833 цента шкала

Отрезки в золотом сечении ((A + B) / A = A / B = 1,618).

Стек интервалов золотого сечения (φ), измеренных в Гц ((11,09 + 6,854) ÷ 11,09 = 11,09 ÷ 6,854 = 1,618).

Шкала 833 цента в нотации 36 тет, с пометками, указывающими на золотое сечение

Шкала 833 цента - это музыкальный строй и гамма, предложенные Хайнцем Боленом ^{[ необходимо пояснение ],} основанная на комбинационных тонах , интервале 833,09 цента и, по совпадению, последовательности Фибоначчи . ^[1] золотое сечение является , что в качестве музыкального интервала 833.09 центов ( Play ( помощь · информация ) ). В шкале 833 цента этот интервал принят как альтернатива октаве как интервал повторения. $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887\ldots .$ , ^[2] однако золотое сечение не рассматривается как эквивалентный интервал (ноты, разделенные разницей в 833,09 цента, не «то же самое» в шкале 833 цента, как ноты, разделенные разницей в 1200 центов в традиционных настройках). Другие теоретики музыки, такие как Уолтер О'Коннелл в его «Тональности золотого сечения» 1993 года ^[3] и Лорен Темес ^{[ необходима цитата ],} похоже, также создали эту шкалу до ее открытия Боленом.

Вывод [ править ]

Решетка с золотыми соотношениями на унисон (в центре), на идеальной четвертой (слева) и идеальной пятой (справа)

Начиная с любого интервала, возьмите интервал, создаваемый самым высоким исходным тоном и ближайшим комбинированным тоном. Затем сделайте то же самое для этого интервала. Эти интервалы « сходятся к значению, близкому к 833 центам. Это означает не что иное, как, например, для интервала 144: 89 (833,11 цента), как суммирование, так и разностный тон появляются ... снова на расстоянии 833 цента от этого интервала» . ^[1]

Базовый интервал	Ближайший комбинированный тон (соотношение)	Ближайший комбинированный тон (центов)
2: 1	3: 2	701,955
3: 2	5: 3	884,359
5: 3	8: 5	813,686
8: 5	13: 8	840,528
13: 8	21:13	830,253
21:13	34:21	834,175
34:21	55:34	832,676
55:34	89:55	833,248
89:55	144: 89	833.030
144: 89	233: 144	833,113
233: 144	377: 233	833.081
377: 233	610: 377	833.094
...

Например, 220 Гц и 220 Гц (унисон) создают комбинированные тона с частотой 0 и 440 Гц. 440 Гц - это октава выше 220 Гц. 220 Гц и 440 Гц создают комбинированные тона с частотой 220 Гц и 660 Гц. 660 Гц - это идеальная квинта (3: 2) выше 440 Гц и дает комбинированные тона на частотах 220 Гц и 1100 Гц. 1100 Гц - это основная шестая часть (5: 3) выше 660 Гц и дает комбинированные тона с частотой 440 Гц и 1760 Гц. 1100 Гц и 1760 Гц - второстепенная шестая (8: 5) и так далее. «Между прочим, неважно, какой интервал мы выберем в качестве отправной точки для вышеупомянутого упражнения; результат всегда 833 цента». ^[1]

Как только интервал в 833,09 центов определен, получается стопка из них:

Тон	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
Центов	634,55	267,64	1100,73	733,82	366,91	0	833,09	466,18	99,27	932,36	565,45
Соотношение	1,443	1,167	1,889	1,528	1,236	1.000	1,618	1,309	1.059	1,713	1,386
Шаг шкалы				6	3	0	7	4	1	8	15

Две стопки также производятся в соотношении 3: 2 и его инверсии 4: 3, чтобы обеспечить шаги 2 и 5, создавая двумерную решетку . Учитывая, что золотое сечение является иррациональным числом, существует три бесконечных стека возможных золотых сечений, которые никогда не возвращаются точно обратно в унисон или октаву. Шаг шкалы 5 составляет 597,32 цента, а шаг шкалы -5 составляет 602,68 цента (с интервалом 5,37 цента).

Масштаб [ править ]

Болен описывает симметричную семитональную шкалу с высотой шагов 0, 1, 3, 4 и 6, полученными из набора интервалов золотого сечения. Играть ( помощь · информация )

Шаг шкалы	0		1		2		3		4		5		6		7		...
Центов	00.00		99,27		235,77		366,91		466,18		597,32		733,82		833,09		...
Ширина шага		99,27		136,5		131,14		99,27		131,14		136,5		99,27		...
Сложенный тон $\varphi$	0		3				−1		2				−2		1		...

Трихорд, шаги: 0, 3, 7[2]

Трихорд, шаги: 0, 4, 7[2]

Тетрахорд, шаги: 0, 3, 4, 7[2]

Три стопки по 13 золотых сечений в унисон, идеальная четвертая и идеальная пятая.

Это сравнимо с получением мажорной гаммы из стопки совершенных квинт (FCGDAEB = CDEFGAB). См .: Созданная коллекция .

Шкала «содержит сеть гармонических отношений со свойством соответствовать гармоническим интервалам циклов в 833 цента». ^[4] Предположительно, шаги 2 и 5 были выбраны для заполнения промежутков между шагами 1 и 3, 4 и 6 (267,64 цента). Значение шага 2 (235,77) было выбрано для создания идеальной двенадцатой (составная идеальная пятая) между шагами 16 (235,77 + 833,09 + 833,09) и шагом 0, и после выбора определялось значение шага 5 из-за симметрии шкалы. . Шаги 10 и 0 образуют октаву. Все ноты находятся на расстоянии 7 шагов от золотого сечения друг к другу, например 16 и 9 и 10 и 3.

