счетное число смежных классов G . Заметим, что индекс H не превосходит порядка G, который реализуется для тривиальной подгруппы, или фактически любой подгруппы H бесконечной мощности, меньшей, чем у G.${\displaystyle |G:H|}$

Конечный индекс [ править ]

Бесконечная группа G может иметь подгруппы H конечного индекса (например, четные целые числа внутри группы целых чисел). Такая подгруппа всегда содержит нормальную подгруппу N (группы G ) также конечного индекса. Фактически, если H имеет индекс n , то индекс N можно принять как некоторый множитель n !; на самом деле, N может быть выбран ядром естественного гомоморфизма от G до группы перестановок левого (или правого) смежных классов H .

Частный случай, n = 2, дает общий результат, что подгруппа индекса 2 является нормальной подгруппой, потому что нормальная подгруппа ( N выше) должна иметь индекс 2 и, следовательно, быть идентичной исходной подгруппе. В более общем смысле, подгруппа индекса p, где p - наименьший простой фактор порядка группы G (если G конечна), обязательно нормальна, поскольку индекс группы N делит p ! и, следовательно, должен быть равен p, не имея других простых множителей.

Альтернативное доказательство того, что подгруппа с наименьшим простым индексом p нормальна, и другие свойства подгрупп с простым индексом приведены в ( Lam 2004 ).

Примеры [ править ]

Приведенные выше соображения верны и для конечных групп. Например, группа O хиральной октаэдрической симметрии состоит из 24 элементов. Она имеет двугранный D ₄ подгруппы (на самом деле она имеет три такие) порядка 8, и , таким образом индекс 3 в O , которую мы будем называть H . Эта группа диэдра имеет 4 члена D A ₂ подгруппу, которую можно назвать A . Умножение справа любого элемента правого смежного класса H на элемент A дает член того же смежного класса H ( Hca = Hc ). A нормально в O. Есть шесть смежных классов A , соответствующих шести элементам симметрической группы S ₃ . Все элементы из любых конкретных смежного класса А выполняют ту же перестановку смежных классов H .

С другой стороны, группа Т _ч из pyritohedral симметрии также имеет 24 членов и подгруппу индекса 3 ( на этот раз он является D _2h призматических симметрии группы см групп точек в трех измерениях ), но в этом случае вся подгруппа нормальная подгруппа. Все члены конкретного смежного класса выполняют одну и ту же перестановку этих смежных классов, но в этом случае они представляют только 3-элементную альтернированную группу в 6-членной симметричной группе S ₃ .

Нормальные подгруппы индекса простой степени [ править ]

Нормальные подгруппы с простым степенным индексом являются ядрами сюръективных отображений в p -группы и имеют интересную структуру, как описано в Теореме о фокальной подгруппе: Подгруппы и разработано в теореме о фокальной подгруппе .

Есть три важных нормальных подгруппы индекса мощности простого, каждая из которых является наименьшей нормальной подгруппой в определенном классе:

• E ^p ( G ) - пересечение всех нормальных подгрупп индекса p ; G / E ^p ( G ) - элементарная абелева группа и самая большая элементарная абелева p -группа, на которую G сюръектирует.
• A ^p ( G ) - это пересечение всех нормальных подгрупп K таких, что G / K - абелева p -группа (т. Е. K - индексная нормальная подгруппа, содержащая производную группу ): G / A ^p ( G ) - наибольшая абелева p -группа (не обязательно элементарная), на которую G сюрпризирует.${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle [G,G]}$
• O ^p ( G ) является пересечением всех нормальных подгрупп K группы G таких, что G / K является (возможно, неабелевой) p -группой (т. Е. K является индексной нормальной подгруппой): G / O ^p ( G ) является наибольшая p -группа (не обязательно абелева), на которую G сюрпризирует. O ^p ( G ) также известен как${\displaystyle p^{k}}$p -остаточная подгруппа .

Поскольку это более слабые условия на группы K, получаем включения

${\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).}$

Эти группы имеют важные связи с силовскими подгруппами и гомоморфизмом переноса, как там обсуждается.

Геометрическая структура [ править ]

Элементарное наблюдение состоит в том, что нельзя иметь ровно 2 подгруппы индекса 2, так как дополнение их симметричной разности дает третью. Это простое следствие приведенного выше обсуждения (а именно проективизация структуры векторного пространства элементарной абелевой группы

${\displaystyle G/\mathbf {E} ^{p}(G)\cong (\mathbf {Z} /p)^{k}}$,

и, кроме того, G не действует на эту геометрию и не отражает никакой неабелевой структуры (в обоих случаях, потому что фактор абелева).

Однако это элементарный результат, который конкретно можно увидеть следующим образом: множество нормальных подгрупп данного индекса p образуют проективное пространство , а именно проективное пространство

${\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)).}$

Более подробно, пространство гомоморфизмов из G в (циклическую) группу порядка p является векторным пространством над конечным полем . Нетривиальное такое отображение имеет в качестве ядра нормальную подгруппу индекса p и умножение карты на элемент of (ненулевое число по модулю p ) не изменяет ядро; таким образом, можно получить карту из ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p),}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p}=\mathbf {Z} /p.}$${\displaystyle (\mathbf {Z} /p)^{\times }}$

${\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)):=(\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p))\setminus \{0\})/(\mathbf {Z} /p)^{\times }}$

нормальным подгруппам индекса p . Наоборот, нормальная подгруппа индекса p определяет нетривиальное отображение с точностью до выбора того, «какой смежный класс сопоставляется с каким» показывает, что это отображение является биекцией.${\displaystyle \mathbf {Z} /p}$${\displaystyle 1\in \mathbf {Z} /p,}$

Как следствие, количество нормальных подгрупп индекса p равно

${\displaystyle (p^{k+1}-1)/(p-1)=1+p+\cdots +p^{k}}$

для некоторого k; не соответствует нормальным подгруппам индекса p . Далее, если заданы две различные нормальные подгруппы индекса p, получается проективная линия, состоящая из таких подгрупп.${\displaystyle k=-1}$${\displaystyle p+1}$

Для получения в симметричной разности два различных индекс 2 подгруппы (которые являются обязательно нормальными) дает третью точку на проективном прямом , содержащие эти подгруппы, и группа должна содержать индекс 2 подгруппы - он не может содержать ровно 2 или 4 индекса 2 подгруппы, например , .${\displaystyle p=2,}$${\displaystyle 0,1,3,7,15,\ldots }$

См. Также [ править ]

• Практически
• Коразмерность

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Нормальность подгрупп простого индекса в PlanetMath .
• « Подгруппа наименьшего простого индекса является нормальной » в Groupprops, The Group Properties Wiki