Абстрактное винеровское пространство

Концепция абстрактного винеровского пространства - это математическая конструкция, разработанная Леонардом Гроссом для понимания структуры гауссовских мер на бесконечномерных пространствах. Конструкция подчеркивает фундаментальную роль пространства Камерона – Мартина . Классический Винер пространство является прототипом примером.

Структурная теорема для гауссовских мер государства , которые все гауссовские меры могут быть представлены в абстрактном пространстве конструкции Винера.

Мотивация [ править ]

Позвольте быть реальным гильбертовым пространством , предполагаемым бесконечномерным и сепарабельным . В физической литературе часто встречаются интегралы вида ${\ displaystyle H}$

${\displaystyle {\frac {1}{Z}}\int _{H}f(v)e^{-{\frac {1}{2}}\Vert v\Vert ^{2}}Dv,}$

где предполагается нормировочная константа, а где - несуществующая мера Лебега на . Такие интегралы возникают, в частности, в контексте евклидовой формулировки интегралов по путям квантовой теории поля. На математическом уровне такой интеграл нельзя интерпретировать как интегрирование по мере на исходном гильбертовом пространстве . С другой стороны, предположим, что есть банахово пространство, которое содержит как плотное подпространство. Если «достаточно больше» , то указанный выше интеграл можно интерпретировать как интегрирование по хорошо определенной (гауссовской) мере на . В этом случае пара${\displaystyle Z}$${\displaystyle Dv}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (H,B)}$ называется абстрактным винеровским пространством.

Прототипным примером является классическое винеровское пространство, в котором есть гильбертово пространство действительных функций на интервале, имеющем одну производную по и удовлетворяющем , с нормой, задаваемой формулой${\displaystyle H}$${\displaystyle b}$${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle b(0)=0}$

${\displaystyle \left\Vert b\right\Vert ^{2}=\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt.}$

В этом случае можно принять банахово пространство непрерывных функций на с супремум-нормой . В этом случае мера on - это мера Винера, описывающая броуновское движение, начиная с начала координат. Исходное подпространство называется пространством Камерона – Мартина , которое образует множество меры нуль относительно меры Винера.${\displaystyle B}$${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H\subset B}$

Предыдущий пример означает, что у нас есть формальное выражение для меры Винера:

${\displaystyle d\mu (b)={\frac {1}{Z}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt\right\}\,Db.}$

Хотя это формальное выражение предполагает, что мера Винера должна существовать в пространстве путей, для которых на самом деле это не так. (Броуновские пути, как известно, нигде не дифференцируются с вероятностью единица.) ${\displaystyle \int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt<\infty }$

Построение абстрактного винеровского пространства Гросса абстрагирует ситуацию для классического винеровского пространства и обеспечивает необходимое и достаточное (иногда трудно проверить) условие существования гауссовской меры . Хотя гауссова мера живет , а не , это геометрия , а не который контролирует свойства . Как выразился сам Гросс ^[1] (адаптированный к нашим обозначениям): «Однако только в работе И. Е. Сигала, посвященной нормальному распределению в реальном гильбертовом пространстве, стало очевидно, что роль гильбертова пространства действительно была центральной, и что в том, что касается анализа , роль${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$сам по себе был вспомогательным для многих теорем Кэмерона и Мартина, а в некоторых случаях даже ненужным ». Одна из привлекательных особенностей построения абстрактного винеровского пространства Гросса состоит в том, что оно принимает в качестве отправной точки и рассматривается как вспомогательный объект.${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$

Хотя формальные выражения, представленные ранее в этом разделе, являются чисто формальными выражениями в физическом стиле, они очень полезны для понимания свойств . Примечательно, что эти выражения можно легко использовать для вывода (правильной!) Формулы для плотности перенесенной меры относительно , для . (См. Теорему Камерона – Мартина .)${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle d\mu (b+h)}$${\displaystyle d\mu (b)}$${\displaystyle h\in H}$

Математическое описание [ править ]

Размер набора цилиндров на ${\displaystyle H}$[ править ]

