Регулярное кольцо фон Неймана
В математике регулярное кольцо фон Неймана — это кольцо R (ассоциативное, с 1, не обязательно коммутативное), такое, что для каждого элемента a в R существует x в R с a = axa . Можно думать об x как о «слабом обратном» элементу a; в общем x не определяется однозначно a . Регулярные кольца фон Неймана называются также абсолютно плоскими кольцами , так как эти кольца характеризуются тем, что каждый левый R - модульквартира .
Регулярные кольца фон Неймана были введены фон Нейманом ( 1936 ) под названием «регулярные кольца» в ходе его изучения алгебр фон Неймана и непрерывной геометрии . Регулярные кольца фон Неймана не следует путать с несвязанными регулярными кольцами и регулярными локальными кольцами коммутативной алгебры .
Элемент a кольца называется регулярным элементом фон Неймана, если существует такое x , что a = axa . [1] Идеал называется регулярным (фон Неймановским) идеалом , если для каждого элемента a в существует элемент x in такой, что a = axa . [2]
Каждое поле (и каждое тело ) является регулярным по фон Нейману: для a ≠ 0 мы можем взять x = a− 1 . [1] Область целостности регулярна по фон Нейману тогда и только тогда, когда она является полем. Всякое прямое произведение регулярных колец фон Неймана снова является регулярным по фон Нейману.
Другим важным классом примеров регулярных колец фон Неймана являются кольца M n ( K ) квадратных матриц размера n на n с элементами из некоторого поля K . Если r является рангом A ∈ Mn ( K ) , исключение Гаусса дает обратимые матрицы U и V такие, что
В более общем случае кольцо nxn матриц над любым регулярным кольцом фон Неймана снова является регулярным по фон Нейману. [1]