Кольцо продукта

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Основные понятия Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо с продуктом • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • Домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (р ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p -адический соленоид ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В математике можно объединить несколько колец в одно большое кольцо продукта . Это делается путем получения декартова произведения (возможно, бесконечного) семейства колец покоординатным сложением и умножением. Полученное кольцо называется прямым произведением исходных колец.

Примеры [ править ]

Важным примером является кольцо Z / п Z из целых чисел по модулю п . Если n записано как произведение степеней простых чисел (см. Основную теорему арифметики ),

${\displaystyle n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots \ p_{k}^{n_{k}},}$

где p _i - различные простые числа, то Z / n Z естественно изоморфно кольцу произведения

${\displaystyle \mathbf {Z} /p_{1}^{n_{1}}\mathbf {Z} \ \times \ \mathbf {Z} /p_{2}^{n_{2}}\mathbf {Z} \ \times \ \cdots \ \times \ \mathbf {Z} /p_{k}^{n_{k}}\mathbf {Z} .}$

Это следует из китайской теоремы об остатках .

Свойства [ править ]

Если R = Π _{i ∈ I} R _i является произведением колец, то для каждого i в I существует сюръективный гомоморфизм колец p _i : R → R _i, который проецирует произведение на i- ю координату. Произведение R вместе с проекциями p _i обладает следующим универсальным свойством :

если S является любым кольцом и е _я : S → R _я является кольцевым гомоморфизмом для каждого I в I , то существует ровно один кольцевой гомоморфизм F : S → R такое , что р _я ∘ е = F _I для каждого я в I .

Это показывает, что произведение колец является примером произведений в смысле теории категорий .

Когда I конечно, основная аддитивная группа Π _{i ∈ I} R _i совпадает с прямой суммой аддитивных групп R _i . В этом случае некоторые авторы называют R «прямой суммой колец R _i » и пишут ⊕ _{i ∈ I} R _i , но это неверно с точки зрения теории категорий, поскольку обычно это не копроизведение в категории колец: например, когда два или более R _{i не} равны нулю, отображение включения R _i→ R не отображает 1 в 1 и, следовательно, не является гомоморфизмом колец.

(Конечное копроизведение в категории коммутативных (ассоциативных) алгебр над коммутативным кольцом является тензорным произведением алгебр . Копроизведение в категории алгебр является свободным произведением алгебр .)

Прямые продукты коммутативны и ассоциативны (с точностью до изоморфизма), что означает, что не имеет значения, в каком порядке формируется прямой продукт.

Если _я являюсь идеальным из R _я для каждого I в I , то = Π _{я ∈ Я я} являюсь идеал R . Если I конечно, то верно и обратное, т. Е. Любой идеал кольца R имеет этот вид. Однако, если I бесконечно и кольца R _i не равны нулю, то обратное неверно: множество элементов со всеми, кроме конечного числа ненулевых координат образует идеал, который не является прямым произведением идеалов R _i . Идеальный A является простым идеалом в R, если все A _i, кроме одного , равны R _i, а оставшиеся A _i являются простым идеалом в R _i . Однако обратное неверно, когда I бесконечно. Например, прямая сумма в R _я образую идеал , не содержащийся в любом таких А , но аксиома выбора дает , что оно содержится в некотором максимальном идеале , который подавно премьер.

Элемент х в R является единицей тогда и только тогда , когда все его компоненты являются единицы, то есть, тогда и только тогда , когда р _я ( х ) является единицей в R _я для каждого I в I . Группа единиц R является произведением групп единиц R _i .

Продукт двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевые делители нуля : если x является элементом продукта, все координаты которого равны нулю, кроме p _i ( x ) , и y является элементом продукта со всеми нулевыми координатами, кроме p _j ( y ), где i ≠ j , то xy = 0 в кольце произведения.

См. Также [ править ]

• Прямой продукт

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Херштейн, И. Н. (2005) [1968], Некоммутативные кольца (5-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-88385-039-8
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 91, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556 , Zbl  0984.00001