Позвольте быть гильбертовым пространством, определенным над действительными числами, предполагается бесконечномерным и сепарабельным. Набор цилиндров в - это набор, определенный в терминах значений конечного набора линейных функционалов на . В частности, предположит , что непрерывные линейные функционалы на и являются борелевостью в . Тогда мы можем рассматривать множество${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{n}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle C=\left\{v\in H|(\phi _{1}(v),\ldots ,\phi _{n}(v))\in E\right\}.}$

Любой набор этого типа называется набором цилиндров. Совокупность всех цилиндрических множеств образует алгебру множеств в, но не является -алгеброй .${\displaystyle H}$${\displaystyle \sigma }$

Существует естественный способ определения «меры» на множествах цилиндров следующим образом. По теореме Рисса линейные функционалы задаются как скалярное произведение с векторами в . В свете процедуры Грама – Шмидта безвредно предполагать, что они ортонормированы. В этом случае мы можем сопоставить определенному выше набору цилиндров меру относительно стандартной гауссовской меры на . То есть мы определяем${\displaystyle \phi _{1},\ldots \phi _{n}}$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mu (C)=(2\pi )^{-n/2}\int _{E\subset \mathbb {R} ^{n}}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx,}$

где - стандартная мера Лебега на . Из-за структуры произведения стандартной гауссовской меры нетрудно показать, что она хорошо определена. То есть, хотя один и тот же набор может быть представлен как набор цилиндров более чем одним способом, значение всегда одно и то же.${\displaystyle dx}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mu (C)}$

Отсутствие меры на ${\displaystyle H}$[ править ]

Набор функционала называется стандартным Gaussian набор цилиндр мера на . Предположение (как и мы) бесконечномерно, не распространяется на счетно-аддитивную меру на -алгебре, порожденную набором цилиндрических множеств в . Можно понять трудно, учитывая поведение стандартной гауссовской меры на задается${\displaystyle \mu }$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle (2\pi )^{-n/2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx.}$

Среднее значение квадрата нормы относительно этой меры вычисляется как элементарный гауссовский интеграл как

${\displaystyle (2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Vert x\Vert ^{2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{\mathbb {R} }x_{i}^{2}e^{-x_{i}^{2}/2}\,dx_{i}=n.}$

То есть типичное расстояние от начала вектора, выбранного случайным образом в соответствии со стандартной гауссовой мерой, равно. Поскольку оно стремится к бесконечности, это типичное расстояние стремится к бесконечности, что указывает на отсутствие четко определенной «стандартной гауссовской» меры . (Типичное расстояние от начала координат будет бесконечным, так что мера фактически не будет существовать в пространстве .)${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\sqrt {n}}.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

Наличие меры на ${\displaystyle B}$[ править ]

Теперь предположим , что это разъемные банахово пространство, что является инъективны непрерывное линейное отображение , образ которого плотен в . Тогда безвредно (и удобно) отождествлять себя с его изображением внутри и, таким образом, рассматривать как плотное подмножество . Затем мы можем построить меру множества цилиндров , определив меру множества цилиндров как ранее определенную меру множества цилиндров , которая является множеством цилиндров .${\displaystyle B}$${\displaystyle i:H\rightarrow B}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C\subset B}$${\displaystyle C\cap H}$${\displaystyle H}$

Идея построения абстрактного винеровского пространства состоит в том, что если оно достаточно больше, чем , то мера множества цилиндров на , в отличие от меры множества цилиндров , будет продолжена до счетно-аддитивной меры на порожденной -алгебре. Исходная статья Гросса ^[2] дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы это было так. Мера on называется гауссовской мерой, а подпространство - пространством Камерона – Мартина . Важно подчеркнуть, что внутри образует множество нулевой меры , подчеркивая, что гауссовская мера живет только и не продолжается .${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H\subset B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$

Результатом всего этого обсуждения является то, что гауссовские интегралы типа, описанного в разделе мотивации, действительно имеют строгую математическую интерпретацию, но они не живут в пространстве, норма которого встречается в показателе степени формального выражения. Скорее, они живут на более просторном пространстве.