Можно увидеть повторение частот и совпадение более высоких ступеней с созвучиями, такими как идеальная квинта и октава (количество шагов интервалов, которые совпадают со стопкой золотых соотношений, выделено жирным шрифтом, а отношения повторяющихся интервалов выделены жирным шрифтом) :

Шаг	Соотношение	Соотношение (десятичное)	Соотношение (центы)	Ширина (центов)	Аудио
0	/^$\varphi$_$\varphi$	1,0000	0		Играть в
0	/^$\varphi$_$\varphi$	1,0000	0	99,27	Играть в
1	^⁴ / ₄^$\varphi$_$\varphi$	1.0590	99,27	99,27	Играть в
1	^⁴ / ₄^$\varphi$_$\varphi$	1.0590	99,27	136,50	Играть в
2	^{3 $\varphi$} / _³_$\varphi$	1,1459	235,77	136,50	Играть в
2	^{3 $\varphi$} / _³_$\varphi$	1,1459	235,77	131,14	Играть в
3	^{2 $\varphi$} / _²_$\varphi$	1,2361	366,91	131,14	Играть в
3	^{2 $\varphi$} / _²_$\varphi$	1,2361	366,91	99,27	Играть в
4	^³ / ₂^$\varphi$_$\varphi$	1,3090	466,18	99,27	Играть в
4	^³ / ₂^$\varphi$_$\varphi$	1,3090	466,18	131,14	Играть в
5	/^$\varphi$_{3 $\varphi$ / $\varphi$ ³}	1,4120	597,32	131,14	Играть в
5	/^$\varphi$_{3 $\varphi$ / $\varphi$ ³}	1,4120	597,32	136,50	Играть в
6	^{4 $\varphi$} / _³_$\varphi$	1,5279	733,82	136,50	Играть в
6	^{4 $\varphi$} / _³_$\varphi$	1,5279	733,82	99,27	Играть в
7 (0)	^² /^$\varphi$_$\varphi$	1,6180	833,09	99,27	Играть в
7 (0)	^² /^$\varphi$_$\varphi$	1,6180	833,09	99,27	Играть в
8 (1)	^⁵ / ₄^$\varphi$_$\varphi$	1,7135	932,36	99,27	Играть в
8 (1)	^⁵ / ₄^$\varphi$_$\varphi$	1,7135	932,36	136,50	Играть в
9 (2)	^{3 $\varphi$} / _²_$\varphi$	1,8541	1 068,86	136,50	Играть в
9 (2)	^{3 $\varphi$} / _²_$\varphi$	1,8541	1 068,86	131,14	Играть в
10 (3)	/^$\varphi$_$\varphi$	1,0000	0	131,14	Играть в
10 (3)	/^$\varphi$_$\varphi$	1,0000	0	99,27	Играть в
11 (4)	^⁴ / ₄^$\varphi$_$\varphi$	1.0590	99,27	99,27	Играть в
11 (4)	^⁴ / ₄^$\varphi$_$\varphi$	1.0590	99,27	131,14	Играть в
12 (5)	/^$\varphi$_{6 $\varphi$ / $\varphi$ ⁴}	1,1424	230,41	131,14	Играть в
12 (5)	/^$\varphi$_{6 $\varphi$ / $\varphi$ ⁴}	1,1424	230,41	136,50	Играть в
13 (6)	^{2 $\varphi$} / _²_$\varphi$	1,2361	366,91	136,50	Играть в
13 (6)	^{2 $\varphi$} / _²_$\varphi$	1,2361	366,91	99,27	Играть в
14 (0)	^³ / ₂^$\varphi$_$\varphi$	1,3090	466,18	99,27	Играть в
14 (0)	^³ / ₂^$\varphi$_$\varphi$	1,3090	466,18	99,27	Играть в
15 (1)	^⁶ / ₈^$\varphi$_$\varphi$	1,3863	565,45	99,27	Играть в
15 (1)	^⁶ / ₈^$\varphi$_$\varphi$	1,3863	565,45	136,50	Играть в
16 (2)	^{3 $\varphi$} / _{2 $\varphi$}	1.5	701,96	136,50	Играть в
16 (2)	^{3 $\varphi$} / _{2 $\varphi$}	1.5	701,96		Играть в
...

Шкала содержит 0,83333 × 12 шагов на октаву (≈10). ^[4] В идеале без темперирования, масштаб может быть приближен к 36 равным темпераментам , одно из преимуществ состоит в том, что 36-TET включает в себя традиционный 12-TET. ^[2]

См. [ Править ]

Треугольник Кеплера
Распределение Zipf

Источники [ править ]

^ a b c Болен, Хайнц (последнее обновление 2012 г.). « Шкала 833 цента: эксперимент над гармонией », Huygens-Fokker.org .
^ a b c d e " 833 Cent Golden Scale (Болен) ", Xenharmonic Wiki .
^ О'Коннелл, Уолтер (1993). « Тональность золотого сечения », Anaphoria.com .
^ a b Парейон, Габриэль (2011). О музыкальном самоподобии , с.398. ISBN 9789525431322 .

Внешние ссылки [ править ]

" Fun with Emulator X: Bohlen 833 цента шкала и гармоники ", CatSynth .
« Золотое сечение », Xenharmonic Wiki .

[Experiment-1] Болен, Хайнц (последнее обновление 2012 г.). « Шкала 833 цента: эксперимент над гармонией », Huygens-Fokker.org .

[Xen-2] " 833 Cent Golden Scale (Болен) ", Xenharmonic Wiki .

[3] О'Коннелл, Уолтер (1993). « Тональность золотого сечения », Anaphoria.com .

[Self-Similarity-4] Парейон, Габриэль (2011). О музыкальном самоподобии , с.398. ISBN 9789525431322 .

[1]