В математике , множество цилиндров мера (или promeasure или предмер или квазимер или КСМ ) является своим родом прототипом для измерения на бесконечномерным векторном пространстве . Примером может служить мера множества гауссовских цилиндров в гильбертовом пространстве .
Меры цилиндрического множества, как правило, не являются мерами (и, в частности, не обязательно должны быть счетно-аддитивными, а только конечно аддитивными ), но могут использоваться для определения мер, таких как классическая мера Винера на множестве непрерывных путей, начинающихся в начале координат в евклидовом пространстве .
Определение
Пусть Е быть разъемные , реальное , топологическое векторное пространство . Позволятьобозначают совокупность всех сюръективных , непрерывных линейных отображений T : E → F T, определенных на E , образ которых является некоторым конечномерным вещественным векторным пространством F T :
Набор цилиндра мера на Е представляет собой совокупность вероятностных мер
где μ Т является вероятностной мерой на F T . Эти меры требуются для удовлетворения следующего условия согласованности: если π ST : F S → F T - сюръективная проекция , то продвижение меры будет следующим:
Замечания
Условие согласованности
моделируется на основе того, что истинные меры продвигают вперед (см. раздел « Измерения набора цилиндров в сравнении с истинными измерениями» ). Однако важно понимать, что в случае измерений набора цилиндров это требование является частью определения, а не результатом.
Набор цилиндра мера может быть интуитивно понимать как определение конечно - аддитивной функции на цилиндрических множеств топологического векторного пространства Е . В наборах цилиндров являются прообразами в Е измеримых множествах в F T : еслиобозначает σ-алгебру на F T, на которой определено μ T , то
На практике часто принимают быть Бореля сг - алгебра на F T . В этом случае можно показать, что, когда E - сепарабельное банахово пространство , σ-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами, является в точности борелевской σ -алгеброй пространства E :
Цилиндрический набор мер по сравнению с мерами
Набор цилиндра мера на Е не является на самом деле мерой на Е : это совокупность мер , определенную на все конечномерные изображения E . Если Е имеет меру вероятности М уже определен на нем, то μ приводит к множеству цилиндров меры на Е , используя толчок вперед: множество М Т = Т * ( М ) на F T .
Когда существует такая мера μ на E , что μ T = T ∗ ( μ ) таким образом, принято немного злоупотреблять обозначениями и говорить, что мера множества цилиндров«есть» мера μ .
Меры цилиндрического множества на гильбертовых пространствах
Когда банахово пространство Е является фактически гильбертово пространство Н , существует каноническое гауссовское множество цилиндра мера γ H , возникающий из внутреннего продукта структуры на H . В частности, если ⟨,⟩ обозначает скалярное произведение на H , пусть ⟨,⟩ Т Обозначим фактор скалярное произведение на F T . Тогда мера γ T H на F T определяется как каноническая гауссовская мера на F T :
где i : R dim ( F T ) → F T - изометрия гильбертовых пространств, переводящая евклидово скалярное произведение на R dim ( F T ) в скалярное произведение ⟨,⟩ T на F T , а γ n - стандартная гауссовская мера на R n .
Каноническая гауссова цилиндрического множества мера на бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве H не соответствует истинной мере на H . Доказательство довольно простое: шар радиуса r (и центр 0) имеет меру, не более чем равную измерению шара радиуса r в n- мерном гильбертовом пространстве, и она стремится к 0, когда n стремится к бесконечности. Итак, шар радиуса r имеет меру 0; поскольку гильбертово пространство представляет собой счетное объединение таких шаров, оно также имеет меру 0; противоречие.
Альтернативное доказательство того, что мера гауссовского цилиндра не является мерой, использует теорему Камерона – Мартина и результат о квазиинвариантности мер . Если бы γ H = γ действительно было мерой, то функция тождества на H радонизировала бы эту меру, таким образом превратив id: H → H в абстрактное винеровское пространство . По теореме Камерона – Мартина γ будет квазиинвариантным относительно сдвига любым элементом H , из чего следует, что либо H конечномерна, либо γ - нулевая мера. В любом случае приходим к противоречию.
Теорема Сазонова дает условия, при которых продвижение канонической меры множества гауссовских цилиндров может быть превращено в истинную меру.
Ядерные пространства и меры цилиндров
Мера цилиндрического множества на двойственном к ядерному пространству Фреше автоматически продолжается до меры, если ее преобразование Фурье непрерывно.
Пример : пусть S - пространство функций Шварца на конечномерном векторном пространстве; это ядерно. Он содержится в гильбертовом пространстве H из L 2 функций , что в своей очереди , содержится в пространстве закаленного распределения S ', двойственные к ядерному Фрешу пространства S :
Мера множества гауссовских цилиндров на H дает меру множества цилиндров на пространстве умеренных распределений, которая продолжается до меры на пространстве умеренных распределений S '.
Гильбертово пространство Н имеет меру 0 в S ', первым аргументом , используемом выше , чтобы показать , что каноническая гауссова множество цилиндра мера на Н не распространяется на меры на H .
Смотрите также
Рекомендации
- И.М. Гельфанд, Н.Я. Виленкин, Обобщенные функции. Приложения гармонического анализа , Том 4, Акад. Пресса (1968)
- Р. А. Минлос (2001) [1994], «цилиндрическая мера» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Р. А. Минлос (2001) [1994], «Набор цилиндров» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Л. Шварц, Радоновые меры .