Универсальность конструкции [ править ]

Построение абстрактного винеровского пространства - это не просто один из методов построения гауссовских мер. Скорее, каждая гауссовская мера на бесконечномерном банаховом пространстве возникает таким образом. (См. Структурную теорему для гауссовских мер .) То есть, учитывая гауссовскую меру на бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве (над ), можно идентифицировать подпространство Камерона – Мартина , в котором пара становится абстрактным винеровским пространством и - ассоциированная гауссовская мера.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H\subset B}$${\displaystyle (H,B)}$${\displaystyle \mu }$

Свойства [ править ]

• ${\displaystyle \mu }$является мерой Борель : она определяется на борелевской а-алгебре , порожденной открытыми подмножествами из B .
• ${\displaystyle \mu }$является гауссовской мерой в том смысле, что f _∗ ( _· ) является гауссовской мерой на R для любого линейного функционала f  ∈  B ^∗ , f  ≠ 0.${\displaystyle \mu }$
• Следовательно, строго положительно и локально конечно.${\displaystyle \mu }$
• Поведение недостаточного перевода описывается теоремой Камерона – Мартина .${\displaystyle \mu }$
• Учитывая два абстрактных винеровских пространства i ₁  :  H ₁  →  B ₁ и i ₂  :  H ₂  →  B ₂ , можно показать это . В полном объеме:${\displaystyle \gamma _{12}=\gamma _{1}\otimes \gamma _{2}}$

${\displaystyle (i_{1}\times i_{2})_{*}(\mu ^{H_{1}\times H_{2}})=(i_{1})_{*}\left(\mu ^{H_{1}}\right)\otimes (i_{2})_{*}\left(\mu ^{H_{2}}\right),}$

т. е. абстрактная мера Винера на декартовом произведении B ₁  ×  B ₂ является произведением абстрактных мер Винера на двух множителях B ₁ и B ₂ .${\displaystyle \mu _{12}}$

• Если H (и B ) бесконечномерны, то образ H имеет нулевую меру . Этот факт является следствием закона нуля или единицы Колмогорова .

Пример: классическое винеровское пространство [ править ]

Прототипным примером абстрактного винеровского пространства является пространство непрерывных путей , известное как классическое винеровское пространство . Это абстрактный Винера пространство , в котором дается${\displaystyle H}$

${\displaystyle H:=L_{0}^{2,1}([0,T];\mathbb {R} ^{n}):=\{{\text{paths starting at 0 with square-integrable first derivative}}\}}$

с внутренним продуктом, предоставленным

${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\rangle _{L_{0}^{2,1}}:=\int _{0}^{T}\langle {\dot {\sigma }}_{1}(t),{\dot {\sigma }}_{2}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,\mathrm {d} t,}$

и - пространство непрерывных отображений в, начиная с 0, с равномерной нормой . В этом случае гауссовская мера - это мера Винера , которая описывает броуновское движение в , начиная с начала координат. ${\displaystyle B}$${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Общий результат, образующий множество нулевой меры по отношению к в этом случае, отражает грубость типичного броуновского пути, который, как известно, нигде не дифференцируем . Это контрастирует с предполагаемой дифференцируемостью путей в .${\displaystyle H}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle H}$

См. Также [ править ]

• Структурная теорема для гауссовских мер
• Не существует бесконечномерной меры Лебега.

Ссылки [ править ]

• Белл, Денис Р. (2006). Исчисление Маллявэна . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications Inc., стр. х + 113. ISBN 0-486-44994-7. Руководство по ремонту  2250060 . (См. Раздел 1.1)
• Гросс, Леонард (1967). «Абстрактные винеровские пространства». Proc. Пятый симпозиум в Беркли. Математика. Статист. and Probability (Беркли, Калифорния, 1965/66), Vol. II: Вклад в теорию вероятностей, часть 1 . Беркли, Калифорния: Univ. California Press. С. 31–42. Руководство по ремонту  0212152 .
• Куо, Хуэй-Сюн (1975). Гауссовские меры в банаховых пространствах . Берлин – Нью-Йорк: Springer. п. 232. ISBN. 978-1419645808.